Das Kreuzprodukt $\backslash vec\; a\backslash times\backslash vec\; b$ (auch Vektorprodukt, vektorielles Produkt oder äußeres Produkt genannt) zweier Vektoren $\backslash vec\; a$ und $\backslash vec\; b$ in einem dreidimensionalen Vektorraum ist in kartesischen Koordinaten ebenfalls ein Vektor, der senkrecht auf der von den beiden Vektoren aufgespannten Ebene steht. Die Länge dieses Vektors entspricht der Fläche des Parallelogramms mit den Seiten $\backslash vec\; a$ und $\backslash vec\; b$.

Die Vektoren $\backslash vec\; a$ und $\backslash vec\; b$ bilden mit dem Vektor ihres Kreuzprodukts ein Rechtssystem. Kreuz- und Skalarprodukt sind über das Spatprodukt miteinander verknüpft.

Mathematische Darstellung

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Das Kreuzprodukt wird mit einem Kreuz als Multiplikationszeichen geschrieben:

$$

\vec{c}=\vec{a}\times\vec{b}

Im gewöhnlichen dreidimensionalen Raum R³ kann man das Kreuzprodukt von a und b so definieren:

$$

\vec{a}\times\vec{b} = \left|\vec{a}\right| \left|\vec{b}\right| \sin(\theta) \cdot \vec{e} wobei sin(θ) der Sinus des von den beiden Vektoren eingeschlossenen Winkels θ, $\backslash vec\{e\}$ der zu beiden Vektoren senkrechte Einheitsvektor, und $|\backslash vec\{a\}|$, $|\backslash vec\{b\}|$ die jeweilige Länge (Betrag) der Vektoren sind.

$\backslash vec\{c\}$ ist hierbei ebenfalls ein Vektor. Es ist eine vereinfachte Schreibweise für die von null verschiedenen Elemente eines antisymmetrischen Tensors. Nur durch Zufall hat er im R³ genau 3 Komponenten, die sich als Vektor im selben Raum darstellen lassen. Im R⁴ beispielsweise sind es nicht 4, sondern 6 unabhängige Elemente.

Die Komponenten im R³ lauten:

$$

\begin{pmatrix} 0 & -a_2b_1+a_1b_2 & -a_3b_1+a_1b_3 \\ a_2b_1-a_1b_2 & 0 & -a_3b_2+a_2b_3 \\ a_3b_1-a_1b_3 & a_3b_2-a_2b_3 & 0 \end{pmatrix}

Orientierung

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Rechte_Hand_Regel.png Es gibt zwei Vektoren $\backslash vec\{e\}$, die senkrecht auf $\backslash vec\; a$ und $\backslash vec\; b$ stehen und die entsprechende Länge haben; diese weisen in entgegengesetzte Richtungen. Den korrekten Vektor bestimmt die Orientierung des Vektorraumes. Das heutzutage verwendete Koordinatensystem ist "rechtshändig" (ein so genanntes Rechtssystem), d.h. sowohl die Koordinatenachsen (x, y und z) als auch die Vektoren $\backslash vec\; a$, $\backslash vec\; b$ und $\backslash vec\{a\}\backslash times\backslash vec\{b\}$ verhalten sich wie Daumen, Zeigefinger und Mittelfinger der rechten Hand, wenn man sie im rechten Winkel zueinander von der Handfläche wegstreckt (daher oft Rechte-Hand-Regel genannt).

Komponentenweise Berechnung

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Im normalen R³ kann man das Kreuzprodukt einfach komponentenweise berechnen:

$$

\vec{a}\times\vec{b} = \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -a_3 & a_2 \\ a_3 & 0 & -a_1 \\ -a_2 & a_1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}

Jede Zeile enthält dabei im Kreuzprodukt die Differenz der Produkte über Kreuz der anderen beiden Zeilen, beginnend mit $a\_2$. Die Indizes werden zyklisch permutiert. Dann entsteht immer ein Rechtssystem.

Zahlenwerte kann man einfach einsetzen:

$$

\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}-7 \\ 8 \\ 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 9 - 3 \cdot 8 \\ 3 \cdot (-7) - 1 \cdot 9 \\ 1 \cdot 8 - 2 \cdot (-7) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ -30 \\ 22 \end{pmatrix}

Graphische Darstellung

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Graphisch lässt sich das Kreuzprodukt darstellen als:

Der Betrag von $\backslash vec\; a\backslash times\backslash vec\; b$ entspricht der Fläche des von $\backslash vec\; a$ und $\backslash vec\; b$ aufgespannten Parallelogramms.

Wichtige Eigenschaften

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$\backslash vec\{a\}\backslash times\backslash vec\{a\}\; =\; \backslash vec\{0\}$

$\backslash vec\{a\}\backslash times\backslash vec\{0\}\; =\; \backslash vec\{0\}$

Für das Kreuzprodukt gilt das Kommutativgesetz nicht, sondern:

$\backslash vec\{a\}\backslash times\backslash vec\{b\}\; =\; -\; (\backslash vec\{b\}\backslash times\backslash vec\{a\})$

Bei Vertauschung der Vektoren ändert sich also das Vorzeichen. Man sagt: Das Kreuzprodukt ist antikommutativ oder auch schiefsymmetrisch.

Es gelten zwei Distributivgesetze:

$\backslash vec\{a\}\backslash times(\backslash vec\{b\}\; +\; \backslash vec\{c\})\; =\; \backslash vec\{a\}\backslash times\backslash vec\{b\}\; +\; \backslash vec\{a\}\backslash times\backslash vec\{c\}$

und

$(\backslash vec\{a\}\; +\; \backslash vec\{b\})\backslash times\backslash vec\{c\}\; =\; \backslash vec\{a\}\backslash times\backslash vec\{c\}\; +\; \backslash vec\{b\}\backslash times\backslash vec\{c\}$.

Ferner gilt das Assoziativgesetz der Skalarmultiplikation:

$\backslash lambda$ sei aus $\backslash mathbb\{R\}$.

$(\backslash lambda\backslash vec\{a\})\backslash times\backslash vec\{b\}\; =\; \backslash lambda(\backslash vec\{a\}\backslash times\backslash vec\{b\})\; =\; \backslash vec\{a\}\backslash times(\backslash lambda\backslash vec\{b\})$.

Für das Quadrat der Norm erhält man:

oder einfacher: $|\backslash vec\{a\}\backslash times\backslash vec\{b\}|^2\; =\; |\backslash vec\{a\}|^2\backslash cdot|\backslash vec\{b\}|^2\; -\; (\backslash vec\{a\}\backslash cdot\backslash vec\{b\})^2$.

Für den zwischen den Vektoren $\backslash vec\{a\}$ und $\backslash vec\{b\}$ aufgespannten nicht überstumpfen Winkel $\backslash phi$ gilt:

$|\backslash vec\{a\}\backslash times\backslash vec\{b\}|\; =\; |\backslash vec\{a\}|\backslash cdot|\backslash vec\{b\}|\backslash cdot\; \backslash sin(\backslash phi)$.

Sind die Vektoren $\backslash vec\{a\}$ und $\backslash vec\{b\}$ parallel, so ist ihr Kreuzprodukt der Nullvektor.

Graßmann-Identität

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Die Graßmann-Identität (auch Graßmannscher Entwicklungssatz nach Hermann Graßmann, auch BAC-CAB Regel genannt) ist geeignet, um physikalische Vektorberechnungen zu vereinfachen. Sie lautet:

$\backslash vec\{a\}\backslash times(\backslash vec\{b\}\backslash times\backslash vec\{c\})\; =\; \backslash vec\{b\}(\backslash vec\{a\}\backslash cdot\backslash vec\{c\})-\backslash vec\{c\}(\backslash vec\{a\}\backslash cdot\backslash vec\{b\})$,

Ein Merksatz für diese Formel ist “ABC = BAC minus CAB”.

Anmerkung: Die Graßmann-Identität gilt nur für echte Vektoren und nicht für vektorwertige Operatoren (wie z.B. für den Nabla-Operator).

Verallgemeinerung

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Es gibt eine Verallgemeinerung des Kreuzprodukts auf n-dimensionale euklidische Räume, die allerdings nicht mehr nur zwei Vektoren verknüpft, sondern n-1 Vektoren. Das Kreuzprodukt dieser Vektoren ist ein Vektor, der auf allen normal (senkrecht im Sinne des Skalarprodukts) steht und dessen Länge und Richtungssinn von den Längen und der Reihenfolge der Argumente abhängt.

Motivation

Das Kreuzprodukt einer $3\; \backslash times\; 3$-Matrix ergibt sich als die formale Determinante:

$$

\vec{a}\times\vec{b} = \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} \vec{e_x} & \vec{e_y} & \vec{e_z} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{pmatrix} = \vec{e_x} \cdot (a_2b_3 - b_2a_3) + \vec{e_y} (b_1a_3-a_1b_3) + \vec{e_z} (a_1b_2-b_1a_2) .

Sei nun V ein n-dimensionaler euklidischer K-Vektorraum und $a\_1$, ..., $a\_\{n-1\}$ Vektoren von V. Dann definiert man das Kreuzprodukt als formale Determinante

$a\_1\; \backslash times\; \backslash ldots\; \backslash times\; a\_\{n-1\}\; :=\; \backslash det(E,\; a\_1,\; \backslash ldots,\; a\_\{n-1\})$,

wobei die a_i als Koordinatenvektoren bezüglich einer Orthonormalbasis aufgefasst werden und E der Spaltenvektor ist, dessen Komponenten die Basisvektoren sind. Da das nicht Elemente von K (sondern von V) sind, ist das eine formale Determinante, die z.B. durch Entwicklung nach der ersten Spalte berechnet werden kann und einen Vektor in V liefert.

Eine noch weitergehende Verallgemeinerung des Kreuzproduktes stellt das äußere Produkt von Linearformen (beziehungsweise noch allgemeiner von (alternierenden) Multilinearformen) dar. Dabei kann dann eine beliebige Zahl von Vektoren verknüpft werden, das Ergebnis ist allerdings im Allgemeinen kein Vektor mehr.

Ableitung der Berechnungsformel im R³

Für den R³ mit dem kanonischen Skalarprodukt und der Orthonormalbasis {e₁=(1,0,0), e₂=(0,1,0), e₃=(0,0,1)} folgt aus der allgemeinen Definition auch die Formel für die Komponenten:

$$

\vec{a}\times\vec{b} = \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{pmatrix}

Weitere Eigenschaften

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Für jeden Einheitsvektor im R³, sprich $\backslash vec\{e\_1\}$, $\backslash vec\{e\_2\}$ und $\backslash vec\{e\_3\}$, gilt, dass er sich als Kreuzprodukt der jeweils zwei verbleibenden Vektoren darstellen lässt.

Beispiel:

$$

\vec{e_1} \times \vec{e_2} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \vec{e_3}

Anwendungen

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Etliche physikalische Größen können mit Hilfe des Kreuzprodukts berechnet werden. Beispiele dafür sind das Drehmoment oder die Lorentzkraft.

Weblinks

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• http://www-lehre.informatik.uni-osnabrueck.de/~cg/1997/skript/11_3_Kreuzprodukt_und.html
• Java-Applet der Universität von Syracuse zum Vektor- oder Kreuzprodukt
• Rechtssystem Kreuzprodukt (Prinzipskizze)
• Rechte-Hand-Regeln

Lineare Algebra

Vektorový součin | Krydsprodukt | Cross product | Producto vectorial | Produit vectoriel | מכפלה וקטורית | Vektoriális szorzat | Krossfeldi | Prodotto vettoriale | クロス積 | 외적 | Kruisproduct | Iloczyn wektorowy | Produto vetorial | Векторное произведение | Vektorski produkt | Kryssprodukt | Векторний добуток | Nhân vectơ | 叉积