Die Kontinuumshypothese wurde 1878 vom Mathematiker Georg Cantor aufgestellt. Sie besagt:

Es gibt keine überabzählbare Teilmenge der reellen Zahlen, die in ihrer Mächtigkeit kleiner ist als die der reellen Zahlen.

Anders ausgedrückt:

Es gibt keine Kardinalzahl, die zwischen der Mächtigkeit der natürlichen Zahlen und der Mächtigkeit der reellen Zahlen liegt.

Bezeichnet man, wie üblich, die Kardinalzahl der natürlichen Zahlen mit $\backslash aleph\_0$, die darauf folgende Kardinalzahl mit $\backslash aleph\_1$ und die Kardinalzahl der reellen Zahlen mit $\backslash mathfrak\; c$, so heißt die Kontinuumshypothese formal: $\backslash mathfrak\; c\; =\; \backslash aleph\_1$

Der Name Kontinuumshypothese rührt daher, dass die reellen Zahlen auch als „das Kontinuum“ bezeichnet werden.

In der berühmten Liste von 23 mathematischen Problemen, die David Hilbert am Internationalen Mathematischen Kongress 1900 vortrug, steht die Kontinuumshypothese an erster Stelle.

Lösung

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Das Problem ist heute gelöst, wenn auch nicht in dem Sinne, wie Hilbert dies erwartet hatte:

Kurt Gödel bewies 1940, dass die Kontinuumshypothese (CH) zur Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre mit Auswahlaxiom (ZFC) relativ widerspruchsfrei ist, d.h.: Wenn ZFC widerspruchsfrei ist (was allgemein angenommen wird, aber nach dem Gödelschen Unvollständigkeitssatz nicht mit Hilfe von ZFC bewiesen werden kann), dann ist auch "ZFC + CH" widerspruchsfrei. Das heißt:

Aus der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre lässt sich die Kontinuumshypothese nicht widerlegen!

In den 1960er Jahren zeigte Paul Cohen:

Aus der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre lässt sich die Kontinuumshypothese auch nicht beweisen!

Auch die Negation der Kontinuumshypothese zur ZFC relativ widerspruchsfrei; die Kontinuumshypothese ist also insgesamt unabhängig zu ZFC.

Für diesen Beweis erhielt Cohen die Fields-Medaille.

Daher ist die Kontinuumshypothese im Rahmen der Mengenlehre nicht entscheidbar. Sie kann, ebensogut wie ihre Negation, als neues Axiom verwendet werden. Damit ist sie das erste relevante Beispiel für Gödels Unvollständigkeitssatz.

Aussagen in „ZFC+CH“

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Alternativ werden gelegentlich Aussagen unter der Annahme gemacht, dass die Kontinuumshypothese wahr sei. Es ist jedoch üblich, diese Voraussetzung dann explizit zu erwähnen (während die Tatsache, dass die meisten mathematischen Beweise vor dem Hintergrund eines ZFC-ähnlichen Axiomensystem gemacht werden, im Allgemeinen nicht erwähnt wird).

Verallgemeinerung

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Die verallgemeinerte Kontinuumshypothese (GCH) besagt, dass für jede unendliche Menge X zwischen den Kardinalzahlen |X| und 2^|X| keine weiteren Kardinalzahlen liegen. Die einfache Kontinuumshypothese (CH) macht diese Behauptung für den Fall X = N. Die verallgemeinerte Kontinuumshypothese ist ebenfalls unabhängig von der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre zusammen mit dem Auswahlaxiom (ZFC).

Anwendungsbeispiel

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Im folgenden sei die Kontinuumshypothese als wahr angenommen. Es sei $\backslash omega\_1$ die kleinste überabzählbare Ordinalzahl. Dann gibt es eine Bijektion zwischen $\backslash omega\_1$ und dem Einheitsintervall abzählbar.

Auf $*\backslash times*$ sei eine reellwertige Funktion $f$ definiert durch

Dann gilt (unter Verwendung des Lebesgue-Integrals)

$\backslash int\_0^1\backslash int\_0^1\; f(x,y)\backslash ,\backslash mathrm\; dx\backslash ,\backslash mathrm\; dy=0,$

aber

$\backslash int\_0^1\backslash int\_0^1\; f(x,y)\backslash ,\backslash mathrm\; dy\backslash ,\backslash mathrm\; dx=1.$

Die Funktion $f$ ist also eine Funktion, für die der Satz von Fubini versagt.

Mengenlehre

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