In räumlichen Polarkoordinaten wird ein Punkt durch seinen Abstand vom Ursprung und durch zwei Winkel angegeben. Wenn der Abstand vom Ursprung konstant ist (auf einer Sphäre = Kugeloberfläche), benötigt man nur die zwei Winkel, um einen Punkt eindeutig zu bezeichnen, und spricht dann von sphärischen Koordinaten. Der Begriff Kugelkoordinaten kann als Oberbegriff für diese beiden Fälle angesehen werden.

Für Polarkoordinaten in der Ebene (ein Abstand, ein Winkel) und Zylinderkoordinaten (zwei Abstände, ein Winkel) siehe den Artikel Polarkoordinaten.

Übliche Konvention

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Die Abbildung zeigt einen Punkt P mit den kartesischen Koordinaten (x, y, z) und den Kugelkoordinaten (r, θ, φ):

Kugelkoordinaten.PNG

(die x-Achse zeigt in 0°-, die y-Achse in 90°-Richtung, die z-Achse steht im rechten Winkel zu den beiden anderen Achsen).

Die Transformationsgleichungen von kartesischen in Kugelkoordinaten lauten

$\{r\}=\backslash sqrt\{x^2+y^2+z^2\}$;

$\{\backslash theta\}=\backslash arccot\backslash frac\; z\{\backslash sqrt\{x^2+y^2\}\}\; \backslash \; =\; \backslash \; \backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\; -\; \backslash arctan\; \backslash frac\{z\}\{\backslash sqrt\{x^2+y^2\}\}$.

In der Analysis und ihren Anwendungen werden Kugelkoordinaten (im allg. alle Winkel) stets im Bogenmaß angegeben; deshalb steht in der Fallunterscheidung für φ nicht 360°, sondern 2π.

Um die anschauliche Bedeutung der Kugelkoordinaten verbal zu erklären, sei r der Ortsvektor von P (also der Vektor, der den Koordinatenursprung O mit P verbindet) und r_xy die Projektion von r in die x-y-Ebene. Dann haben die Kugelkoordinaten von P folgende Bedeutung:

r (Radius) ist der Abstand des Punktes P vom Koordinatenursprung O, also die Länge des Vektors r;

θ (Polarwinkel) ist der Winkel zwischen der positiven z-Achse und r, gezählt von 0 bis π (0° bis 180°), und

φ (Azimutwinkel) ist der Winkel zwischen der positiven x-Achse und r_xy, gezählt von 0 bis 2π (0° bis 360°) gegen den Uhrzeigersinn.

Die Rücktransformation erfolgt nach den Gleichungen

$x\; =\; r\; \backslash sin\; \backslash theta\; \backslash cos\; \backslash varphi$,

$y\; =\; r\; \backslash sin\; \backslash theta\; \backslash sin\; \backslash varphi$ und

$z\; =\; r\; \backslash cos\; \backslash theta\; \backslash quad$.

In sphärischen Koordinaten wird r durch 1 ersetzt und nicht als eigenständige Koordinate aufgeführt.

Andere Konventionen

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Die obige Koordinatenwahl ist internationaler Konsens in der theoretischen Physik. Manchmal werden die Zeichen θ und φ gerade im umgekehrten Sinne verwandt, insbesondere in amerikanischer Literatur. Man sollte daher stets darauf achten, welchen Konventionen ein Autor folgt.

Der Polarwinkel θ ist nicht die geographische Breite. Diese ist vielmehr als Winkel zwischen der Äquatorialebene und dem Ortsvektor definiert und nimmt Werte zwischen -90° und 90° an. Wird sie mit φ bezeichnet, so ist φ = 90° − θ, θ = 90° − φ. Hingegen kann man λ ohne weiteres mit der geographischen Länge östlich von Greenwich gleichsetzen. Siehe dazu den Artikel geographische Koordinaten.

Des Weiteren ist die obige Konstruktion in gewisser Hinsicht inkonsistent zum Aufbau der ebenen Polarkoordinaten. Für manche Probleme ist es praktischer, die Darstellung

$x\; =\; r\; \backslash cos\; \backslash theta\; \backslash cos\; \backslash varphi$,

$y\; =\; r\; \backslash cos\; \backslash theta\; \backslash sin\; \backslash varphi$ und

$z\; =\; r\; \backslash sin\; \backslash theta\; \backslash quad$.

zu benutzen. In dieser Darstellung entspricht $\backslash theta$ der geographischen Breite.

Transformation von Differentialen

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Jacobi-Matrix

Die lokalen Eigenschaften der Koordinatentransformation werden durch die Jacobi-Matrix beschrieben. Für die Transformation von Kugelkoordinaten in kartesische Koordinaten lautet diese

$$

J =\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,\varphi)} =\begin{pmatrix} \sin\theta\cos\varphi&r\cos\theta\cos\varphi&-r\sin\theta\sin\varphi\\ \sin\theta\sin\varphi&r\cos\theta\sin\varphi&r\sin\theta\cos\varphi\\ \cos\theta&-r\sin\theta&0 \end{pmatrix}; bei sphärischen Polarkoordinaten (nur θ, φ) fällt die erste Spalte weg.

Die Jacobi-Matrix der entgegengesetzten Transformation ist nur für räumliche, nicht für sphärische Polarkoordinaten definiert; man berechnet sie am einfachsten als Inverse von J:

$$

J^{-1} =\frac{\partial(r,\theta,\varphi)}{\partial(x,y,z)} =\begin{pmatrix} \sin\theta\cos\varphi & \sin\theta\sin\varphi & \cos\theta\\ \frac{1}{r}\cos\theta\cos\varphi & \frac{1}{r}\cos\theta\sin\varphi & -\frac{1}{r}\sin\theta \\ -\frac{1}{r}\frac{\sin\varphi}{\sin\theta} & \frac{1}{r}\frac{\cos\varphi}{\sin\theta} & 0 \end{pmatrix}. Einige Komponenten dieser Matrix sind Brüche, an deren Nennern man die Uneindeutigkeit der Polarkoordinaten bei r=0 und bei sin θ=0 (also θ=0 oder π) erkennt. Ungebräuchlicher ist die Darstellung in kartesischen Koordinaten:

$$

J^{-1} =\begin{pmatrix} \frac{x}{r}&\frac{y}{r}&\frac{z}{r}\\ \frac{xz}{r^2\sqrt{x^2+y^2}}&\frac{yz}{r^2\sqrt{x^2+y^2}}&\frac{-(x^2+y^2)}{r^2\sqrt{x^2+y^2}}\\ \frac{-y}{x^2+y^2}&\frac{x}{x^2+y^2}&0 \end{pmatrix}.

Differentiale, Volumenelement, Linienelement

Die Jacobi-Matrix erlaubt es, die Umrechnung von Differentialen übersichtlich als lineare Abbildung zu schreiben:

$(\backslash mathrm\{d\}x,\backslash mathrm\{d\}y,\backslash mathrm\{d\}z)^T=J\backslash cdot(\backslash mathrm\{d\}r,\backslash mathrm\{d\}\backslash theta,\backslash mathrm\{d\}\backslash varphi)^T$

beziehungsweise

$(\backslash mathrm\{d\}r,\backslash mathrm\{d\}\backslash theta,\backslash mathrm\{d\}\backslash varphi)^T=J^\{-1\}\backslash cdot(\backslash mathrm\{d\}x,\backslash mathrm\{d\}y,\backslash mathrm\{d\}z)^T$.

Das Volumenelement $\backslash mathrm\{d\}V=\backslash mathrm\{d\}x\backslash cdot\backslash mathrm\{d\}y\backslash cdot\backslash mathrm\{d\}z$ lässt sich besonders einfach mit Hilfe der Funktionaldeterminante

$|J|=r^2\backslash sin\backslash theta$

umrechnen:

$\backslash mathrm\{d\}V=r^2\; \backslash sin\; \backslash theta\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}\backslash varphi\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}\backslash theta\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}r$.

Durch Differentiation dV/dr erhält man für ein Flächenelement dA auf einer Sphäre mit Radius r

$\backslash mathrm\{d\}A=r^2\; \backslash sin\; \backslash theta\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}\backslash varphi\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}\backslash theta$.

Ein Linienelement ds rechnet man gemäß

$\backslash mathrm\{d\}s^2=\backslash mathrm\{d\}x^2\; +\; \backslash mathrm\{d\}y^2\; +\; \backslash mathrm\{d\}z^2$

=\mathrm{d}r^2 + r^2\mathrm{d}\theta^2 + r^2\sin^2\theta\mathrm{d}\varphi^2 um.

Metrik und Rotationsmatrix

Im Fehlen gemischter Glieder im Linienelement ds spiegelt sich wieder, dass der metrische Tensor

auch in Kugelkoordinaten keine Außerdiagonalelemente hat.

Der metrische Tensor ist offensichtlich das Quadrat der Diagonalmatrix

$h=\backslash operatorname\{diag\}(1,r,r\backslash sin\backslash theta)$.

Mit Hilfe dieser Matrix lässt sich die Jacobi-Matrix als J=Sh schreiben, wobei S die Rotationsmatrix

$$

S =\begin{pmatrix} \sin\theta\cos\varphi&\cos\theta\cos\varphi&-\sin\varphi\\ \sin\theta\sin\varphi&\cos\theta\sin\varphi&\cos\varphi\\ \cos\theta&-\sin\theta&0 \end{pmatrix} ist.

Transformation von Vektorfeldern und -Operatoren

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Im folgenden soll die Transformation von Vektoren und Differentialoperatoren exemplarisch hergeleitet werden. Die Ergebnisse werden bevorzugt in kompakter Form unter Benutzung von Transformationsmatrizen geschrieben.

Transformation der Vektorraumbasis

Der Basisvektor e_φ zur Koordinate φ gibt an, in welche Richtung sich ein Punkt P(r, θ, φ) bewegt, wenn die Koordinate φ um einen infinitesimalen Betrag dφ verändert wird:

$\backslash mathbf\{e\}\_\backslash varphi\; \backslash sim\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mathrm\{P\}\}\{\backslash partial\backslash varphi\}$.

Daraus erhält man

$\backslash mathbf\{e\}\_\backslash varphi\; \backslash sim\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mathrm\{P\}\}\{\backslash partial\backslash varphi\}$

= \frac{\partial x}{\partial \varphi}\frac{\partial \mathrm{P}}{\partial x} +\frac{\partial y}{\partial \varphi}\frac{\partial \mathrm{P}}{\partial y} +\frac{\partial z}{\partial \varphi}\frac{\partial \mathrm{P}}{\partial z} =-r\sin\theta\sin\varphi\mathbf{e}_x +r\sin\theta\cos\varphi\mathbf{e}_y. Um eine orthonormale Basis zu erhalten, muss e_φ noch auf die Länge 1 normiert werden:

$\backslash mathbf\{e\}\_\backslash varphi\; =\; -\backslash sin\backslash varphi\backslash mathbf\{e\}\_x\; +\; \backslash cos\backslash varphi\backslash mathbf\{e\}\_y$.

In ähnlicher Weise erhält man die Basisvektoren e_r und e_θ. Um die folgenden Transformationen in kompakter Form zu schreiben, verwenden wir die oben eingeführte Rotationsmatrix S. Diese Matrix ist orthogonal, das heißt, S^-1=S^T. Die normierten Basisvektoren des Kugelkoordinatensystems kann man dann zusammengefasst so mitteilen:

$(\backslash mathbf\{e\}\_r,\backslash mathbf\{e\}\_\backslash theta,\backslash mathbf\{e\}\_\backslash varphi)^T$

=S^T \cdot (\mathbf{e}_x,\mathbf{e}_y,\mathbf{e}_z)^T. Entsprechend lautet die Transformation in die Gegenrichtung

$(\backslash mathbf\{e\}\_x,\backslash mathbf\{e\}\_y,\backslash mathbf\{e\}\_z)^T$

=S\cdot (\mathbf{e}_r,\mathbf{e}_\theta,\mathbf{e}_\varphi)^T.

Transformation eines Vektorfeldes

Ein Vektor, als ein geometrisches Objekt, muss vom Koordinatensystem unabhängig sein:

$A\_x\backslash mathbf\{e\}\_x\; +\; A\_y\backslash mathbf\{e\}\_y\; +\; A\_z\backslash mathbf\{e\}\_z\; =\; \backslash mathbf\{A\}$

=A_r\mathbf{e}_r + A_\theta\mathbf{e}_\theta + A_\varphi\mathbf{e}_\varphi. Diese Bedingung wird erfüllt durch

$(A\_r,A\_\backslash theta,A\_\backslash varphi)^T$

=S^T \cdot (A_x,A_y,A_z)^T beziehungsweise

$(A\_x,A\_y,A\_z)^T$

=S \cdot (A_r,A_\theta,A_\varphi)^T.

Transformation der partiellen Ableitungen

Die partiellen Ableitungen transformieren sich wie die Basisvektoren, aber ohne Normierung. Man kann genau wie oben rechnen, nur lässt man den Punkt P im Zähler weg (tatsächlich werden in der modernen Formulierung der Differentialgeometrie die Einheitsvektoren des Tangentialraums und die partiellen Ableitungen gleichgesetzt) und verwendet die Jacobi-Matrix J=Sh anstelle der Rotationsmatrix S. Die Transformation lautet also:

$$

\left(\frac{\partial}{\partial r},\frac{\partial}{\partial\theta},\frac{\partial}{\partial\varphi} \right)^T =J^T \cdot \left(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z} \right)^T , und in die Gegenrichtung

$$

\left(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z} \right)^T ={\left(J^{-1}\right)}^T \cdot \left(\frac{\partial}{\partial r},\frac{\partial}{\partial\theta},\frac{\partial}{\partial\varphi} \right)^T .

Transformation des Nabla-Operators

Der Nabla-Operator ∇ hat nur in kartesischen Koordinaten die einfache Form

$\backslash mathbf\{\backslash nabla\}$

= \frac{\partial}{\partial x}\mathbf{e}_x +\frac{\partial}{\partial y}\mathbf{e}_y +\frac{\partial}{\partial z}\mathbf{e}_z. Sowohl die partiellen Ableitungen als auch die Einheitsvektoren muss man in der oben hergeleiteten Weise transformieren. Man findet:

$\backslash mathbf\{\backslash nabla\}$

=\frac{\partial}{\partial r}\mathbf{e}_r + \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial\theta}\mathbf{e}_\theta + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\varphi}\mathbf{e}_\varphi. In dieser Form kann der transformierte Nabla-Operator unmittelbar angewandt werden, um den Gradienten eines in Kugelkoordinaten gegebenen Skalarfeldes zu berechnen.

Um die Divergenz eines in Kugelkoordinaten gegebenen Vektorfeldes A zu berechnen, ist hingegen zu berücksichtigen, dass ∇ nicht nur auf die Koeffizienten A_r, ... wirkt, sondern auch auf die in A implizit enthaltenen Basisvektoren e_r

$\backslash mathbf\{\backslash nabla\}\backslash mathbf\{A\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{r^2\}\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; r\}r^2\; A\_r$

+ \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\sin\theta A_\theta +\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\varphi}A_\varphi.

Transformation des Laplace-Operators

Wenn man in der Divergenzformel als Vektorfeld A den Gradientenoperator ∇ einsetzt, findet man den Laplace-Operator

$\backslash mathbf\{\backslash Delta\}=\backslash mathbf\{\backslash nabla\}^2\; =$

\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}r^2 \frac{\partial}{\partial r} + \frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\sin\theta \frac{\partial}{\partial\theta} +\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2} .

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Coordinates (mathematics)#Spherical coordinates