In der Analysis ist ein Konvergenzkriterium ein Kriterium, mit dem man die Konvergenz einer unendlichen Reihe beweisen kann. Insbesondere meint man damit Kriterien für die Konvergenz einer reellen Reihe. Mit einigen dieser Kriterien kann man auch die Divergenz einer Reihe beweisen. Dabei unterscheidet man drei Arten von Kriterien: Die direkten Kriterien, die aus Eigenschaften der Folge selbst auf Konvergenz schließen, Vergleichskriterien 1. Art, die den Absolutbetrag bzw. die Norm der Reihenglieder mit einer bekannten Reihe vergleichen und Vergleichskriterien 2. Art, die die Quotienten der Absolutbeträge aufeinanderfolgender Glieder mit den entsprechenden Quotienten einer bekannten Reihe vergleichen.

Bekannte Konvergenzkriterien sind:

1. Direkte Kriterien:
   • Trivialkriterium(Ist die Folge der Reihenglieder keine Nullfolge dann divergiert die Reihe)
   • Kriterium der monotonen Konvergenz (Eine Reihe mit positiven reellen Gliedern und beschränkten Partialsummen konvergiert, Grenzwert ist das Supremum der Partialsummen)
   • Leibnizkriterium
   • Cauchykriterium
   • Kriterium von Abel
   • Kriterium von Dirichlet
2. Vergleichskriterien 1. Art
   • Majorantenkriterium, Minorantenkriterium
   • Integralkriterium
   • Wurzelkriterium
   • Cauchysches Verdichtungskriterium
   • Grenzwertkriterium
3. Vergleichskriterien 2. Art
   • Kriterium von Kummer
   • Quotientenkriterium
   • Kriterium von Raabe
   • Kriterium von Gauß
   • Kriterium von Bertrand

Die Kriterien ermöglichen unterschiedliche Aussagen: Einige erlauben nur den Schluss auf Konvergenz, mit anderen kann auch Divergenz bewiesen werden, einige zeigen absolute Konvergenz, andere nur Konvergenz (aus absoluter Konvergenz folgt Konvergenz, aber nicht umgekehrt). Zudem erlauben verschiedene Kriterien eine Abschätzung des Grenzwerts oder eine Fehlerabschätzung. Einen Überblick gibt die Tabelle:

Literatur

• Konrad Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen. 6. Aufl., Springer 1996

Convergent series

Folgen und Reihen