Komplexe Konjugation

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Gaussebene_Konjugation.png

Komplexe Zahl $z=a+bi$ und ihre Konjugierte $\backslash bar\; z=a-bi$

Die Abbildung

$\backslash Bbb\; C\backslash to\backslash Bbb\; C,\backslash quad\; z=a+b\backslash cdot\backslash mathrm\{i\}\backslash ;\backslash ;\backslash mapsto\backslash ;\backslash ;\; \backslash bar\; z=a-b\backslash cdot\backslash mathrm\{i\}$

im Körper der komplexen Zahlen heißt komplexe Konjugation. Sie ist ein Körperautomorphismus von $\backslash Bbb\; C$, also mit der Addition und Multiplikation verträglich:

$\backslash overline\{y+z\}=\backslash bar\; y+\backslash bar\; z,\backslash quad\; \backslash overline\{y\backslash cdot\; z\}=\backslash bar\; y\backslash cdot\backslash bar\; z$.

Die zu $z=a+b\backslash cdot\backslash mathrm\{i\}$ konjugierte Zahl $\backslash bar\; z\; =\; a-b\backslash cdot\backslash mathrm\{i\}$ hat also denselben Realteil, aber den entgegengesetzten Imaginärteil.

In der Exponentialform ist die Konjugierte der Zahl $z\; =\; r\; e^\{i\backslash varphi\}$ die Zahl $\backslash bar\; z\; =\; r\; e^\{-i\backslash varphi\}$. Sie hat also bei unverändertem Betrag gerade den negativen Winkel von $z$. Man kann die Konjugation in der komplexen Zahlenebene also als die Spiegelung an der reellen Achse identifizieren. Insbesondere werden unter der Konjugation genau die reellen Zahlen wieder auf sich selbst abgebildet.

Rechenregeln

Für alle komplexen Zahlen $z=a+b\backslash ,\backslash mathrm\{i\}\backslash in\backslash Bbb\; C$ gilt:

• $z\; +\; \backslash bar\; z\; =\; 2\backslash cdot\backslash mathrm\{Re\}(z)\; =\; 2a$
• $z\; -\; \backslash bar\; z\; =\; 2\backslash ,\backslash mathrm\{i\}\backslash cdot\backslash mathrm\{Im\}(z)\; =\; 2b\backslash ,\backslash mathrm\{i\}$
• $z\; \backslash cdot\backslash bar\; z\; =\; |z|^2\; =\; a^2+b^2$

Anwendung

Mit Hilfe der Konjugation können die Inverse und auch der Quotient komplexer Zahlen bequem angegeben werden:

• Zu $z\backslash in\backslash Bbb\; C$ mit $z\backslash neq\; 0$ ist $z^\{-1\}\; =\; \backslash frac\{\backslash bar\; z\}\{|z|^2\}$ die multiplikative Inverse.
• Für die Division zweier komplexer Zahlen erhalten wir damit $\{y\backslash over\; z\}\; =\; \backslash frac\{y\backslash bar\; z\}\{|z|^2\}$, oder ausführlicher:

$\backslash frac\{a+b\backslash mathrm\{i\}\}\{c+d\backslash mathrm\{i\}\}\; =\; \backslash frac\{(ac+bd)\}\{c^2+d^2\}+\backslash frac\{(bc-ad)\}\{c^2+d^2\}\backslash ,\backslash mathrm\{i\}$

Komplexe Konjugation bei Matrizen

Die komplex Konjugierte einer Matrix ist die Matrix, deren Komponenten die komplex konjugierten Komponenten der ursprünglichen Matrix sind. In Kombination mit der Transposition der Matrix liefert die komplexe Konjugation die adjungierte Matrix.

Verallgemeinerung

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In der abstrakten Algebra wird dieser Begriff folgendermaßen erweitert:

Zwei über K algebraische Elemente einer Körpererweiterung L/K heißen zueinander konjugiert, wenn sie dasselbe Minimalpolynom über K haben. Die Nullstellen des Minimalpolynoms von a in L heißen "Konjugierte von a (in L)". Jeder K-Automorphismus von L (der K punktweise festhält) bildet a auf eine seiner Konjugierten ab.

Complex conjugate | Conjugué | 共役複素数 | Liczba sprzężona | Komplexkonjugat

Algebra