Das Kronecker-Delta ist ein mathematisches Zeichen, das durch ein kleines Delta mit zwei Indizes, typischerweise $\backslash delta\_\{ij\}$, dargestellt wird und nach Leopold Kronecker benannt ist. Es wird manchmal auch als Kronecker-Symbol bezeichnet, obwohl es noch ein anderes Kronecker-Symbol gibt.

Der auch gebräuchliche Begriff Deltafunktion ist irreführend, weil damit häufiger das Dirac-Delta bezeichnet wird.

Es wird vor allem in Summenformeln und im Zusammenhang mit Matrix- oder Vektoroperationen verwendet oder um Fallunterscheidungen in Formeln zu vermeiden.

Definition

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Das Kronecker-Delta ist definiert als:

$\backslash delta\_\{ij\}\; =\; \backslash left\backslash \{\backslash begin\{matrix\}$

1 & \mbox{falls } i=j \\ 0 & \mbox{falls } i \neq j \end{matrix}\right. Dabei können i und j Elemente einer beliebigen Menge $I$ sein.

Eigenschaften

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Das Kronecker-Delta kann in der Form

$\backslash delta=\backslash mathrm\{1\}\_D:I\backslash times\; I\backslash to\; \backslash \{0,1\backslash \}$,

geschrieben werden, ist also die charakteristische Funktion $\backslash mathrm\{1\}\_D$ der Diagonalmenge $D=\backslash \{(i,j)\backslash in\; I\backslash times\; I:\backslash ;\; i=j\backslash \}$. Häufig wird dabei an Stelle von $\backslash \{0,1\backslash \}$ ein erweiterter Bildraum, z.B. die reellen Zahlen, betrachtet.

Beispiele

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• In der linearen Algebra kann die $n\backslash times\; n$-Einheitsmatrix als $(\backslash delta\_\{ij\})\_\{1\backslash leq\; i,j\backslash leq\; n\}$ geschrieben werden.

• Mit dem Kronecker-Delta kann man das Skalarprodukt orthonormierter Vektoren $e\_1,\; \backslash dots,\; e\_n$ als $\backslash langle\; e\_i,\; e\_j\backslash rangle\; =\; \backslash delta\_\{ij\}$ schreiben.

Siehe auch: Levi-Civita-Symbol

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