Unter Koordinatentransformation versteht man die Veränderung der Koordinatenwerte beim Wechsel von einem Koordinatensystem zu einem anderen. Formal gesehen ist diese Transformation ein Basiswechsel.

Koordinatentransformationen können angewendet werden, wenn sich ein Problem in einem anderen Koordinatensystem leichter lösen lässt, z. B. wird eine Transformation bei der Umrechnung von kartesische Koordinaten in Polarkoordinaten oder umgekehrt verwendet, wodurch sich die geographische Breite, Länge und Höhe in kartesischen Koordinaten darstellen lässt.

Lineare Transformationen

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Lineare Transformationen beschreiben die Umrechnung zwischen Koordinatensystemen, die einen gemeinsamen Ursprung haben. Formal gesehen handelt es sich hierbei um lineare Abbildungen.

Skalierung

Will man bei einem Koordinatensystem die Maßstäbe ändern, müssen die Koordinaten aller Punkte umgerechnet werden. Dabei bleiben die Verhältnisse der Strecken zueinander bestehen. Es gilt für einen Punkt auf der y-Achse:

$\backslash frac\{y\_\{neu\}-y\_\{minneu\}\}\{y\_\{maxneu\}-y\_\{minneu\}\}\; =\; \backslash frac\{y\_\{alt\}-y\_\{minalt\}\}\{y\_\{maxalt\}-y\_\{minalt\}\}$

Dabei sind die alt-Werte die Werte aus dem bekannten Koordinatensystem, die neu-Werte die Werte des neuen Koordinatensystems. Löst man die Gleichung nach $y\_\{neu\}$ auf, hat man den y-Wert, der im neuen Koordinatensystem einzuzeichnen ist.

Für die x-Werte gilt entsprechendes:

$\backslash frac\{x\_\{neu\}-x\_\{minneu\}\}\{x\_\{maxneu\}-x\_\{minneu\}\}\; =\; \backslash frac\{x\_\{alt\}-x\_\{minalt\}\}\{x\_\{maxalt\}-x\_\{minalt\}\}$

Dieses Transformationsproblem tritt beispielsweise am PC auf, wenn in einer Programmiersprache kein Befehl für die Koordinatenumrechnung vorhanden ist. Dann muss man alle x- und y-Werte transformieren, so dass sie der PC richtig darstellt.

Beispiel

Um die Funktion $y\; =\; \backslash sin(x)$ auf einem PC darstellen zu können, will man den maximalen y-Wert bei 2 und den minimalen y-Wert bei -2 haben. Bei diesem Computer beträgt z. B. der maximale y-Wert 100 und der minimale y-Wert 0. Die x-Koordinaten sollen unverändert bleiben.

Dann ist bekannt

$y\_\{alt\}=\backslash sin(x\_\{alt\})$ , $y\_\{maxalt\}=2$ und $y\_\{minalt\}=-2$.

Weiterhin ist bekannt

$y\_\{maxneu\}=100$ , $y\_\{minneu\}=0$.

Gesucht sind die $y\_\{neu\}$-Werte für $\backslash sin(x\_\{neu\})$, wobei $x\_\{neu\}\; =\; x\_\{alt\}$.

Man kann obige Verhältnisformel nach $y\_\{neu\}$ auflösen und ist am Ziel.

$y\_\{neu\}\; -\; y\_\{minneu\}\; =\; \backslash frac\{y\_\{alt\}\; -\; y\_\{minalt\}\}\{y\_\{maxalt\}\; -\; y\_\{minalt\}\}\; \backslash cdot\; (y\_\{maxneu\}\; -\; y\_\{minneu\})$

$y\_\{neu\}\; =\; \backslash frac\{y\_\{alt\}\; -\; y\_\{minalt\}\}\{y\_\{maxalt\}\; -\; y\_\{minalt\}\}\; \backslash cdot\; (y\_\{maxneu\}\; -\; y\_\{minneu\})\; +\; y\_\{minneu\}$

Statt $y\_\{alt\}$ setzt man jetzt die gesuchte Funktion ein: $y\_\{alt\}\; =\; \backslash sin(x)$. Dann erhält man insgesamt:

$y\_\{neu\}\backslash ,$	$=\backslash frac\{\backslash sin(x)\; -\; (-2)\}\{2\; -\; (-2)\}\; \backslash cdot\; (100\; -\; 0)\; +\; 0$
	$=\backslash frac\{\backslash sin(x)\; +\; 2\}\{4\}\backslash cdot\; 100$
	$=25\backslash cdot\backslash sin(x)\; +\; 50$

Koordinatentransformation_PC.PNG

Beispiel für eine Koordinatentransformation

Drehungen

Wir betrachten zwei Koordinatensysteme S und S' mit einer gemeinsamen z-Achse und gemeinsamen Ursprung. S' sei gegenüber S um den Winkel $\backslash varphi$ um die z-Achse gedreht. Ein Punkt P, der im Koordinatensystem S die Koordinaten (x, y, z) hat, besitzt dann im Koordinatensystem S' die Koordinaten:

• $x\text{'}=x\backslash cos\backslash varphi+y\backslash sin\backslash varphi$,
• $y\text{'}=y\backslash cos\backslash varphi-x\backslash sin\backslash varphi$,
• $z\text{'}=z\backslash ,$

siehe auch: Rotationsmatrix

Affine Transformationen

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Die Linearen Transformationen sind ein Spezialfall der Affinen Transformationen.

siehe auch: Affine Abbildung

Translationen (Verschiebungen)

Wir betrachten zwei Koordinatensysteme S und S'. S' ist gegenüber S um den Vektor $\backslash vec\{v\}=(a,\; b,\; c)^T$ verschoben aber nicht verdreht.

Ein Punkt P, der im Koordinatensystem S die Koordinaten $(x,\; y,\; z)$ hat, besitzt dann im Koordinatensystem S' die Koordinaten

• $x\text{'}=x-a$
• $y\text{'}=y-b$
• $z\text{'}=z-c$

siehe auch: Parallelverschiebung

Anwendungen

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Kartesische Koordinaten und Polarkoordinaten

Hauptartikel: Polarkoordinaten

Ein Punkt in der Ebene wird im kartesischen Koordinatensystem durch seine Koordinaten (x,y) und im Polarkoordinatensystem durch den Abstand $r$ vom Ursprung und dem (positivem) Winkel $\backslash varphi$ zur x-Achse bestimmt.

Dabei gilt für die Umrechnung von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten:

• $x=r\backslash cdot\backslash cos\backslash varphi$
• $y=r\backslash cdot\backslash sin\backslash varphi$

Für die Umrechnung von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten gilt:

• $r=\backslash sqrt\{x^2+y^2\}$

\arctan\frac yx+\pi&\mathrm{f\ddot ur}\ x<0,\,y\geq0\\ \arctan\frac yx-\pi&\mathrm{f\ddot ur}\ x<0,\,y<0\\ \pi/2&\mathrm{f\ddot ur}\ x=0,\,y>0\\ -\pi/2&\mathrm{f\ddot ur}\ x=0,\,y<0 \end{cases}

\arccos\left(-\frac xr\right)-\pi&\mathrm{f\ddot ur}\ y<0 \end{cases}

Weitere Anwendungen

In der Physik sind die Galilei-Transformation und die Lorentz-Transformation wichtig.

In den Geowissenschaften - insbesondere der Geodäsie und Kartographie gibt es noch weitere Transformationen, die formal Koordinatentransformationen darstellen.

• Transformation von geographischer Breite und Länge in Gauß-Krüger-Koordinaten
• Die Umrechnungen zwischen astronomischen Koordinaten
• 7-Parameter-Transformation (Verschiebung, Drehung, Maßstab zwischen zwei Koordinatensystemen auf demselben oder anderen Referenzellipsoid(en), auch Helmert-Transformation ("Dreh-Streckung")
• Affine Transformation.

Siehe auch: Georeferenz, Passpunkt, Fotogrammetrie, kartesisches Koordinatensystem, Rotationsmatrix, Basiswechsel, Herzog'scher TART-Satz

Geometrie