Ein Kontinuum (lat. continuum: "Das Zusammenhängende", Plural Kontinua) ist ein Objekt welches keine Risse, Brüche, Löcher, Hohlräume oder ähnliches innerhalb seiner Grenzen besitzt, sich also überall kontinuierlich fortsetzt.

Der Begriff ist also eine örtliche – keine zeitliche – Aussage, obwohl Kontinua gewöhnlich auch längeren zeitlichen Bestand haben.

Physik

Physikalisch bedeutet der Begriff Kontinuum, dass die physikalischen Größen innerhalb des Kontinuums keine Nullstellen haben.

Dieser Begriff gilt immer nur innerhalb eines bestimmten Modells. Ein Kontinuum kann bei höherer „Auflösung“ in der Betrachtung dann doch aus einzelnen getrennten Elementen bestehen. In Teilgebieten der Physik bzw. bestimmten Modellen werden viele Stoffe als Kontinua angesehen, beispielsweise Wasser oder Luft. Aus diesem Modell lassen sich viele bewährte Gesetze ableiten. Die Grenzen dieses Modells liegen bei extremen Parametern, z. B. bei sehr kleinen Abmessungen. Luft besteht dann aus Molekülen mit leerem Raum dazwischen.

Ein stoffliches Kontinuum kann durch eine plötzliche lokale – zu hohe - Krafteinwirkung zerrissen (bekommt ein Loch/Hohlraum) werden. Bei Wasser nennt man es Kavitation. Die einzigen „unzerstörbaren“ Kontinua scheinen die Zeit und der Raum zu sein. Ob ein Schwarzes Loch ein Loch im Raum-Zeit-Kontinuum erzeugt, ist noch nicht erwiesen. Sicher ist nur, dass dort die höchsten beobachtbaren Kräfte auftreten. Ob aber Raum und Zeit auf derartig hohe „Kräfte“ überhaupt reagieren ist strittig, obwohl nach Einstein sich beide in starken Feldern zumindest verändern, sich also "verbiegen" lassen. Ob sie aber auch ein „Loch“ bekommen können, also an einer „Stelle“ tatsächlich ganz verschwinden, ist strittig.

Mathematik

In der Mathematik nennt man jede Menge, welche die Mächtigkeit der reellen Zahlen hat, „das Kontinuum“.

Man kann (etwa mit den ZF-Axiomen, sogar ohne das Auswahlaxiom) zeigen, dass die folgenden Mengen alle gleichmächtig sind:

1. $\backslash mathbb\; R$, die Menge aller reellen Zahlen
2. $\backslash mathbb\; C$, die Menge aller komplexen Zahlen
3. $*$, die Menge aller reellen Zahlen die zwischen 0 und 1 liegen
4. $\backslash mathbb\{R\}\backslash setminus\; \backslash mathbb\{Q\}$, die Menge aller Irrationalzahlen
5. $\{\backslash mathcal\; P\}(\{\backslash mathbb\; N\})$, die Menge aller Teilmengen der natürlichen Zahlen, also die Potenzmenge von $\backslash mathbb\; N$
6. $\backslash left\backslash \{0,1\backslash right\backslash \}^\{\backslash mathbb\; N\}$, die Menge aller Funktionen mit Definitionsbereich $\backslash mathbb\; N$ und Zielbereich {0,1}
7. $\backslash mathbb\; N^\{\backslash mathbb\; N\}$, die Menge aller Folgen von natürlichen Zahlen
8. $\backslash mathbb\; R^\{\backslash mathbb\; N\}$, die Menge aller Folgen von reellen Zahlen.

Die Mächtigkeit dieser Menge (oder ihre Kardinalzahl) wird üblicherweise $\backslash mathfrak\; c$ (Fraktur c, für continuum) oder $\backslash aleph$ (Aleph, der erste Buchstabe des hebräischen Alphabeths) genannt. Da es sich um die Potenzmenge von $\backslash mathbb\; N$ handelt und deren Mächtigkeit $\backslash aleph\_0$ heißt, schreibt man dafür auch $2^\{\backslash aleph\_0\}$.

Es hat sich gezeigt, dass sehr viele weitere Strukturen, die in der Mathematik untersucht werden, dieselbe Mächtigkeit haben.

In der Analysis handelt es sich dabei in aller Regel um Mengen reeller Zahlen, entweder höchstens abzählbar sind oder die eine Cantor-Menge enthalten; die letzteren haben nach ihrer Definition die Mächtigkeit $\backslash mathfrak\; c$.

Die vielleicht naheliegende Vermutung, dass tatsächlich alle überabzählbaren Teilmengen der reellen Zahlen eine Cantor-Menge enthalten, kann man widerlegen (allerdings nur mit Hilfe des Auswahlaxioms; ein Gegenbeispiel ist ohne eine Wohlordnung der reellen Zahlen nicht explizit konstruierbar).

Die etwas schwächere Vermutung, dass alle überabzählbaren Teilmengen der reellen Zahlen zumindest gleichmächtig mit den reellen Zahlen sind, heißt Kontinuumshypothese. Sie ist (mit den üblichen Axiomen) weder widerlegbar noch beweisbar.

Soziologie

In der Soziologie stellt ein Kontinuum eine Messreihe dar, in der die Werte (zum Beispiel Meinungen und Einstellungen) nicht genau voneinander abgrenzbar sind, sondern ineinander übergehen. So können bestimmte Meinungen zu politischen Fragen oft nicht eindeutig mit "rechts" oder "links" abgegrenzt werden.

Siehe auch: Theorie der sozialen Identität

Continuum | Continuum | Continuum | Continuüm | Continuum | Континуум | Kontinuum