Die Kontinuitätsgleichung beschreibt das Verhalten der Dichte in einem Volumenelement. Ihre Hauptaussage ist, dass die Quelle eines Flusses von Objekten die zeitliche Änderung ihrer Dichte ist. Sie findet Anwendung in der Quantenmechanik, Elektrodynamik, Fluiddynamik, und vielen anderen Bereichen der Physik.
Im Rahmen der Verkehrsforschung wird ebenfalls von Kontinuitätsgleichung gesprochen.

Allgemein

---

Die Kontinuitätsgleichung lautet:

$\backslash frac\{d\backslash rho\}\{dt\}+\backslash rho\backslash nabla\backslash cdot\backslash vec\{u\}=0$ oder $\backslash frac\{\backslash partial\backslash rho\}\{\backslash partial\; t\}+\backslash nabla\backslash cdot(\backslash rho\backslash vec\{u\})=0$ mit $\backslash nabla\backslash cdot(\backslash rho\backslash vec\{u\})=\backslash mbox\{div\}\backslash vec\; j$ in Elektrodynamik

wobei

$\backslash frac\{d\backslash rho\}\{dt\}$ die sog. Substantielle Ableitung der Dichte ist,

welche wie folgt geschrieben werden kann:

$\backslash frac\{d\backslash rho\}\{dt\}=\backslash frac\{\backslash partial\backslash rho\}\{\backslash partial\; t\}+\backslash vec\{u\}\backslash cdot\backslash nabla\{\backslash rho\}$

mit

$t$ = Zeit

$\backslash rho$ = Dichte - Ladungsdichte in Elektrodynamik

$\backslash vec\{j\}$ = Stromdichte

$\backslash vec\{u\}=\backslash vec\{u\}(\backslash vec\{x\},t)$ = Geschwindigkeitsfeld des Fluides

Man beachte das Skalarprodukt gekennzeichnet durch "$\backslash cdot$". Es werden also nur skalarwertige Grössen untereinander addiert. Im Gegensatz zu $\backslash nabla\backslash cdot\backslash vec\{u\}$ würde zum Beispiel $\backslash nabla\backslash vec\{u\}$ wenn $\backslash vec\{u\}$ einen echten physikalischen Vektor (mit zugehöriger Basis) beschreibt einen Tensor ergeben.

Zur "Herleitung" der Kontinuitätsgleichung werden wir ein Kartesisches Koordinatensystem verwenden. Das Ergebnis gilt jedoch aufgrund des Abstraktionsgrades des Nabla-Operators in jedem beliebigen bis zu 3-dimensionalen Koordinatensystem. Die Kontinuitätsgleichung setzt sich zusammen aus der zeitlichen Änderung der Dichte im gesamten Volumenelement:

$\backslash frac\{\backslash partial\backslash rho\}\{\backslash partial\; t\}dx\backslash ,dy\backslash ,dz$

und dem Zu- und Abfluss in das Volumen, hier nur für die $x$-Richtung, analog in $y$- und $z$-Richtung:

$\backslash underbrace\{dy\backslash ,dz(\backslash rho\; u)\}\_\{\backslash mbox\{Zufuhr\}\}-\backslash underbrace\{\backslash leftu+\backslash frac\{\backslash partial(\backslash rho\; u)\}\{\backslash partial\; x\}dx\backslash rightdy\backslash ,dz\}\_\{\backslash mbox\{Abfluss\}\}=\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash rho\; u\}\{\backslash partial\; x\}\backslash partial\; x\backslash ,\backslash partial\; y\backslash ,\backslash partial\; z$

damit ergibt sich für die Änderung der Dichte im Volumenelement insgesamt:

$\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash rho\; \}\{\backslash partial\; t\}\backslash partial\; x\backslash ,\backslash partial\; y\backslash ,\backslash partial\; z+\backslash left(\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash rho\; u\}\{\backslash partial\; x\}+\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash rho\; v\}\{\backslash partial\; y\}+\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash rho\; w\}\{\backslash partial\; z\}\backslash right)\backslash partial\; x\backslash ,\backslash partial\; y\backslash ,\backslash partial\; z=0$

oder, denn $\backslash frac\{d\backslash rho\}\{dt\}=\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash rho\; \}\{\backslash partial\; t\}+\backslash vec\{u\}\backslash cdot\backslash nabla\{\backslash rho\}$ und $\backslash nabla\; \backslash cdot(\{\backslash vec\{u\}\backslash rho\})=\backslash vec\{u\}\backslash cdot\backslash nabla\{\backslash rho\}+\backslash rho\backslash nabla\backslash cdot\backslash vec\{u\}$ (siehe Rechenregeln für Nabla-Operator):

$\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash rho\; \}\{\backslash partial\; t\}+\backslash vec\{u\}\backslash cdot\backslash nabla\{\backslash rho\}+\backslash rho\backslash nabla\backslash cdot\backslash vec\{u\}=\backslash frac\{d\backslash rho\}\{dt\}+\backslash rho\backslash nabla\backslash cdot\backslash vec\{u\}=0$

Fluiddynamik

---

In der Fluiddynamik bedeutet sie, dass die Divergenz des Geschwindigkeitsvektorfeldes die zeitliche Änderung der Dichte ist, also hinreichend genau null in Flüssigkeiten und (im Vergleich zur Schallgeschwindigkeit) langsam strömenden Gasen. Anschaulich ausgedrückt: Eine Flüssigkeit oder ein Gas kann nur so strömen, dass ein Volumenelement, das stets aus denselben Teilchen besteht, seine Masse beibehält.

Die Volumenstromstärke in einer Röhre mit unterschiedlichen Durchmessern ist immer die selbe. Verringert sich der Durchmesser, so muss die Fliessgeschwindigkeit sich erhöhen, ebenso im umgekehrten Fall:

$I1\; =\; I2$ => $A1\; *\; v1\; =\; A2\; *\; v2$

Elektrodynamik

---

Die Kontinuitätsgleichung in der Elektrodynamik ergibt sich aus den zeitlichen Änderungen der Energiedichten des elektromagnetischen Feldes und der geladener Teilchen, sowie aus der Divergenz der Energiestromdichte (Poynting-Vektor).

$\backslash frac\{\backslash partial\backslash rho\_\{em\}\}\{\backslash partial\; t\}\; +\; \backslash frac\{\backslash partial\backslash rho\_\{mat\}\}\{\backslash partial\; t\}\; =\; -\; div(\backslash vec\{S\})$

dabei sind (in CGS-Einheiten):

{| $\backslash rho\_\{em\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{8\; \backslash pi\}\; \backslash left(\; \backslash vec\{E\}^2\; +\; \backslash vec\{B\}^2\; \backslash right)$ die Energiedichte des Feldes   $\backslash rho\_\{mat\}\backslash frac\{\}\{\}$ die Energiedichte der geladenen Teilchen mit $\backslash frac\{\backslash partial\backslash rho\_\{mat\}\}\{\backslash partial\; t\}\; =\; \backslash vec\{j\}\; \backslash vec\{E\}$ $\backslash vec\{S\}\; =\; \backslash frac\{c\}\{4\; \backslash pi\}\; \backslash left(\; \backslash vec\{E\}\; \backslash times\; \backslash vec\{B\}\; \backslash right)$ die Energiestromdichte bzw. der Poynting-Vektor  

Die Kontinuitätsgleichung wird in der Form

$\backslash frac\{\backslash partial\backslash rho\_\{em\}\}\{\backslash partial\; t\}\; +\; div(\backslash vec\{S\})\; =\; -\; \backslash vec\{j\}\; \backslash vec\{E\}$

auch Poynting-Theorem genannt.

Elektrotechnik

---

In der Elektrotechnik wird die Kontinuitätsgleichung für Ladungsträger (z.B. in Halbleitern, insb. bei Halbleiterübergängen) verwendet. Hier lautet sie entsprechend:

$\backslash frac\{d\backslash rho\}\{dt\}\; =\; div(\backslash vec\{J\})\; -r\; +\; g$

mit

$\backslash rho$ = Raumladungsdichte

$\backslash vec\{J\}$ = Stromdichte

$r$ = Rekombinationsrate

$g$ = Generationsrate

Anschaulich bedeutet das, dass die Ladungsträgerdichte sich entweder durch eine räumliche Änderung der Stromdichte, durch Rekombination oder durch Generation ändert. Im "eingeschwungenen Zustand", d.h. nach dem Ausklingen aller Ausgleichsvorgänge, ist die Ladungsträgerdichte konstant, d.h. $\backslash frac\{d\backslash rho\}\{dt\}\; =\; 0$

Quantenmechanik

---

In der Quantenmechanik gilt eine Kontinuitätsgleichung für die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte, die durch die Wellenfunktion bestimmt ist. Siehe hierzu den Artikel zur Wahrscheinlichkeitsstromdichte in der Quantenmechanik.

Theoretische Physik

Rovnice kontinuity | Continuity equation | Kontinuitási egyenlet | Equazione di continuità | 連続の方程式 | Persamaan keselanjaran | Kontinuitetna enačba