Das Kronecker-Produkt (nach Leopold Kronecker) ist ein Begriff aus der Matrizenrechnung. Man geht aus von einer (mxn)-Matrix A = (a)_ij und einer (pxr)-Matrix B = (b)_kl. Das Kronecker-Produkt

$C\; =\; A\; \backslash otimes\; B$

berechnet sich als

$C\; =\; (a)\_\{ij\}\; \backslash cdot\; B$

d.h. jedes Element der Matrix A wird mit der Matrix B multipliziert. Das Ergebnis ist also wieder eine Matrix, allerdings viel höherer Dimension. Beispielsweise ist

$$

\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} 1 \cdot \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} & 3 \cdot \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} & 2 \cdot \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\\ 1 \cdot \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} & 0 \cdot \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} & 0 \cdot \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\\ 1 \cdot \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} & 2 \cdot \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} & 2 \cdot \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \end{pmatrix}

$=\; \backslash begin\{pmatrix\}$

0 & 5 & 0 & 15 &0 & 10 \\ 5 & 0 &15 & 0 &10 & 0 \\ 1 & 1 & 3 & 3&2 & 2\\ 0 & 5& 0 & 0 &0 & 0 \\ 5 & 0 &0 & 0 &0 & 0 \\ 1 & 1&0 & 0& 0 & 0\\ 0 & 5 &0 & 10 & 0 & 10 \\ 5 & 0 &10 & 0 &10 & 0 \\ 1 & 1&2 & 2&2 & 2 \end{pmatrix}

Das Kronecker-Produkt wird beispielsweise in der verallgemeinerten linearen Regressionsanalyse verwendet, um eine Kovarianzmatrix von korrelierten Störgrößen zu konstruieren. Man erhält hier etwa eine blockdiagonale Zellnermatrix.

Lineare Algebra

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