Krümmung ist ein Begriff verschiedener Fachgebiete der Mathematik. Je nach Art des gekrümmten Gegenstandes wird er unterschiedlich definiert.

Krümmung einer Kurve

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Unter der Krümmung einer Kurve versteht man in der Geometrie und Mathematik die Richtungsänderung pro Längeneinheit. $\backslash vec\{r\}(s)$ sei der Ortsvektor eines Punktes auf der Kurve als Funktion der Bogenlänge $s$. Die Krümmung $\{\backslash ,\backslash kappa\backslash ,\}$ der Kurve ist dann definiert als

$$

\kappa = \left|\frac{d^2\vec{r}}{ds^2}\right| \,\,\,\,\,\, \mbox{mit} \,\,\,\,\,\, ds = |d\vec{r}|. Ebenso wie die Windung (Torsion) ist die Krümmung eine bewegungsinvariante Größe, die den lokalen Verlauf einer Kurve beschreibt. Beide Größen kommen als Koeffizienten in den frenetschen Formeln vor.

Die Krümmung einer Geraden ist überall gleich null. - Ein Kreis mit dem Radius r hat überall die Krümmung 1/r. Bei allen anderen Kurven wechselt die Krümmung von Kurvenpunkt zu Kurvenpunkt.

Den Kehrwert der Krümmung nennt man Krümmungsradius.

Im Sonderfall einer ebenen Kurve (ihre Windung beträgt null) ist die Krümmung gleichbedeutend mit: $\backslash kappa\; =\; \backslash left|\backslash frac\{d\backslash varphi\}\{ds\}\backslash right|,$ wobei $\backslash varphi$ der Neigungswinkel der Kurventangente ist.

Berechnung der Krümmung für ebene Kurven

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Die oben gegebene allgemeine Definition ist für die praktische Berechnung der Krümmung oft unhandlich. Im Spezialfall einer ebenen Kurve können folgende Formeln verwendet werden:

• Fall 1: Die Kurve ist in Parameterdarstellung gegeben, also durch zwei Funktionen $x(t)$ und $y(t)$.

Dann ist die Krümmung im Punkt $(x(t),y(t))$ gleich

$\backslash kappa\; =\; \backslash left|\backslash frac\{\backslash dot\; x(t)\; \backslash ddot\; y(t)\; -\; \backslash ddot\; x(t)\; \backslash dot\; y(t)\}\{\backslash big(\backslash dot\; x(t)^2\; +\; \backslash dot\; y(t)^2\backslash big)^\{3/2\}\}\backslash right|$.

(Die Punkte bezeichnen dabei Ableitungen nach $t$.)

• Fall 2: Die Kurve ist der Graph einer Funktion $f$.

Die Krümmung im Punkt $(x,f(x))$ ergibt sich aus

$\backslash kappa\; =\; \backslash left|\backslash frac\{f\text{'}\text{'}(x)\}\{\backslash left(1\; +\; (f\text{'}(x))^2\backslash right)^\{3/2\}\}\backslash right|$.

• Fall 3: Die Kurve ist in Polarkoordinaten gegeben, also durch eine Gleichung $r\; =\; f(\backslash varphi)$.

In diesem Fall erhält man für die Krümmung im Punkt $(r\backslash cos\backslash varphi,r\backslash sin\backslash varphi)$

$\backslash kappa\; =\; \backslash left|\backslash frac\{(f(\backslash varphi))^2\; +\; 2\; (f\text{'}(\backslash varphi))^2\; -\; f(\backslash varphi)\; f\text{'}\text{'}(\backslash varphi)\}$

{\left((f(\varphi))^2 + (f'(\varphi))^2\right)^{3/2}}\right|.

Berechnung der Krümmung für Raumkurven

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Die Kurve im dreidimensionalen Raum ($\backslash mathbb\{R\}^3$) sei durch eine Funktion des Parameters t gegeben.

$\backslash vec\{r\}\; =\; \backslash vec\{r\}(t)$

Die Krümmung lässt sich mit Hilfe der ersten und zweiten Ableitung berechnen:

$\backslash kappa\; =\; \backslash frac\{||\backslash vec\{r\}\backslash ,\text{'}(t)\; \backslash times\; \backslash vec\{r\}\backslash ,\text{'}\text{'}(t)||\}\{||\backslash vec\{r\}\backslash ,\text{'}(t)||^3\}$

Krümmung einer Fläche

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Einer gewölbten Fläche merkt man ihre Krümmung an einer nach außen quadratisch zunehmenden Abweichung der Fläche von ihrer Tangentialebene an. Eine verstärkte Krümmung macht sich dann als stärkere Abweichung von der Ebene bemerkbar.

In der Differentialgeometrie weist man jedem Punkt einer gekrümmten Fläche zwei Krümmungsradien zu, einen maximalen (R₁) und einen minimalen (R₂). Alternativ sind auch die Krümmungen k₁ und k₂ der Fläche anwendbar. Die entsprechenden Krümmungsrichtungen stehen immer senkrecht aufeinander. Die gaußsche Krümmung (GK) und die mittlere Krümmung (MK) berechnen sich daraus wie folgt:

$$

GK = \frac{1}{R_1} \cdot \frac{1}{R_2} = k_{1} \cdot k_{2}

$$

MK = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right) = \frac{1}{2} (k_{1} + k_{2}) Die zugehörige "Gauß'sche Schmiegungskugel" vereinfacht z.B. Berechnungen am Erdellipsoid erheblich.

Krümmung in der riemannschen Geometrie

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Für eine riemannsche Mannigfaltigkeit kann eine Krümmung definiert werden, die ohne Rückgriff auf einen umgebenden Raum auskommt. Sie misst, inwieweit die lokale Geometrie der Mannigfaltigkeit von den Gesetzen der euklidischen Geometrie abweicht.

Die Krümmung zeigt sich beispielsweise, wenn man das Verhältnis zwischen Kreisumfang und Radius innerhalb der Mannigfaltigkeit ermittelt und zu dem Wert $2\backslash pi$, den man in einem euklidischen Raum erhält, in Verhältnis setzt.

Bemerkenswert ist, dass man zum Beispiel auf der Oberfläche eines Torus eine Metrik definieren kann, die keine Krümmung aufweist. Dies lässt sich aus der Tatsache ableiten, dass man einen Torus aus einer ebenen Fläche bilden kann. Das Koordinatensystem, welches auf der Oberfläche benutzt wird, ergibt sich durch die Abbildung der ebenen Fläche, aus der der Torus gebildet wurde.

Anwendung in der Relativitätstheorie

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Hauptartikel: Raumkrümmung

In der allgemeinen Relativitätstheorie wird die Gravitation durch eine Krümmung der Raum-Zeit beschrieben, die von den Massen der Himmelskörper verursacht wird. Körper und Lichtstrahlen bewegen sich auf den durch diese Krümmung bestimmten geodätischen Bahnen. Diese Bahnen erwecken den Anschein, dass eine Kraft auf die entsprechenden Körper ausgeübt wird.

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