OsculatingCircle.png Der Krümmungskreis zu einem bestimmten Punkte $P\; =\; \backslash left(\; x\_0\; |\; y\_0\; \backslash right)$ einer ebenen Kurve C ist der Kreis, der die Kurve in diesem Punkt am besten annähert.

Sein Radius, der Krümmungsradius, ist der Kehrwert der Krümmung der Kurve in $\backslash left(\; x\_0\; |\; y\_0\; \backslash right)$. Seine Tangente in diesem Punkt stimmt mit der Tangente der Kurve überein.

Da die Krümmung einer Kurve örtlich variiert, schmiegt sich die Kurve nur in einer infinitesimal kleinen Umgebung an den Krümmungskreis an.

Hinweis: Die Beispielzeichnungen legen nahe, dass der Krümmungskreis stets auf einer Seite der Kurve liegt. Dies ist jedoch nur dann der Fall, wenn die Krümmung der Kurve an dem entsprechenden Punkt ein Extremum hat. Da die Krümmung des Krümmungskreises selbst konstant ist, verläuft eine Kurve mit sich ändernder Krümmung in der Regel auf einer Seite des Berührpunktes innerhalb, auf der anderen außerhalb ihres Krümmungskreises.

Bestimmung des Krümmungsradius

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Der Mittelpunkt des Krümmungskreises ist die Grenzlage des Schnittpunktes der Normalen der Kurve, wenn die Kurvenpunkte der Normalen aufeinander zu streben:

Krümmungkreis-Näherung.png

t1, t2,... sind die Tangenten, n1, n2,... sind die Normalen in den Punkten P1, P2,... Die Punkte P1, P2,... nähern sich dem Scheitelpunkt S. Die Schnittpunkte K1, K2,... nähern sich dem Krümmungsmittelpunkt K

Ist die Kurve in der Parameterdarstellung $\backslash vec\; x(t)\backslash ,=\; \backslash ,\; \backslash begin\{pmatrix\}\; x\_1(t)\; \backslash \backslash \; x\_2(t)\; \backslash end\{pmatrix\}\backslash ,$ gegeben, so ist sein Radius

(1) $\backslash mathbf\{r\}\; =\; \backslash frac\{\backslash big(\; x\_1\text{'}(t)^2+x\_2\text{'}(t)^2\; \backslash big)^\{\backslash frac\{3\}\{2\}\}\}\{x\_1\text{'}(t)\; x\_2$(t) - x_1(t)x_2'(t)},

Der Mittelpunkt $\backslash left(\; u\; |\; v\; \backslash right)$des Krümmungskreises hat dann die Koordinaten

(2) $\backslash mathbf\{u\}\; =\; x\_1\; -\; \backslash frac\{x\_2\text{'}(t)\backslash big(x\_1\text{'}(t)^2+x\_2\text{'}(t)^2\backslash big)\}\{x\_1\text{'}(t)\; x\_2$(t) - x_1(t)x_2'(t)} und

(3) $\backslash mathbf\{v\}\; =\; x\_2\; +\; \backslash frac\{x\_1\text{'}(t)\backslash big(x\_1\text{'}(t)^2+x\_2\text{'}(t)^2\backslash big)\}\{x\_1\text{'}(t)\; x\_2$(t) - x_1(t)x_2'(t)}.

Krümmungsradius einer Funktion

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Auch für Funktionen f(x) lässt sich ein Krümmungsradius angeben. Mit der Transformation $x\; \backslash rightarrow\; t$ und $f(x)\; \backslash rightarrow\; f(t)$ wird die Funktion f(x) in eine Parameterdarstellung überführt und es ist:

$\backslash vec\; x(t)\backslash ,=\; \backslash ,\; \backslash begin\{pmatrix\}\; t\; \backslash \backslash$

f(t) \end{pmatrix}\, Die Ableitungen lauten:

$\backslash frac\{\backslash mathrm\; d\}\{\backslash mathrm\; dt\}\; t\; =\; 1$; $\backslash frac\{\backslash mathrm\; d^2\}\{\backslash mathrm\; dt^2\}\; t\; =\; 0$

$\backslash frac\{\backslash mathrm\; d\}\{\backslash mathrm\; dt\}\; f(t)\; =\; f\text{'}(t)$; $\backslash frac\{\backslash mathrm\; d^2\}\{\backslash mathrm\; dt^2\}f=\; f\text{'}\text{'}(t)$

Damit gilt für den Krümmungsradius einer Funktion an der Stelle $\backslash Big(x\_0\; |\; f(x\_0)\; \backslash Big)$ nach Einsetzen in (1):

(4) $\backslash mathbf\{r\}(x\_0)\; =\; \backslash frac\{\backslash big(1+f\text{'}(x\_0)^2\; \backslash big)^\{\backslash frac\{3\}\{2\}\}\}\{f\text{'}\text{'}(x\_0)\}$

Beispiel Kreis

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Die Parameterdarstellung eines Kreises lautet:

$\backslash vec\; x(t)\backslash ,=\; \backslash ,\; \backslash begin\{pmatrix\}\; \backslash cos(t)\; \backslash \backslash$

\sin(t) \end{pmatrix}\, Die Ableitungen betragen:

$\backslash frac\{\backslash mathrm\; d\}\{\backslash mathrm\; dt\}\; \backslash cos(t)\; =\; -\backslash sin(t)$; $\backslash frac\{\backslash mathrm\; d^2\}\{\backslash mathrm\; dt^2\}\; \backslash cos(t)\; =\; -\backslash cos(t)$

$\backslash frac\{\backslash mathrm\; d\}\{\backslash mathrm\; dt\}\; \backslash sin(t)\; =\; \backslash cos(t)$; $\backslash frac\{\backslash mathrm\; d^2\}\{\backslash mathrm\; dt^2\}\; \backslash sin(t)\; =\; -\backslash sin(t)$

Eingesetzt in (1) folgt für den Krümmungsradius eines Einheits-Kreises mit dem Radius von eins:

Der Krümmungsradius eines Kreises ist konstant und ist so groß wie sein Radius, r=1.

Beispiel Parabel

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Krümmungskreis-Parabel.png Für die Normalparabel $f(x)\; =\; x^2$ gilt:

$f\; \text{'}(x)=2\backslash cdot\; x$

$f\; \text{'}\text{'}(x)=2$

Setzt man in (4) ein, folgt für den Krümmungsradius:

$r(x)=\backslash frac\{\; \backslash left(1+4\backslash cdot\; x^2\; \backslash right)^\{\backslash frac\{3\}\{2\}\}\}\{2\}$

An der Stelle x=0 beträgt der Krümmungsradius r=0,5 (siehe Abbildung). Für große x wächst der Krümmungsradius ~ x³, die Kurve wird immer gerader.

Siehe auch

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• Klotoide, Krümmungsradius ist proportional zur Kurvenlänge
• Schlangenlinie, alternierendes Krümmungsverhalten

Analytische Geometrie

Osculating circle | Cercle osculateur | 密切平面