Konstruktion (Mathematik)

Geometrie

In der Geometrie versteht man unter einer Konstruktion die Entwicklung der exakten zeichnerischen Darstellung einer Figur auf der Grundlage vorgegebener Größen – in der Regel ist dabei die Beschränkung auf die Verwendung der „Euklidischen Werkzeuge“ Zirkel und Lineal gefordert. Ein Beispiel wäre die Konstruktion eines Dreiecks aus drei Vorgaben, etwa zweier Seiten und eines Winkels.

Mit Zirkel und Lineal kann man auch die folgenden algebraischen Operationen (d. h. deren Ergebnis in der Darstellung auf dem Zahlenstrahl) konstruieren:

die Addition zweier reeller Zahlen,
die Multiplikation zweier reeller Zahlen,
das Inverse einer von Null verschiedenen reellen Zahl,
die Quadratwurzel einer positiven reellen Zahl (damit kann man zu einem gegebenem Rechteck ein flächengleiches Quadrat konstruieren).

Viele geometrische Figuren können nicht allein mit Zirkel und Lineal exakt konstruiert werden, zum Beispiel die Kegelschnitte (mit Ausnahme des Kreises) und viele regelmäßige Vielecke. Auch etliche trivial erscheinende Aufgaben können nicht durch eine geometrische Konstruktion gelöst werden. Die berühmtesten dieser Problemstellungen sind die klassischen Probleme der antiken Mathematik:

die Quadratur des Kreises (Konstruktion eines zu einem gegebenen Kreis flächengleichen Quadrates),
die Dreiteilung des Winkels (Konstruktion zweier Linien, die einen gegebenen Winkel dreiteilen)
die Würfelverdoppelung (Konstruktion eines Würfels mit doppeltem Volumen eines gegebenen Würfels).

andere mathematische Konstruktionsarten

In der Mathematik versteht man unter der Konstruktion einer Struktur eine konkrete Darstellung durch (meist einfachere) bereits konstruierte Strukturen, unter anderem durch

mengentheoretische Operationen wie Bildung von kartesischen Produkten (Tupeln) und Äquivalenzklassen,
analytischen Methoden wie Grenzwertübergänge, Vervollständigungen
algebraische Methoden wie Körpererweiterungen um algebraische oder transzendente Elemente.

Zum Beispiel beginnen die Konstruktionen der Zahlen mit der als gegeben vorausgesetzten Menge N der natürlichen Zahlen (die z.B. innerhalb der Mengenlehre erzeugt oder als "vom lieben Gott gemacht" (Kronecker) angesehen werden). Daraus werden durch Paarbildung und Bildung von Äquivalenzklassen die ganzen Zahlen Z, daraus die rationalen Zahlen, durch Vervollständigung die reellen Zahlen und schließlich durch Erweiterung um die imaginäre Einheit die komplexen Zahlen gebildet.

Die Konstruktion einer Struktur dient unter anderem dem Nachweis ihrer Existenz. Ob bestimmte Operationen für Konstruktionen zugelassen sind, hängt von der jeweiligen Auffassung von Mathematik ab, in der intuitionistischen Mathematik z.B. sind nur finite Methoden erlaubt (Vervollständigungen z.B. sind im allgemeinen nicht finit).

Manche Existenzbeweise mathematischer Objekte werden Konstruktionen genannt, obwohl sie nichtkonstruktiv sind. Zum Beispiel nutzt man das Lemma von Zorn um die Existenz von Basen in Vektorräumen nachzuweisen, für die man keine Basis mit finiten Methoden konstruieren kann. Mit solchen Objekten kann man meist nur theoretisch argumentieren, aber nicht praktisch arbeiten.

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