In der Mathematik bezeichnet der Limes oder Grenzwert einer Folge denjenigen Wert, den man sich als das Folgenglied mit Index „unendlich“ vorstellen kann. Dabei handelt es sich um ein grundlegendes Konzept der modernen Analysis. In einem allgemeineren Sinne wird es in der Topologie behandelt. Existiert ein Grenzwert, so wird die Folge als konvergent bezeichnet, ansonsten als divergent.

In der altgriechischen Philosophie und Mathematik stand der Grenzwertbegriff noch nicht zur Verfügung, siehe z.B. Achilles und die Schildkröte. In seiner modernen Form wurde er erstmals von Augustin Louis Cauchy definiert.

Grenzwert einer reellen Zahlenfolge

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Erläuterung

Konvergenz.svg Eine reelle Zahl $a$ ist der Limes einer Folge $(a\_n)\_\{n\backslash in\backslash N\}$ reeller Zahlen, falls der Abstand zwischen fast allen Folgengliedern und $a$ beliebig klein wird.

Die genaue Formulierung lautet: Zu jedem $\backslash varepsilon>0$ gibt es einen Index $N$, so dass ab diesem Index alle Folgenglieder weniger als $\backslash varepsilon$ von $a$ entfernt sind. In Formeln:

Man findet auch die Darstellung ohne Absolutbetrag: Statt wird auch

Neben der Schreibweise $\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; a\_n\; =\; a$ ist auch die Schreibweise $a\_n\backslash to\; a$, gelesen als $a\_n\backslash ;$ konvergiert gegen $a\backslash ;$, üblich.

Man beachte, dass in der Definition der Konvergenz der Index $N$ von $\backslash epsilon$ abhängen darf. Um zum Beispiel zu beweisen, dass die Folge $(1/n)$ gegen $0$ konvergiert, wählt man zu vorgegebenem $\backslash varepsilon$ als $N$ (z. B.) die kleinste natürliche Zahl, die größer als $1/\; \backslash varepsilon$ ist. Daher gilt für alle $n>N$:

Die erste Ungleichung folgt dabei aus $n>N$ (bei Kehrwertbildung dreht sich in Ungleichungen das Relationszeichen um), die zweite aus $N>1/\backslash varepsilon$.

Folgen, die gegen Null konvergieren, wie eben dieses Beispiel (1/n), werden Nullfolgen genannt.

Wenn der Grenzwert einer Zahlenfolge existiert, dann ist er eindeutig bestimmt. Außerdem gilt, dass für eine Folge auch jede Teilfolge gegen den selben Grenzwert konvergiert.

Beispiele

• Die konstante Folge (c) mit einer festen reellen Zahl c konvergiert gegen c.
• Die Folge (1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, ...) der abbrechenden Dezimalbruchentwicklungen von √2 konvergiert gegen √2.
• Die Folge $(e\_n)$ mit $e\_n=(1+1/n)^n$ ist konvergent gegen die Eulersche Zahl $e$. Die Folge $(1+\; r/n)^n$ konvergiert gegen $e^r$. Diese Zahlenfolge tritt beim Problem der stetigen Verzinsung (siehe Zinsrechnung) auf.
• Die Folge $(c\_n)$ mit $c\_n=(-1)^n\; +1/n$ ist nicht konvergent, besitzt jedoch zwei konvergente Teilfolgen für gerade und ungerade $n$.

Rechenregeln

Für Grenzwerte gelten folgende Rechenregeln:

Existiert der Grenzwert $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; a\_n=a$, so sind auch die folgenden Grenzwerte für jedes $c\backslash in\backslash R\backslash ;$ existent und berechnen sich wie angegeben:

• $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; ca\_n=ca,$
• $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; \backslash left(c+\; a\_n\backslash right)=c+a,$
• $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; \backslash left(c-a\_n\backslash right)=c-a.$

Ist zusätzlich $a\backslash neq\; 0$, so ist auch $a\_n\backslash neq\; 0$ ab einem gewissen Index $N\_0\backslash ;$ und für die Teilfolge der $n>N\_0\backslash ;$, dann gilt

• $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; \backslash frac\{c\}\{a\_n\}=\backslash frac\{c\}\{a\}.$

Existieren die Grenzwerte $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; a\_n=a$ und $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; b\_n=b$, so sind auch die folgenden Grenzwerte existent und berechnen sich wie angegeben:

• $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; \backslash left(a\_n+b\_n\backslash right)=\; a+b,$
• $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; \backslash left(a\_n-b\_n\backslash right)=\; a-b,$
• $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; \backslash left(a\_n\backslash cdot\; b\_n\backslash right)=\; a\backslash cdot\; b.$

Ist zusätzlich $b\backslash neq\; 0$, so ist auch $b\_n\backslash neq\; 0$ ab einem gewissen Index $N\_0\backslash ;$ und für die Teilfolge der $n>N\_0\backslash ;$, dann gilt

• $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; \backslash frac\{a\_n\}\{b\_n\}=\backslash frac\{a\}\{b\}$.

Mit Hilfe dieser Rechenregeln lassen sich in vielen Fällen aus bekannten Grenzwerten einfach weitere Grenzwerte berechnen. So erhält man beispielsweise für den Grenzwert der Folge $\backslash frac\{2n^2-1\}\{n^2+1\}$

$\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash frac\{2n^2-1\}\{n^2+1\}=\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash frac\{2-\backslash frac\{1\}\{n^2\}\}\{1+\backslash frac\{1\}\{n^2\}\}$

=\frac{\lim_{n\to\infty}\left(2-\frac{1}{n^2}\right)}{\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n^2}\right)} =\frac{2-\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2}}{1+\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2}}=\frac{2-0}{1+0}=2.

Wichtige Grenzwerte

• $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; \backslash left(1+z/n\backslash right)^n=e^z$ für reelle oder komplexe Zahlen $z$.
• $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash sqrt*\{n\}=1$
• Die geometrische Reihe $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}$

\sum_{k=0}^{n} q^k konvergiert gegen $\backslash frac\{1\}\{1-q\}$ falls ist und divergiert falls $|q|\backslash ge\; 1$ ist.

• Die harmonische Reihe divergiert, die alternierende harmonische Reihe konvergiert jedoch: $\backslash sum\_\{k\; =\; 1\}^\backslash infty\; \backslash frac\{(-1)^\{k\; +\; 1\}\}\{k\}\; =\; \backslash ln\; 2$.

Grenzwertbildung und Funktionsauswertung

Die Rechenregeln lassen sich als Spezialfall folgender Gesetzmäßigkeiten auffassen:

• Ist $f:\backslash R\backslash to\backslash R\backslash ;$ stetig im Punkt $a\backslash ;$ und konvergiert $a\_n\backslash ;$ gegen $a\backslash ;$, so gilt

$\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; f(a\_n)\; =\; f\backslash left(\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; a\_n\backslash right)=f(a)$;

• Ist $g:\backslash R^2\backslash to\backslash R\backslash ;$ stetig im Punkt $(a,b)\backslash ;$ und konvergieren $a\_n\backslash ;$ gegen $a\backslash ;$ und $b\_n\backslash ;$ gegen $b\backslash ;$, so gilt

$\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; g(a\_n,b\_n)\; =\; g\backslash left(\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; a\_n,\; \backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; b\_n\backslash right)=g(a,b)$.

Für stetige Funktionen sind also Grenzwertbildung und Funktionsauswertung vertauschbar. Die oben angegebenen Rechenregeln folgen damit direkt aus der Stetigkeit der Addition, Subtraktion, Multiplikation und, falls der Nenner ungleich Null ist, Division.

In den reellen Zahlen gilt auch die Umkehrung: Ist die Funktion $f:\backslash R\backslash to\backslash R\backslash ;$ gegeben und gilt für alle Folgen $(a\_n)\_\{n\backslash in\backslash N\}$ mit $a\_n\backslash to\; a$ auch $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; f(a\_n)\; =f(a)$, so ist $f\backslash ;$ stetig im Punkt $a\backslash ;$. Ebenso gilt für eine gegebene Funktion $g:\backslash R^2\backslash to\backslash R\backslash ;$, die für alle Folgen $(a\_n)\_\{n\backslash in\backslash N\}$, $(b\_n)\_\{n\backslash in\backslash N\}$ mit $a\_n\backslash to\; a$ und $b\_n\backslash to\; b$ auch $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; g\backslash left(a\_n,b\_n\backslash right)\; =g(a,b)$, dass $g\backslash ;$ stetig im Punkt $(a,b)\backslash ;$ ist.

Konvergenzkriterien

Bei der oben angegebenen Definition der Konvergenz wird der Grenzwert $a\backslash ;$ in der Definition verwendet. Der Grenzwert muss also bekannt sein oder zumindest vermutet werden, damit mit dieser Definition die Konvergenz der Folge nachgewiesen werden kann. Es gibt allerdings auch Kriterien, mit denen die Konvergenz einer Folge nachgewiesen werden kann, ohne dass der Grenzwert bekannt ist.

Erstes Hauptkriterium

Das erste HauptkriteriumKonrad Knopp. Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen. 5. Auflage, Springer Verlag 1964, ISBN 3-540-03138-3. S 81, Satz 46 besagt, dass eine monotone wachsende und nach oben beschränkte Folge stets konvergent ist, wobei der Grenzwert kleiner gleich der oberen Schranke ist. Formal also

$a\_n\backslash leq\; a\_\{n+1\}\; \backslash mbox\; \{\; und\; \}\; a\_n\backslash leq\; A\; \backslash mathrm\{\backslash \; f\backslash ddot\{u\}r\backslash \; alle\backslash \; \}\; n\; \backslash Longrightarrow\; a\_n\; \backslash mbox\{\; konvergiert\; und\; \}\; \backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; a\_n\; \backslash leq\; A.$

Ebenso konvergiert eine monotone fallende und nach unten beschränkte Folge. Zu beachten ist, dass der Grenzwert auch dann genau gleich der Schranke sein kann, wenn jedes Folgenglied davon verschieden ist. Beispielsweise ist die Folge $a\_n=\backslash frac\{1\}\{n\}$ monoton fallend und es gilt $a\_n>0\backslash ;$; der Grenzwert ist gleich 0 und damit genau gleich der Schranke.

In der Praxis wird dieses Kriterium oft auch in der Form angewendet, dass man beispielsweise zu einer monoton wachsende Folge $(a\_n)\backslash ;$ eine monoton fallende Folge $(b\_n)\backslash ;$ findet, die $a\_n\backslash leq\; b\_n$ für alle $n\backslash in\backslash N\backslash ;$ erfüllt. Dann konvergieren sowohl $(a\_n)\backslash ;$ als auch $(b\_n)\backslash ;$ und es gilt $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; a\_n\; \backslash leq\; \backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; b\_n$. Beispielsweise kann man für die zur Definition der Eulerschen Zahl verwendeten Folge

$a\_n=\backslash left(1+\backslash frac\{1\}\{n\}\backslash right)^n$

zeigen, dass sie monoton wachsend ist und dass die Folge

$b\_n=\backslash left(1+\backslash frac\{1\}\{n-1\}\backslash right)^n$

monoton fallend ist und

Gilt (wie in diesem Beispiel) zusätzlich, dass $b\_n-a\_n\backslash ;$ eine Nullfolge bildet, so liegt eine Intervallschachtelung vor und es gilt

$\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}a\_n=\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}b\_n$.

Zweites Hauptkriterium

Das zweite HauptkriteriumKonrad Knopp. Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen. 5. Auflage, Springer Verlag 1964, ISBN 3-540-03138-3. S 85, Satz 47 beruht auf dem Begriff der Cauchy-Folge: Eine Folge $(a\_n)\; \_\{n\backslash in\; \backslash mathbb\{N\}\}$ heißt Cauchy-Folge, wenn gilt:

.

Das zweite Hauptkriterium besagt nun, dass eine Folge in den reellen Zahlen genau dann konvergiert, wenn sie eine Cauchy-Folge ist. Dieses Kriterium spielt insbesondere bei der Konstruktion der reellen Zahlen aus den rationalen Zahlen und bei der Erweiterung des Grenzwertbegriffs auf metrische Räume eine wichtige Rolle.

Konvergenz von unendlichen Reihen

Der Grenzwert einer unendlichen Reihe, der auch als Summe der unendlichen Reihe bezeichnet wird, ist als der Grenzwert der Partialsummen definiert. Im Prinzip bringt das nichts Neues, für die Untersuchung der Konvergenz einer unendlichen Reihe stehen aber eine Fülle zusätzlicher Konvergenzkriterien zur Verfügung.

Bestimmte Divergenz

In den reellen Zahlen unterscheidet man zwischen bestimmter Divergenz und unbestimmter Divergenz:

Bestimmte Divergenz gegen $+\backslash infty$ (bzw. $-\backslash infty$) liegt vor, wenn eine Folge x_n jede reelle Zahl irgendwann überschreitet und dann darüber bleibt (bzw. jede Zahl unterschreitet). Das heißt,

$\backslash forall\; M\backslash in\backslash mathbb\{R\}\; \backslash \; \backslash exists\; N\backslash in\backslash mathbb\{N\}\; \backslash quad\; \backslash forall\; n>N:\; x\_n>M$

bzw.

Man schreibt dann

$\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; x\_n\; =\; \backslash infty$

bzw.

$\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; x\_n\; =\; -\backslash infty$

und sagt, die Folge divergiert bestimmt gegen $\backslash infty$ bzw. gegen $-\backslash infty$. Die Werte $\backslash infty$ und $-\backslash infty$ werden in diesem Zusammenhang oft auch uneigentliche Grenzwerte genannt. Dass diese Werte ebenfalls als Grenzwert in einen etwas weiteren Sinne angesehen werden, ist insofern gerechtfertigt, als die uneigentlichen Grenzwerte in den erweiterten reellen Zahlen $\backslash bar\{\backslash R\}:=\backslash R\; \backslash cup\; \backslash \{-\backslash infty,\; +\backslash infty\; \backslash \}$, versehen mit einer passenden Topologie, echte Grenzwerte im Sinne des weiter unten beschriebenen allgemeinen topologischen Grenzwertbegriffs sind.

Unbestimmte Divergenz liegt vor, wenn die Folge weder konvergiert noch bestimmt divergiert.

Beispiele

• Die Folge (n) der natürlichen Zahlen divergiert bestimmt gegen $\backslash infty$.
• Die Folge (+1,-1,+1,-1,...) divergiert unbestimmt.
• Die Folge (1,-2,3,-4,5,-6,...) divergiert unbestimmt.

Grenzwert und Häufungspunkt

Ein mit dem Grenzwert einer Folge eng verwandter Begriff ist der Häufungspunkt einer Folge. Die formalen Definitionen unterscheiden sich lediglich in der Position der Existenz- bzw. Allquantoren:

Während der Grenzwert als

definiert ist, gilt für den Häufungspunkt

$a\backslash ;$ ist Häufungspunkt von .

Die Definition des Grenzwertes verlangt also, dass in jeder Umgebung des Grenzwertes ab einem gewissen Index alle Folgenglieder liegen; die Definition des Häufungspunktes verlangt lediglich, dass in jeder Umgebung unendlich viele Folgenglieder liegen.

Analog zu den uneigentlichen Grenzwerten werden gelegentlich die uneigentlichen Häufungspunkte definiert:

$+\backslash infty\backslash ;$ ist uneigentlicher Häufungspunkt von $a\_n\; \backslash Longleftrightarrow\; \backslash forall\; M\backslash in\backslash mathbb\{R\}\; \backslash \; \backslash forall\; N\backslash in\backslash mathbb\{N\}\; \backslash quad\; \backslash exists\; n>N:\; \backslash quad\; x\_n>M$,

$-\backslash infty\backslash ;$ ist uneigentlicher Häufungspunkt von

Auch die Definition der uneigentlichen Häufungspunkte unterscheidet sich von der Definition der uneigentlichen Grenzwerte nur duch die Position der Existenz- bzw. Allquantoren.

Wenn eine Folge einen eigentlichen (bzw. uneigentlichen) Grenzwert hat, so ist dieser Grenzwert auch eigentlicher (bzw. uneigentlicher) Häufungspunkt. Während eine Folge aber höchstens einen Grenzwert hat, kann sie mehrere Häufungspunkte haben. Für jeden eigentlichen (bzw. uneigentlichen) Häufungspunkt gibt es eine Teilfoge, die gegen diesen Häufungspunkt konvergiert (bzw. bestimmt divergiert). Enthält umgekehrt eine Folge eine konvergente (bzw. bestimmt divergente) Teilfolge, so ist der (eigentliche bzw. uneigentliche) Grenzwert dieser Folge ein (eigentlicher bzw. uneigentlicher) Häufungspunkt der Folge.

Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß enthält jede beschränkte reelle Folge eine konvergente Teilfolge. Ist die Folge nach oben unbeschränkt, enthält sie eine gegen $+\backslash infty$ bestimmt divergente Teilfolge, ist sie nach unten unbeschränkt, so enthält sie eine gegen $-\backslash infty$ bestimmt divergente Teilfolge. Jede reelle Folge hat somit mindestens einen eigentlichen oder uneigentlichen Häufungspunkt. Der größte dieser Häufungspunkte wird als Limes superior bezeichnet, der kleineste als Limes inferior. Eine formale Definition dazu findet sich im Artikel Limes superior und Limes inferior. Stimmen der Limes superior und der Limes inferior überein, so ist dieser Wert auch eigentlicher oder uneigentlicher Grenzwert und die Folge ist konvergent bzw. bestimmt divergent. Sind Limes superior und der Limes inferior unterschiedlich, so ist die Folge unbestimmt divergent.

Grenzwert einer rationalen Zahlenfolge

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Der Grenzwert einer Folge rationaler Zahlen wird formal wie der Grenzwert einer Folge reeller Zahlen definiert:

Während das bei $a\_n\backslash ;$ und $\backslash varepsilon\backslash ;$ keine besondere Einschränkung ist, wirkt sich das beim Grenzwert $a\backslash ;$ wesentlich aus. So gibt es keine rationale Zahl, gegen welche die oben angegebene Folge (1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, ...) der abbrechenden Dezimalbruchentwicklungen von √2 konvergiert. Die Folge ist also in den rationalen Zahlen divergent, obwohl sie sowohl monoton wachsend und beschränkt ist, also das erste Hauptkriterium erfüllt, also auch eine Cauchy-Folge ist, also auch das zweite Hauptkriterium erfüllt. Die rationalen Zahlen weisen somit "Lücken" auf.

Diese "Lücken" waren bereits Euklid in der Antike bekannt; es gelang aber erst im 19. Jahrhundert diese "Lücken" durch die systematische Einführung der reellen Zahlen zu schließen. Ein häufig verwendeter Weg der systematischen Einführung der reellen Zahlen besteht darin, zuerst Cauchy-Folgen rationaler Zahlen zu betrachten, jene Cauchy-Folgen als äquivalent zu betrachten, deren Differenz eine Nullfolge bildet und darauf aufbauend die reellen Zahlen als eine solche Äquivalenzklasse zu definieren. In dieser Zahlbereichserweiterung gelten dann das oben angegebene erste und zweite Hauptkriterium; insbesondere dass nun jede Cauchy-Folge konvergent ist.

Für die Aussage, ob eine Folge konvergiert, ist es also wichtig zu wissen, welcher Zahlenbereich betrachtet wird; eine Folge, die in den reellen Zahlen konvergent ist, kann in den rationalen Zahlen divergent sein. Wenn nichts anderes dazugesagt wird, werden aber üblicherweise Grenzwerte über den reellen Zahlen betrachtet, da diese für die meisten Anwendungen das besser geeignetere Modell sind.

Grenzwert einer komplexen Zahlenfolge

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Die Grenzwert einer Folge komplexer Zahlen wird formal ebenfalls wie die Grenzwert einer Folge reeller Zahlen definiert:

$a\_n\backslash ;$ und $a\backslash ;$ bezeichnen dabei komplexe Zahlen, $\backslash varepsilon\backslash ;$ ist weiterhin eine reelle Zahl. Eine Schreibweise der Art

In der Praxis tauchen Folgen komplexer Zahlen vor allem als Reihen, insbesondere als Potenzreihen oder als Laurent-Reihen auf. Das wichtigste Konvergenzkriterium dabei, das häufig anwendbar ist und das die Untersuchung komplexer Reihen auf den einfacheren Fall reeller Reihen zurückführt, ist das Kriterium der absoluten Konvergenz: Eine Reihe $\backslash sum\_\{n=0\}^\{\backslash infty\}\; a\_n$ komplexer Zahlen konvergiert zumindest dann, wenn sie absolut konvergiert, wenn also die Reihe der Absolutbeträge $\backslash sum\_\{n=0\}^\{\backslash infty\}\; |a\_n|$ konvergiert. Viele Konvergenzkriterien für Reihen, insbesondere das Wurzelkriterium und das Quotientenkriterium, beweisen die absolute Konvergenz und sind daher insbesondere auch für den Fall komplexer Reihen gültig.

Grenzwert einer Folge von Elementen eines metrischen Raumes

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Der Abstand zwischen den Folgengliedern und dem Grenzwert wurde als Betrag der Differenz angegeben. Sind die Folgenglieder keine reellen Zahlen, sondern z.B. Punkte in einem dreidimensionalen Raum, so wird der Betrag der Differenz durch eine Norm der Differenz oder noch allgemeiner durch eine Metrik ersetzt. Eine Folge wird dann als konvergent gegen einen Grenzwert a definiert, wenn in jeder ε-Umgebung von a fast alle Folgenglieder liegen.

Definition der Konvergenz

Sei (X, d) ein metrischer Raum. Eine Folge (a_n) in X heißt konvergent gegen den Grenzwert a wenn gilt:

In Worten: Es gibt für jedes beliebige (noch so kleine) ε einen Index N (i.A. abhängig von $\backslash epsilon$), derart, dass für alle Indizes n > N (alle weiteren Folgenglieder) gilt: der Abstand d(a, a_n) ist kleiner als ε (d(a, a_n) < ε).

Dies entspricht der oben angegebenen Definition der Konvergenz einer Folge reeller Zahlen, es wird lediglich durch ersetzt.

Auch hier ist neben der Schreibweise $\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; a\_n\; =\; a$ auch die Schreibweise $a\_n\backslash to\; a$, ebenfalls gelesen als $a\_n$ konvergiert gegen $a\backslash ;$, üblich.

Cauchy-Folgen und Vollständigkeit

Analog zu den reellen Zahlen spielt der Begriff der Cauchy-Folge in metrischen Räumen eine wichtige Rolle. Eine Folge heißt Cauchy-Folge, wenn

.

Hat jede Cauchy-Folge einen Grenzwert, so wird der metrische Raum als vollständig bezeichnet. Insbesondere sind die reellen und die komplexen Zahlen vollständig, die rationalen Zahlen aber nicht. Ist der metrische Raum nicht vollständig, dann lässt er sich analog zur Konstruktion der reellen Zahlen aus den rationalen Zahlen in dem vollständigen metrischen Raum einbetten, der durch die Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen bezüglich der Äquivalenzrelation

$(a\_n)\backslash sim(b\_n)\; :\backslash Longleftrightarrow\; d(a\_n,b\_n)\backslash to\; 0$

gebildet wird.

Absolute Konvergenz

Der Begriff der absoluten Konvergenz lässt sich zwar nicht unmittelbar auf metrische Räume übertragen, für vollständige metrische Räume gibt es aber ein eng verwandtes Resultat: Eine Folge $\backslash left(a\_n\backslash right)\_\{n\backslash in\backslash N\}$ ist zumindest dann konvergent, wenn die Summe

$\backslash sum\_\{n\backslash in\backslash N\}\; d\backslash left(a\_n,a\_\{n+1\}\backslash right)$

konvergiert. Aus der Konvergenz dieser Summe folgt nämlich, dass für jedes $\backslash varepsilon\; >\; 0\backslash ;$ eine $N\backslash ;$ existiert, sodass für $m>n>N\backslash ;$ die Beziehung

gilt. Durch mehrfache Anwendung der Dreiecksungleichung folgt

,

$\backslash left(a\_n\backslash right)\_\{n\backslash in\backslash N\}$ ist somit eine Cauchyfolge und damit in einem vollständigen Raum konvergent.

Grenzwert einer Folge von Elementen eines topologischen Raumes

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Definition

Der Grenzwertbegriff wird in der Topologie verallgemeinert. Ist eine topologischer Raum $(X,\backslash mathfrak\{T\})$, also eine Menge $X\backslash ;$ mit der Menge der in diesem topologischen Raum offenen Teilmengen $\backslash mathfrak\{T\}$ gegeben, so wird der Grenzwert einer Folge von Elementen $a\_n\backslash in\; X$ gegen einen Grenzwert $a\backslash in\; X$ folgendermaßen definiert:

$\backslash left(\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; a\_n\; =\; a\; \backslash right)\; \backslash quad\; \backslash Longleftrightarrow\; \backslash quad\; \backslash forall\; U\; \backslash in\; \backslash mathfrak\{U\}(a)\; \backslash ;\; \backslash exists\; N\backslash in\backslash mathbb\{N\}\; \backslash ;\; \backslash forall\; n>N:\; \backslash ;a\_n\backslash in\; U$.

$\backslash mathfrak\{U\}(a)$ sind dabei die sogenannten Umgebungen von $a\backslash ;$, das sind die Mengen $U\backslash ;$, für die eine Menge $O\backslash in\backslash mathfrak\{T\}$ mit $a\backslash in\; O\backslash subseteq\; U$ existiert.

Anstelle alle Umgebungen von $a\backslash ;$ zu betrachten, ist es für den Nachweis der Konvergenz oft zweckmäßiger, sich auf eine Umgebungsbasis $\backslash mathfrak\{B\}(a)$ zu beschränken, also auf eine Teilmenge $\backslash mathfrak\{B\}(a)\backslash subseteq\backslash mathfrak\{U\}(a)$ mit der Eigenschaft, dass für jede Umgebung $U\; \backslash in\; \backslash mathfrak\{U\}(a)$ eine Menge $B\; \backslash in\; \backslash mathfrak\{B\}(a)$ mit $B\backslash subseteq\; U$ existiert. Es gilt dann die leichter nachweisbare äquivalente Formulierung

$\backslash left(\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; a\_n\; =\; a\; \backslash right)\; \backslash quad\; \backslash Longleftrightarrow\; \backslash quad\; \backslash forall\; B\; \backslash in\; \backslash mathfrak\{B\}(a)\; \backslash ;\; \backslash exists\; N\backslash in\backslash mathbb\{N\}\; \backslash ;\; \backslash forall\; n>N:\; \backslash ;a\_n\backslash in\; B$.

Dieser Grenzwertbegriff beinhaltet den Grenzwert einer Zahlenfolge und den Grenzwert einer Folge von Elementen eines metrischen Raumes als Spezialfälle. Insbesondere bildet in metrischen Räumen die Menge $\backslash mathfrak\{B\}(a)=\backslash \{B\_\backslash varepsilon(a)|\backslash varepsilon>0\backslash \}$ aller offenen Kugeln eine Umgebungsbasis von $a\backslash ;$. Verwendet man diese Umgebungsbasis, erhält man genau die oben angegebene Definition des Grenzwerts in metrischen Räumen.

Erfüllt eine Topologie das erste Abzählbarkeitsaxiom, so reichen Grenzwerte von Folgen aus, um damit die Topologie zu beschreiben, insbesodnere gilt, dass ein Punkt $a\backslash ;$ genau dann in der abgeschlossenen Hülle $\backslash bar\{A\}\backslash ;$ von $A\backslash ;$ liegt, wenn es eine Folge von Elemente $a\_n\backslash in\; A$ gibt, die gegen $a\backslash ;$ konvergiert Robert B. Ash: Real Analysis and Probability. Academic Press, New York 1972. ISBN 0-12-065201-3 S 371f, Comments A.24. Insbesondere erfüllen metrische Räume das erste Abzählbarkeitsaxiom, da beispielsweise $\backslash mathfrak\{B\}(a)=\backslash \{B\_\backslash varepsilon(a)|\backslash varepsilon=1/k,\; k\backslash in\backslash N\_\{>0\}\backslash \}$ eine Umgebungsbasis von $a\backslash ;$ ist.

In allgemeinen topologischen Räumen gilt diese Charakterisierung abgeschlossener Mengen als Grenzwerte von Folgen nicht, dort müssen statt Gernzwerten von Folgen Grenzwerte verallgemeinerter Folgen, sogenannter Netze betrachtet werden.

In allgemeinen topologischen Räumen kann es auch sein, dass eine Folge mehrere Grenzwerte hat. So konvergiert beispielsweise in der sogennanten Klumpentopologie von $X\backslash ;$, in der lediglich die leere Menge sowie $X\backslash ;$ selbst offene Mengen sind, jede Folge gegen jedes $a\backslash in\; X\backslash ;$. Verlangt man aber zusätzlich, dass der topologische Raum das hausdorffsche Trennungsaxiom erfüllt, so hat in einem solchen topologischen Raum jede Folge höchstens einen Grenzwert. Insbesondere ist in metrischen Räumen das hausdorffsche Trennungsaxiom erfüllt.

Beispiele

Konvergenz von Funktionenfolgen

Hauptartikel: Funktionenfolge

Um das Verhalten von Funktionenfolgen zu beschreiben, gibt es mehrere Konvergenzbegriffe, da es zum einen mehrere Abstandsbegriffe in einem Funktionenraum gibt und ferner neben der Frage nach der Existenz des Grenzwerts auch Fragen nach den Eigenschaften der Grenzfunktion auftauchen. So ist die Grenzfunktion einer Folge von stetigen Funktionen nicht notwendigerweise stetig.

Konvergenz in der Stochastik

Um speziell bei Anwendungen in der Statistik angemessen darüber entscheiden zu können, ob Schätz- oder Testverfahren asymptotisch die richtigen Resultate liefern, insbesondere für Aussagen wie die Gesetze der großen Zahlen und die Zentralen Grenzwertsätze, haben sich verschiedene Konvergenzbegriffe in der Stochastik herausgebildet. Im Prinzip handelt es sich dabei ebenfalls um Grenzwerte von Funktionenfolgen, da Zufallsvariablen in der Stochastik als Funktionen eines Wahrscheinlichkeitsraums modelliert werden. Für die Anwendungen der Stochastik hat es sich aber als zweckmäßig herausgesstellt, eigene Bezeichnungen und auch eigene Grenzwertbegriffe einzuführen. Die wichtigsten von ihnen sind fast sichere Konvergenz, stochastische Konvergenz, Konvergenz im p-ten Mittel und Konvergenz in Verteilung.

Fréchet-Axiome

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Ein sehr allgemeiner Grenzwertbegriff wird durch die Fréchet-Axiome definiert: Ein Raum $X$ wird als Raum mit Konvergenz im Sinne von Fréchet bezeichnet, wenn

1. Jede Folge mit Elementen aus $X$ höchstens einen Grenzwert hat,
2. Jede konstante Folge $x\_n=x\backslash in\; X$ gegen $x$ konvergiert, und
3. Jede Teilfolge einer konvergenten Folge ebenfalls konvergiert und den gleichen Grenzwert wie die Ausgangsfolge hat.

Dieser Grenzwertbegriff stimmt jedoch nicht mit dem Grenzwertbegriff der Topologie überein. Erstens können Folgen in Topologien, die das Hausdorff-Axiom nicht erfüllen, mehrere Grenzwerte haben. Zweitens reichen in Topologien, die das erste Abzählbarkeitsaxiom nicht erfüllen, Folgen alleine nicht aus, um die Topologie eindeutig zu beschreiben, sodass die Frechét Axiome auf Moore-Smith-Folgen erweitert werden müssen. Drittens gibt es Konvergenzbegriffe, die den Frechét-Axiomen genügen, aber nicht durch eine Topologie erzeugt werden können, beispielsweise die punktweise Konvergenz fast überallJ. Cigler, H.-C. Reichel: Topologie. Eine Grundvorlesung. Bibliographisches Institut, Mannheim 1978. ISBN 3-411-00121-6. S 88, Aufgabe 6. In John L. Kelley: General Topology. Springer Verlag, 1997, ISBN 0387901256. sind die Zusatzkriterien beschrieben, die ein Raum mit Konvergenz im Sinne von Fréchet erfüllen muss, damit diese Konvergenz eindeutig durch eine Topologie erzeugt werden kann.

Siehe auch:

• Konvergenzgeschwindigkeit
• Konvergenz von Mengenfolgen

Quellen

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Weblinks

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• Grenzwerte bei Zahlenfolgen

Folgen und Reihen | Topologie

نهاية متتالية | Limit of a sequence | Limite di una successione | Sekos riba | Granica ciągu | Предел последовательности | 收敛数列