Kugelflächenfunktionen

Die Kugelflächenfunktionen sind ein vollständiger und orthonormaler Satz von Eigenfunktionen des Winkelanteils des Laplace-Operators. Besonders in der theoretischen Physik haben sie eine große Bedeutung für die Lösung von partiellen Differentialgleichungen.

Kugelflächenfunktionen treten zum Beispiel bei der Berechnung von Atomorbitalen auf, da die beschreibende zeitunabhängige Schrödingergleichung den Laplace-Operator enthält und sich das Problem am besten in Kugelkoordinaten lösen lässt. Auch die in der Elektrostatik auftretenden Randwertprobleme können elegant durch die Entwicklung nach Kugelflächenfunktionen gelöst werden. In der Geodäsie werden die Kugelflächenfunktionen bei der Approximation des Geoids verwendet.

Definition

Die Kugelflächenfunktionen $Y_{lm}: S^2\rightarrow \mathrm{C}$ werden definiert als:

Y_{lm}(\theta,\phi) := \frac{1}{\sqrt{2\pi}}N_{lm} P_{lm}(\cos\theta)e^{\imath m\phi}

Dabei sind

P_{lm} (x):=\frac{(-1)^m}{2^ll!}(1-x^2)^{\frac m2} \left(\frac{\partial}{\partial x}\right)^{l+m} (x^2-1)^l

die zugeordneten Legendrepolynome und

N_{lm} := \sqrt{\frac{2l+1}{2}\frac{(l-m)!}{(l+m)!}}

sind Normierungsfaktoren.

Mitunter ist die Berechnung über:

P_{lm} (x)=(1-x^2)^{\frac{\left|m\right|}{2}} \left(\frac{\partial}{\partial x}\right)^{\left|m\right|} P_l(x) wobei:

P_l (x)=\frac {1}{2^l}\sum_{k=0}^{\lfloor l/2\rfloor} (-1)^k \frac{(2l-2k)!}{k!(l-k)!(l-2k)!} x^{l-2k} vorteilhafter (

\lfloor l/2\rfloor:={abrunden}(l/2)

), da

l

-faches ableiten entfällt.

Eine dritte Definition ist die über homogene harmonische Polynome, diese sind durch ihren Wert auf der Sphäre eindeutig bestimmt. Jedes vom Grade n homogene harmonische Polynom lässt sich als Linearkombination von Kugelflächenfunktionen multipliziert mit $r^n$ schreiben und vice versa. Wählt man beispielsweise die Funktion, die konstant 1 ist, als Basis des eindimensionalen Vektorraumes der 0-homogenen harmonischen Polynome und x,y und z als Basis des dreidimensionalen Vektorraumes der 1-homogenen, so erhält man in Kugelkoordinaten nach Division von $r^n$ die Funktionen

1,

\cos \phi \sin \theta = Re(e^{i\phi}) \sin \theta,

\sin \phi \sin \theta=Im(e^{i\phi}) \sin \theta,

\cos \theta. Für die homogenen Polynome vom Grade zwei, erkennt man in der Liste unten schnell auch die Terme

x^2-y^2, xy , x^2+y^2-2 z^2

wieder, nur mit einem falschen Vorfaktor.

Eigenschaften

Harmoniques spheriques positif negatif.png

Die Kugelflächenfunktionen haben folgende Eigenschaften:

Orthogonalitätsrelation: ( $\delta_{ij}$ ist das Kronecker-Delta)

\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} Y_{lm}^{*}(\theta,\phi) \, Y_{l'm'}(\theta,\phi) \, \sin{\theta} \, d\theta \, d\phi = \delta_{ll'} \, \delta_{mm'}

Parität: Der Übergang $\vec r \rightarrow -\vec r$ sieht in Kugelkoordinaten folgendermaßen aus: $(r,\theta,\phi) \rightarrow (r,\pi-\theta,\pi+\phi)$ . Unter dieser Transformation verhalten sich die Kugelflächenfunktionen wie folgt:

Y_l^m(\pi-\theta,\pi+\phi)=(-1)^l\cdot Y_l^m(\theta,\phi)

Komplexe Konjugation:

\left

^*^\star=(-1)^m\cdot Y_l^{-m}(\theta,\phi)

Die jeweiligen $Y_{l,-m}$ erhält man aus den $Y_{lm}$ durch:

Y_{l,-m}(\theta,\phi) = (-1)^{m} \, Y_{lm}^{*}(\theta,\phi)

Kugelflächenfunktionen als Eigenfunktionen des Winkelanteils des Laplace-Operators

Der Laplace-Operator in 3 Dimensionen ist gegeben durch

\Delta f\left( r,\theta ,\varphi \right) =\frac{1}{r^{2}}\left( \frac{ \partial }{\partial r}\left( r^{2}\frac{\partial f}{\partial r}\right) + \frac{1}{\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }\left( \sin \theta \frac{\partial f}{\partial \theta }\right) +\frac{1}{\sin ^{2}\theta }\frac{ \partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}\right)

Man möchte nun die Eigenfunktion des winkelabhängigen Teils finden, die die Gleichung

\Delta f\left(r,\theta,\varphi\right) =g(r)f\left(r,\theta,\varphi\right)

erfüllen. Dafür verwendet man den Separationsansatz $f\left(
r,\theta ,\varphi \right) =R\left( r\right) Y\left( \theta ,\varphi \right)$ und erhält nach einsetzen und umformen:

-\frac{1}{Y(\theta,\varphi)}\left(\frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial Y}{ \partial\theta}\right) + \frac{1}{\sin^{2}\theta}\frac{\partial^{2}Y}{ \partial\varphi^{2}}\right) =\frac{1}{R(r)}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2}\frac{\partial R}{\partial r}\right) - r^{2}g(r)

Beide Seiten der Gleichung müssen nun konstant sein. Die Kugelflächenfunktionen erfüllen die winkelabhängige Gleichung, und es gilt:

-\left(\frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial}{ \partial\theta}\right) + \frac{1}{\sin^{2}\theta}\frac{\partial^{2}}{ \partial\varphi^{2}}\right)Y_{lm}(\theta,\varphi) = l\left(l+1\right)Y_{lm}(\theta,\varphi)

Bei einer näheren Betrachtung stellt man fest, dass der Eigenraum zum Eigenwert $l(l+1)$ genau $2l + 1$ dimensional ist. Die Entartung wird über den Index $m$ bezeichnet.

Entwicklung nach Kugelflächenfunktionen

Die Kugelflächenfunktionen bilden ein vollständiges Funktionensystem. Daher können alle quadratintegrablen Funktionen $f(\theta,\phi)$ ( $\theta,\phi$ im Sinne der Kugelkoordinaten) nach den Kugelflächenfunktionen entwickelt werden:

f(\theta,\phi)=\sum_{l=0}^\infty\sum_{m=-l}^{+l}c_{l,m}Y_l^m(\theta,\phi)

Dabei sind die Entwicklungskoeffizienten $c_{l,m}$ : ( $Y_{l}^{m\star}(\theta,\phi)$ ist das komplex-konjugierte von $Y_l^m(\theta,\phi)$ ):

c_{l,m}=\int_{\phi=0}^{2\pi}\int_{\theta=0}^\pi Y_{l}^{m\star}(\theta,\phi)\cdot f(\theta,\phi)\cdot\sin\theta d\theta d\phi

Die Darstellung einer Funktion $f(x)$ mit $sin$ - und $cos$ -Funktion (Fourierentwicklung) ist ein Analogon zur Entwicklung einer zweidimensionnalen Funktion $f(\theta,\phi)$ mit $Y_l^m(\theta,\phi)$ über einer Kugeloberfläche.

Tabelle der Kugelflächenfunktionen

Die ersten Kugelflächenfunktionen lauten:

Y_lm	l = 0	l = 1	l = 2	l = 3	-	m = -3				$\sqrt{\frac{35}{64 \pi}} \sin^{3}{\theta}\,e^{-3i \phi}$	-	m = -2			$\sqrt{\frac{15}{32 \pi}} \sin^{2}{\theta} \, e^{-2i \phi}$	$\sqrt{\frac{105}{32\pi}} \sin^{2}{\theta}\cos{\theta}\,e^{-2i \phi}$	-	m = -1		$\sqrt{\frac{3}{8 \pi}} \sin{\theta} \, e^{-i \phi}$	$\sqrt{\frac{15}{8 \pi}} \sin{\theta} \, \cos{\theta} \, e^{-i \phi}$	$\sqrt{\frac{21}{64 \pi}} \sin{\theta}\left( 5 \cos^{2}{\theta} - 1\right)\,e^{-i \phi}$	-	m = 0	$\frac{1}{\sqrt{4 \pi}}$	$\sqrt{\frac{3}{4 \pi}} \cos{\theta}$	$\sqrt{\frac{5}{16 \pi}} \left( 3 \cos^{2}{\theta} - 1 \right)$	$\sqrt{\frac{7}{16 \pi}} \left( 5 \cos^{3}{\theta} - 3 \cos{\theta}\right)$	-	m = 1		$-\sqrt{\frac{3}{8 \pi}} \sin{\theta} \, e^{i \phi}$	$-\sqrt{\frac{15}{8 \pi}} \sin{\theta} \, \cos{\theta} \, e^{i \phi}$	$-\sqrt{\frac{21}{64\pi}} \sin{\theta}\left( 5 \cos^{2}{\theta} - 1\right)\,e^{i \phi}$	-	m = 2			$\sqrt{\frac{15}{32 \pi}} \sin^{2}{\theta} \, e^{2i \phi}$	$\sqrt{\frac{105}{32 \pi}} \sin^{2}{\theta}\cos{\theta}\,e^{2i \phi}$	-	m = 3				$-\sqrt{\frac{35}{64 \pi}} \sin^{3}{\theta}\,e^{3i \phi}$