Die komplexen Zahlen erweitern den Zahlenbereich der reellen Zahlen derart, dass auch Wurzeln negativer Zahlen berechnet werden können. Dies gelingt durch Einführung einer neuen Zahl $\backslash mathrm\; i$ als Lösung der Gleichung $x^2\; =\; -1$. Diese Zahl $\backslash mathrm\; i$ wird auch als imaginäre Einheit bezeichnet. Der Ursprung der Theorie der imaginären Zahlen, das heißt aller Zahlen, deren Quadrat eine negative reelle Zahl ist, geht auf den italienischen Mathematiker Raffaele Bombelli bis ins 16. Jahrhundert zurück. Die Einführung der imaginären Einheit $\backslash mathrm\; i$ als neue Zahl wird Leonhard Euler zugeschrieben.

Komplexe Zahlen werden meist in der Form $a+b\backslash cdot\; \backslash mathrm\; i$ dargestellt, wobei $a$ und $b$ reelle Zahlen sind und $\backslash mathrm\; i$ die imaginäre Einheit ist. Auf die so dargestellten komplexen Zahlen lassen sich die üblichen Rechenregeln für reelle Zahlen anwenden, wobei $\backslash mathrm\; i^2$ stets durch $-1$ ersetzt werden kann und umgekehrt.

Der so konstruierte Zahlenbereich der komplexen Zahlen hat eine Reihe vorteilhafter Eigenschaften, die sich in vielen Bereichen der Natur- und Ingenieurswissenschaften als äußerst nützlich erwiesen haben. Einer der Gründe für diese positiven Eigenschaften ist die algebraische Abgeschlossenheit der komplexen Zahlen. Dies bedeutet, dass jede algebraische Gleichung über den komplexen Zahlen eine Lösung besitzt. Diese Eigenschaft ist der Inhalt des Fundamentalsatzes der Algebra. Ein weiterer Grund ist ein Zusammenhang zwischen trigonometrischen Funktionen und der Exponentialfunktion, der über die komplexen Zahlen hergestellt werden kann.

Für die Menge der komplexen Zahlen wird das Symbol $\backslash mathbb\; C$ verwendet.

Definition

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Als komplexe Zahlen bezeichnet man die Zahlen der Form $a+b\backslash cdot\backslash mathrm\; i$ (bzw. in verkürzter Notation $a+b\backslash ,\backslash mathrm\; i$), wobei für die Addition

$(a+b\backslash ,\backslash mathrm\; i)+(c+d\backslash ,\backslash mathrm\; i)=(a+c)+(b+d)\backslash ,\backslash mathrm\; i$

und für die Multiplikation

$(a+b\backslash ,\backslash mathrm\{i\})\backslash cdot(c+d\backslash ,\backslash mathrm\{i\})=(ac-bd)\; +\; (ad+bc)\backslash cdot\backslash mathrm\; i$

gilt. Die imaginäre Einheit $\backslash mathrm\; i$ ist dabei eine nicht-reelle Zahl mit der Eigenschaft $\backslash mathrm\; i^2=-1\; \backslash$; obige Formel für die Multiplikation ergibt sich damit durch einfaches Ausmultiplizieren und Neugruppieren.

Man nennt $a\backslash$ den Realteil und $b\backslash$ den Imaginärteil von $a\; +\; b\backslash ,\backslash mathrm\; i$.

Eine formale Präzisierung wäre beispielsweise die folgende: Die komplexen Zahlen sind ein Körper $\backslash mathbb\; C$, der die reellen Zahlen als Teilkörper enthält, zusammen mit einem Element $\backslash mathrm\; i\backslash in\backslash mathbb\; C$, das die Gleichung $\backslash mathrm\; i^2=-1\; \backslash$ erfüllt, so dass sich jedes Element von $\backslash mathbb\; C$ auf eindeutige Weise in der Form $a+b\backslash mathrm\; i\backslash$ mit $a,b\backslash in\backslash mathbb\; R$ schreiben lässt. Zwei Paare $(\backslash mathbb\; C,\backslash mathrm\; i)$ und $(\backslash tilde\{\backslash mathbb\; C\},\backslash tilde\{\backslash mathrm\; i\})$ können auf eindeutige Weise miteinander identifiziert werden.

Zur Notation

• Die $a+b\backslash ,\backslash mathrm\; i\backslash$-Notation wird auch als kartesische oder algebraische Form bezeichnet. Die Bezeichnung kartesisch erklärt sich aus der Darstellung in der komplexen bzw. Gauß'schen Zahlenebene (s. weiter unten).
• In der Elektrotechnik wird das kleine i schon für zeitlich veränderliche Ströme verwendet (siehe Wechselstrom) und kann zu Verwechselungen mit der imaginären Einheit i führen. Daher wird in diesem Bereich der Buchstabe $j\backslash$ verwendet Taschenbuch der Hochfrequenztechnik Bd.1..3; Meinke, Grundlach, 1992 .
• In der Physik wird zwischen $i\backslash$ für Wechselstrom und $\backslash mathrm\; i\backslash$ für die imaginäre Einheit unterschieden. Dies führt durch die recht klare Trennung beim aufmerksamen Leser nicht zu Verwechslungen und wird in dieser Form weitgehend sowohl in der physikalisch-experimentellen als auch in der physikalisch-theoretischen Literatur angewendet. Siehe auch: komplexe Wechselstromrechnung
• Komplexe Zahlen werden häufig auch unterstrichen dargestellt, um sie von reellen Zahlen zu unterscheiden.

Rechenregeln in der algebraischen Form

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Addition, Subtraktion

Analog zur Addition

$(a\; +\; b\; \backslash ,\; \backslash mathrm\; i)\; +\; (c\; +\; d\; \backslash ,\; \backslash mathrm\; i)\; =\; (a\; +\; c)\; +\; (b\; +\; d)\; \backslash ,\; \backslash mathrm\; i$

funktioniert auch die Subtraktion

$(a\; +\; b\; \backslash ,\; \backslash mathrm\; i)\; -\; (c\; +\; d\; \backslash ,\; \backslash mathrm\; i)\; =\; (a\; -\; c)\; +\; (b\; -\; d)\; \backslash ,\; \backslash mathrm\; i$.

Multiplikation

Der Realteil des Produkts besteht aus dem Produkt der Realteile minus dem Produkt der Imaginärteile, der Imaginärteil des Produkts ist die Summe der beiden gemischten Produkte „Realteil mal Imaginärteil“:

$$

(a+b\cdot \mathrm i) \cdot (c+d\cdot \mathrm i) = (a\cdot c - b\cdot d) + (a\cdot d+b\cdot c)\cdot \mathrm i

Division

Der Quotient zweier komplexer Zahlen $a+b\backslash ,\backslash mathrm\; i$ und $c+d\backslash ,\backslash mathrm\; i$ mit $c+d\backslash ,\backslash mathrm\; i\backslash neq\; 0$ lässt sich berechnen, indem man den Bruch mit dem komplex konjugierten $c-d\; \backslash ,\backslash mathrm\; i$ des Nenners erweitert. Der Nenner wird dadurch reell:

$\backslash frac\{a+b\backslash ,\backslash mathrm\; i\}\{c+d\backslash ,\backslash mathrm\; i\}\; =\; \backslash frac\{(a+b\backslash ,\backslash mathrm\; i)(c-d\backslash ,\backslash mathrm\; i)\}\{(c+d\backslash ,\backslash mathrm\; i)(c-d\backslash ,\backslash mathrm\; i)\}\; =\; \backslash frac\{ac+bd\}\{c^2+d^2\}+\backslash frac\{bc-ad\}\{c^2+d^2\}\backslash cdot\backslash mathrm\; i$

Rechenbeispiele

Addition:

$(3+2\backslash mathrm\; i)\; +\; (5+5\backslash mathrm\; i)\; =\; (3+5)\; +\; (2+5)\backslash mathrm\; i\; =\; 8\; +\; 7\backslash mathrm\; i\; \backslash$

Subtraktion:

$(5+5\backslash mathrm\; i)\; -\; (3+2\backslash mathrm\; i)\; =\; (5-3)\; +\; (5-2)\backslash mathrm\; i\; =\; 2\; +\; 3\backslash mathrm\; i\; \backslash$

Multiplikation:

$(2+5\backslash mathrm\; i)\; \backslash cdot\; (3+7\backslash mathrm\; i)\; =\; (2\backslash cdot\; 3\; -\; 5\backslash cdot\; 7)+(2\backslash cdot\; 7\; +\; 5\backslash cdot\; 3)\backslash mathrm\; i\; =\; -29\; +\; 29\backslash mathrm\; i$

Division:

$\{(2+5\backslash mathrm\{i\})\; \backslash over\; (3+7\backslash mathrm\{i\})\}\; =\; \{(2+5\backslash mathrm\{i\})\; \backslash over\; (3+7\backslash mathrm\{i\})\}\; \backslash cdot\; \{(3-7\backslash mathrm\{i\})\; \backslash over\; (3-7\backslash mathrm\{i\})\}\; =\; \{6-14\backslash mathrm\{i\}+15\backslash mathrm\{i\}+35\; \backslash over\; 9+21\backslash mathrm\{i\}-21\backslash mathrm\{i\}+49\}\; =\; \{41+\backslash mathrm\{i\}\; \backslash over\; 9+49\}\; =\; \{41\backslash over\; 58\}+\{1\backslash over\; 58\}\backslash cdot\backslash mathrm\{i\}$

Weitere Eigenschaften

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• Der Körper $\backslash Bbb\; C$ der komplexen Zahlen ist einerseits ein Oberkörper von $\backslash R$, andererseits ein zweidimensionaler $\backslash R$-Vektorraum.
• Die Körpererweiterung $\backslash Bbb\; C:\backslash R$ ist vom Grad $C:\backslash R=2$; genauer ist $\backslash Bbb\; C$ isomorph zum Quotientenkörper $\backslash R*/(X^2+1)$, wobei $X^2+1$ das Minimalpolynom von $\backslash mathrm\{i\}$ über $\backslash R$ ist. Ferner bildet $\backslash Bbb\; C$ bereits den algebraischen Abschluss von $\backslash R$.
• Als $\backslash R$-Vektorraum besitzt $\backslash Bbb\; C$ die Basis $\backslash \{1,\; \backslash mathrm\{i\}\backslash \}$. Daneben ist $\backslash Bbb\; C$ wie jeder Körper auch ein Vektorraum über sich selbst, also ein eindimensionaler $\backslash Bbb\; C$-Vektorraum mit Basis $\backslash \{1\backslash \}$.
• $\backslash mathrm\{i\}$ und $-\backslash mathrm\{i\}$ sind genau die Lösungen der quadratischen Gleichung $x^2\; +\; 1\; =\; 0$. In diesem Sinne kann $\backslash mathrm\{i\}$ als „Wurzel aus $-1$“ aufgefasst werden.
• $\backslash Bbb\; C$ ist im Gegensatz zu $\backslash R$ kein geordneter Körper, d. h. es gibt keine mit der Körperstruktur verträgliche Ordnungsrelation „<“ auf $\backslash Bbb\; C$. Von zwei unterschiedlichen komplexen Zahlen kann man daher nicht sagen, welche von beiden die größere bzw. die kleinere Zahl ist.

Komplexe Zahlenebene

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Gaussebene_Koordinatendarstellung.png Während sich die Menge $\backslash mathbb\{R\}$ der reellen Zahlen an einer Zahlengeraden veranschaulichen lässt, kann man die Menge $\backslash mathbb\{C\}$ der komplexen Zahlen als Ebene (komplexe Ebene, Gaußsche Zahlenebene) veranschaulichen. Dies entspricht der "doppelten Natur" von $\backslash Bbb\; C$ als zweidimensionalem reellem Vektorraum. Die Teilmenge der reellen Zahlen bildet darin die waagerechte Achse, die Teilmenge der rein imaginären Zahlen (d. h. mit Realteil 0) bildet die senkrechte Achse. Eine komplexe Zahl $z\; =\; (a,b)\; =\; a+b\backslash ,\backslash mathrm\{i\}$ besitzt dann die horizontale Koordinate $a$ und die vertikale Koordinate $b$.

Gemäß Definition entspricht die Addition komplexer Zahlen der Vektoraddition. Die Multiplikation ist in der gaußschen Ebene eine Drehstreckung, was nach Einführung der Polardarstellung weiter unten klarer werden wird. Besonders in der Physik wird die geometrisch anschauliche Ebene häufig als die komplexe Zahlenebene aufgefasst und der Notation der komplexen Zahlen der Vorzug vor der Vektordarstellung gegeben.

Polarform und Exponentialform

Jede komplexe Zahl $z=a+b\backslash ,\backslash mathrm\{i\}$ kann in der Form

$z\; =\; r\; \backslash cdot\; e^\{\backslash mathrm\{i\}\backslash varphi\}\; =\; r\; \backslash cdot\; (\backslash cos\; \backslash varphi\; +\; \backslash mathrm\{i\}\; \backslash cdot\; \backslash sin\; \backslash varphi)$

dargestellt werden, da $a\; =\; r\; \backslash cdot\; \backslash cos\; \backslash varphi$ und $b\; =\; r\; \backslash cdot\; \backslash sin\; \backslash varphi$ ist.

• Die Darstellung $r\; \backslash cdot\; (\backslash cos\; \backslash varphi\; +\; \backslash mathrm\{i\}\; \backslash cdot\; \backslash sin\; \backslash varphi)$ heißt Polarform oder trigonometrische Form.
• Die Darstellung $r\; \backslash cdot\; e^\{\backslash mathrm\{i\}\backslash varphi\}$ mit Hilfe der komplexen e-Funktion heißt auch Exponentialform.

Vermöge der Eulerschen Identität sind Polarform und Exponentialform bedeutungsgleich. Für die Polarform gibt es auch die alternativen Schreibweisen

$r\; \backslash cdot\backslash operatorname\{cis\}\backslash ,\backslash varphi\; =\; r\; \backslash cdot\backslash operatorname\{E\}\backslash ,(\backslash varphi)=r\backslash ,\; (\backslash cos\; \backslash varphi\; +\; \backslash mathrm\{i\}\; \backslash cdot\; \backslash sin\; \backslash varphi)$.

In der komplexen Zahlenebene entspricht dabei $r$ der euklidischen Vektorlänge (d. h. dem Abstand zum Ursprung 0) und $\backslash varphi$ dem mit der reellen Achse eingeschlossenen Winkel der Zahl $z$.

Üblicherweise wird $r$ der Betrag oder Modul von $z$ (Schreibweise $|z|$) genannt, $\backslash varphi$ wird ein Argument (oder auch Winkel oder Phase) von $z$ genannt. Da $\backslash varphi$ und $\backslash varphi+2\backslash pi$ demselben Winkel entsprechen, ist die Polardarstellung zunächst nicht eindeutig. Deshalb schränkt man $\backslash varphi$ meist auf das Intervall $*$ ein und spricht dann von dem Argument von $z\backslash neq\; 0$; der Zahl $0$ ließe sich jedes beliebige Argument zuordnen.

Alle Werte $e^\{\backslash mathrm\{i\}\; \backslash varphi\}$ bilden den Einheitskreis der komplexen Zahlen mit dem Betrag $1$.

Komplexe Konjugation

Gaussebene_Konjugation.png]] Dreht man das Vorzeichen des Imaginärteils $b$ einer komplexen Zahl $z\; =\; a+b\backslash ,\backslash mathrm\{i\}$ um, erhält man die zu $z$ konjugiert komplexe Zahl $\backslash bar\; z=a-b\backslash ,\backslash mathrm\{i\}$ (manchmal auch $z^*$ geschrieben).

Die Konjugation $\backslash Bbb\; C\backslash to\backslash Bbb\; C,\backslash ,z\backslash mapsto\; \backslash bar\; z$ ist ein Körperautomorphismus (involutorischer Automorphismus), da sie mit Addition und Multiplikation verträglich ist, d. h. für alle $y,z\backslash in\backslash Bbb\; C$ gilt

$\backslash overline\{y+z\}=\backslash bar\; y+\backslash bar\; z,\backslash quad\; \backslash overline\{y\backslash cdot\; z\}=\backslash bar\; y\backslash cdot\; \backslash bar\; z$.

In der Polardarstellung hat die komplex konjugierte Zahl $\backslash bar\; z$ bei unverändertem Betrag gerade den negativen Winkel von $z$. Man kann die Konjugation in der komplexen Zahlenebene also als die Spiegelung an der reellen Achse identifizieren. Insbesondere werden unter der Konjugation genau die reellen Zahlen wieder auf sich selbst abgebildet.

Das Produkt einer komplexen Zahl $z=a+b\backslash mathrm\{i\}$ mit ihrer komplex Konjugierten $\backslash bar\; z$ ergibt das Quadrat des Betrages:

$z\backslash cdot\backslash bar\; z\; =\; (a+b\backslash mathrm\{i\})\; (a-b\backslash mathrm\{i\})\; =\; a^2\; +\; b^2=|z|^2.$

Umrechnungsformeln

Von der algebraischen Form zur Polarform

Für $z=a+b\backslash mathrm\{i\}$ in algebraischer Form ist

$r\; =\; |z|\; =\; \backslash sqrt\{a^2\; +\; b^2\}$   ;

für $z\backslash neq\; 0$ wird das Argument wie folgt bestimmt:

\arctan\frac ba+\pi&\mathrm{f\ddot ur}\ a<0,b\geq0\\ \arctan\frac ba-\pi&\mathrm{f\ddot ur}\ a<0,b<0\\ \pi/2&\mathrm{f\ddot ur}\ a=0,b>0\\ -\pi/2&\mathrm{f\ddot ur}\ a=0,b<0 \end{cases}

\arccos\left(-\frac ar\right)-\pi&\mathrm{f\ddot ur}\ b<0 \end{cases}

Die Berechnungsvariante über den Arcustangens benötigt Fallunterscheidungen, da der Sonderfall $a=0$ extra behandelt werden muss und da der Tangens denselben Wert zweimal im Intervall $2\backslash pi$ annimmt. Die Verwendung der arccos-Version kommt mit weniger Fallunterscheidungen aus, da nur das Problem der doppelten Winkel zu behandeln ist. Die neueren Programmiersprachen stellen aber meist eine ArcTan-Funktion zur Verfügung, die den Wert je nach Vorzeichen von a und b dem passenden Quadranten zuordnet (häufig mit Namen atan2).

Von der Polarform zur algebraischen Form

$a\; =\; r\; \backslash cdot\; \backslash cos\backslash varphi$

$b\; =\; r\; \backslash cdot\; \backslash sin\backslash varphi$

Wie weiter oben stellt a den Realteil und b den Imaginärteil jener komplexen Zahl dar.

Multiplikation und Division in der Polarform

Bei der Multiplikation werden die Beträge multipliziert und die Phasen addiert:

$$

r\cdot (\cos \varphi + \mathrm{i}\cdot\sin \varphi ) \;\cdot\; s \cdot (\cos \psi + \mathrm{i} \cdot \sin \psi) = r \cdot s \cdot \left\cos (\varphi+\psi) + \mathrm{i} \cdot \sin (\varphi+\psi) \right Bei der Division wird der Betrag des Dividenden durch den Betrag des Divisors geteilt, und die Phase des Divisors von der Phase des Dividenden subtrahiert:

$$

\frac{p\cdot (\cos \phi + \mathrm{i} \cdot \sin \phi)}{r\cdot (\cos \psi + \mathrm{i} \cdot \sin \psi)} = \frac{p}{r} \cdot \left\cos (\phi-\psi) + \mathrm{i} \cdot \sin (\phi-\psi) \right

Multiplikation in der Exponentialform

Hier werden die Beträge multipliziert und die Phasen addiert:

$(r\backslash cdot\; e^\{\backslash mathrm\{i\}\backslash varphi\})\; \backslash cdot\; (s\; \backslash cdot\; e^\{\backslash mathrm\{i\}\backslash psi\})\; =\; (r\; \backslash cdot\; s)\; \backslash cdot\; e^\{\backslash mathrm\{i\}(\backslash varphi+\backslash psi)\}$

Wurzeln

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Beim Rechnen mit Wurzeln ist größte Vorsicht angebracht, da die bekannten Rechenregeln für reelle Zahlen hier nicht gelten. Egal, welchen der beiden möglichen Werte $\backslash mathrm\; i$ oder $-\backslash mathrm\; i$ man für $\backslash sqrt\{-1\}$ festlegt, erhält man z. B.

$1\; =\; \backslash sqrt\{1\}\; =\; \backslash sqrt\{(-1)\; \backslash cdot\; (-1)\}\; \backslash neq\; \backslash sqrt\{-1\}\; \backslash cdot\; \backslash sqrt\{-1\}\; =\; -1.$

Pragmatische Rechenregeln

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Am einfachsten lassen sich die Berechnungen folgendermaßen durchführen:

• Addition und Subtraktion komplexer Zahlen werden (in der algebraischen Form) komponentenweise durchgeführt.
• Bei der Multiplikation komplexer Zahlen werden ihre Beträge multipliziert und ihre Argumente (Winkel) addiert.
• Bei der Division komplexer Zahlen werden ihre Beträge dividiert und ihre Argumente (Winkel) subtrahiert.
• Beim Potenzieren komplexer Zahlen werden ihre Beträge potenziert und ihre Argumente (Winkel) mit dem Exponenten multipliziert.
• Beim Radizieren (Wurzel ziehen) komplexer Zahlen werden ihre Beträge radiziert und ihre Argumente (Winkel) durch den Exponenten dividiert. Hierdurch entsteht die erste Lösung. Bei einer $n$-ten Wurzel entstehen $n$ Lösungen, die im Winkel von $2\backslash pi/n$ um den Ursprung der Gauß'schen Ebene verteilt sind. Siehe Wurzel (Mathematik)

Konstruktion der komplexen Zahlen

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Damit die obige axiomatische Definition einen Sinn hat, muss nachgewiesen werden, dass es überhaupt einen Körper $\backslash mathbb\; C$ mit den benötigten Eigenschaften gibt. Dies leisten die folgende Konstruktionen.

Paare reeller Zahlen

Die Konstruktion nimmt zunächst keinerlei Bezug auf die imaginäre Einheit $\backslash mathrm\; i$: Im 2-dimensionalen reellen Vektorraum $\backslash R^2$ der geordneten reellen Zahlenpaare $z=(a,b)$ wird neben der Addition

$(a,\; b)\; +\; (c,\; d)\; =\; (a\; +\; c\; ,\; b\; +\; d)\backslash ,$

(das ist die gewöhnliche Vektoraddition) eine Multiplikation durch

$(a,\; b)\; \backslash cdot\; (c,\; d)\; =\; (a\; \backslash cdot\; c\; -\; b\; \backslash cdot\; d,\backslash ,\; a\; \backslash cdot\; d\; +\; b\; \backslash cdot\; c)$

definiert.

Nach dieser Festlegung schreibt man $\backslash Bbb\; C=\backslash R^2$, und $(\backslash mathbb\{C\},\; +,\; \backslash cdot)$ wird zu einem Körper, dem Körper der komplexen Zahlen.

Erste Eigenschaften

• Die Abbildung $\backslash R\backslash to\backslash Bbb\; C,\backslash ,a\backslash mapsto\; (a,0)$ ist eine Körpereinbettung von $\backslash R$ in $\backslash Bbb\; C$, vermöge derer wir die reelle Zahl $a$ mit der komplexen Zahl $(a,0)$ identifizieren.

Bezüglich der Addition ist:

• die Zahl $0=(0,0)$ das Nullelement in $\backslash Bbb\; C$ und
• die Zahl $-z=(-a,-b)$ das inverse Element in $\backslash Bbb\; C$.

Bezüglich der Multiplikation ist:

• die Zahl $1=(1,0)$ das neutrale Element (das Einselement) von $\backslash Bbb\; C$ und
• das Inverse (Reziproke) zu $z=(a,b)\backslash neq\; 0$ ist $z^\{-1\}\; =\; \backslash left(\backslash frac\{a\}\{a^2+b^2\},\backslash ,\backslash frac\{-b\}\{a^2+b^2\}\backslash right)$.

Bezug zur Darstellung in der Form a + bi

Durch $\backslash mathrm\; i=(0,1)$ wird die imaginäre Einheit i festgelegt; für diese gilt $\backslash mathrm\; i^2=-1$.

Jede komplexe Zahl $z=(a,b)\backslash in\backslash Bbb\; C$ besitzt die eindeutige Darstellung der Form

$z\; =\; (a,b)\; =\; (a,0)+(b,0)\backslash cdot\; (0,1)\; =\; a\; +\; b\backslash ,\backslash mathrm\{i\}$

mit $a,b\backslash in\backslash R$; dies ist die übliche Schreibweise für die komplexen Zahlen.

Polynome: Adjunktion

Eine weitere Konstruktion der komplexen Zahlen ist der Faktorring

$\backslash R*/(X^2+1)$

des Polynomringes in einer Unbestimmten über den reellen Zahlen. Die Zahl i entspricht dabei dem Bild der Unbestimmten $X$, die reellen Zahlen werden mit den konstanten Polynomen identifiziert.

Dieses Konstruktionsprinzip ist auch in anderem Kontext anwendbar, man spricht von Adjunktion.

Matrizen

Die Menge der $2\backslash times2$-Matrizen der Form

mit $a,b\backslash in\backslash R$

bildet ebenfalls ein Modell der komplexen Zahlen: Reelle Zahlen entsprechen Diagonalmatrizen

die Zahl i ist die Matrix

Die zu diesen Matrizen gehörenden linearen Abbildungen sind, sofern $a$ und $b$ nicht beide null sind, Drehstreckungen im Raum $\backslash R^2$. Es handelt sich genau um dieselben Drehstreckungen wie bei der Interpretation der Multiplikation mit einer komplexen Zahl $a+b\backslash mathrm\; i$ in der gaußschen Zahlenebene.

Geschichtliches

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Die Unmöglichkeit der oben angegebenen Lösung ist bei der Behandlung der quadratischen Gleichung schon sehr früh bemerkt und hervorgehoben worden, z. B. schon in der um 820 n. Chr. verfassten Algebra des Muhammed ibn Mûsâ Alchwârizmî. Aber bei dem nächstliegenden und unanfechtbaren Schluss, dass diese Art von Gleichung nicht lösbar ist, blieb man nicht stehen.

In gewissem Sinne ist bereits der Italiener Gerolamo Cardano (1501–1576) in seinem 1545 erschienenen Buch Artis magnae sive de regulis algebraicis liber unus darüber hinausgegangen. Er behandelt dort die Aufgabe, zwei Zahlen zu finden, deren Produkt 40 und deren Summe 10 ist. Er hebt hervor, dass die dafür anzusetzende Gleichung:

$x(10-x)=40$ oder $x^2-10x+40=0$

keine Lösung hat, fügt aber einige Bemerkungen hinzu, indem er in die allgemeine Lösung der quadratischen Gleichung

$x\_\{1,2\}\; =\; -\; \backslash frac\{p\}\{2\}\backslash pm\backslash sqrt\{\; \backslash frac\{p^2\}\{4\}\; -\; q\; \}$

für $p$ und $q$ die Werte (−10) und 40 einsetzt. Wenn es also möglich wäre dem sich ergebenden Ausdruck

$\backslash sqrt\{25-40\}$ oder $\backslash sqrt\{-15\}$

einen Sinn zu geben, und zwar so, dass man mit diesem Zeichen nach den selben Regeln rechnen dürfte, wie mit einer reellen Zahl, so würden die Ausdrücke

$5\; +\; \backslash sqrt\{-15\}$ oder $5\; -\; \backslash sqrt\{-15\}$

in der Tat eine Lösung darstellen.

Für die Quadratwurzel aus negativen Zahlen und allgemeiner für alle aus einer beliebigen reellen Zahl $\backslash alpha$ und einer beliebigen reellen Zahl $\backslash beta$ zusammengesetzten Zahl

$\backslash alpha\; +\; \backslash sqrt\{-\backslash beta\}$ oder $\backslash alpha\; -\; \backslash sqrt\{-\backslash beta\}$

hat sich seit der Mitte des 17. Jahrhunderts die Bezeichnung imaginäre Zahl eingebürgert.

Im Gegensatz dazu wurden als gewöhnliche Zahl die reellen Zahlen bezeichnet. Eine solche Gegenüberstellung der zwei Begriffe findet sich in der 1637 erschienenen Geómetrie von Descartes und taucht dort wohl zum ersten Mal auf.

Heute bezeichnet man nur noch den Ausdruck, der durch die Wurzel aus einer negativen Zahl gebildet wird, als imaginäre Zahl und die von beiden Arten von Zahlen gebildete Menge von Zahlen als komplexe Zahlen. Man kann daher sagen, dass Cardano zum erstem mal im heutigen Sinne mit komplexen Zahlen gerechnet hat und damit eine Reihe von Betrachtungen angestellt hat.

Da das Rechnen mit diesen als „sinnlos“ angesehenen Zahlen zunächst als bloßes Spiel erschien, war man umso überraschter, dass dieses „Spiel“ sehr häufig wertvolle Ergebnisse lieferte oder schon bekannten Ergebnissen eine befriedigendere Form zu geben erlaubte. So kam Leonhard Euler zum Beispiel in seiner Introductio in analysin infinitorum zu einigen bemerkenswerten Gleichungen, die nur reelle Zahlen enthielten und sich ausnahmslos als richtig erwiesen, die aber auf anderem Wege nicht so einfach gewonnen werden konnten.

So kam es, dass man diese Zahlen nicht als widersinnig verwarf, sondern sich immer mehr mit ihnen beschäftigte. Trotzdem umgab dieses Gebiet der Mathematik noch immer etwas Geheimnisvolles, Rätselhaftes und Unbefriedigendes. Erst durch die Abhandlung Essai sur la répresentation analytique de la direction aus dem Jahre 1797 des norwegisch-dänischen Landmessers Caspar Wessels (1785–1818) wurde die Aufklärung über diese Zahlen angebahnt. Diese Arbeit, die er bei der dänischen Akademie einreichte, fand anfangs keine Beachtung. Ähnlich erging es Arbeiten anderer Mathematiker, sodass diese Betrachtungen noch mehrfach angestellt werden mussten.

Als Erster definierte Augustin Louis Cauchy 1821 in seinem Lehrbuch Cours d'analyse eine Funktion komplexer Variablen in die komplexe Zahlenebene und bewies viele grundlegende Sätze der Funktionentheorie.

Allgemeine Beachtungen fanden sie erst dann, als auch Carl Friedrich Gauß im Jahre 1831 in einem Artikel in den Göttingschen gelehrten Anzeigen dieselben Auffassungen entwickelte, offensichtlich ohne Wissen von irgendwelchen Vorgängern.

Heute machen diese Dinge keinerlei begriffliche oder tatsächliche Schwierigkeiten. Durch die Einfachheit der Definition, der bereits erläuterten Bedeutung und Anwendungen in vielen Wissenschaftsgebieten stehen die komplexen Zahlen den reellen Zahlen in nichts nach. Der Begriff der "imaginären" Zahlen, im Sinne von eingebildeten bzw. unwirklichen Zahlen, hat sich also im Laufe der Jahrhunderte als schiefe Auffassung erwiesen.

Anwendung

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Die komplexen Zahlen in der Physik

Komplexe Zahlen spielen in der Grundlagenphysik eine zentrale Rolle. So passt insbesondere die mathematische Struktur der Quantentheorie exakt zur Struktur der komplexen Zahlenmathematik, die dort nicht wegzudenken ist. Sie findet dort Verwendung bei der Definition von Differentialoperatoren in der Schrödinger-Gleichung und der Klein-Gordon-Gleichung. Für die Dirac-Gleichung benötigt man eine Zahlbereichserweiterung der komplexen Zahlen, die Quaternionen. Alternativ ist eine Formulierung mit Pauli-Matrizen möglich, die aber die gleiche algebraische Struktur wie die Quaternionen aufweisen.

In der Relativitätstheorie werden Raum und Zeit zu einer vierdimensionalen Raum-Zeit verknüpft. Substituiert man dazu die Zeit t mittels x₄ = ict durch eine 4. Raumkoordinate x₄, so ergibt sich eine Form der Naturgesetze, in denen diese vier Koordinaten strukturell völlig gleichberechtigt auftreten. So erhält man insbesondere für die Metrik M dieser Raum-Zeit

M = x₁² + x₂² + x₃² + x₄²,

die die gleiche fundamentale Rolle für die Raum-Zeit spielt wie der räumliche Abstand für den gewöhnlichen Raum. Diese Substitution wird von einigen Autoren in Lehrbüchern verwendet, die die spezielle Relativitätstheorie behandeln oder Abschnitte hierüber beinhalten. Der Ausdruck x = (x,y,z,ict) wird auch als Vierervektor bezeichnet. In der Praxis hat sich allerdings eine Formulierung mit reellen Vierervektoren durchgesetzt, eingebettet in einen Formalismus, der direkt zur allgemeinen Relativitätstheorie führt. Dabei werden je nach Definition der zugrundeliegenden Metrik verschiedene Formen verwendet, z. B. x = (ct,x,y,z) oder y = (x,y,z,ct). Man vermutet jedoch die Existenz zusätzlicher verborgener Dimensionen der Raum-Zeit, über deren Anzahl und Struktur noch spekuliert wird, so dass der Stellenwert der Substitution x₄ = ict letztlich noch offen ist.

Darüber hinaus ist die Mathematik der komplexen Zahlen derjenigen der reellen Zahlen hinsichtlich Eleganz und Abgeschlossenheit deutlich überlegen. So ist, um nur ein Beispiel zu nennen, jede komplex differenzierbare Funktion automatisch unendlich oft differenzierbar, anders als in der Mathematik der reellen Zahlen.

Es hat sich gezeigt, dass komplexe Zahlen tiefer in der Natur und auch in der Mathematik verankert sind, als man zur Zeit ihrer Entdeckung ahnen konnte. Die grundlegende Frage scheint fast weniger zu sein, warum die Quantentheorie so gut zu den komplexen Zahlen passt, sondern warum wir bei der physikalischen Beschreibung unserer Alltagswelt eigentlich so gut mit den reellen Zahlen auskommen.

Komplexe Zahlen in der angewandten Mathematik

Komplexe Zahlen haben in der Physik und Technik eine wichtige Rolle als Rechenhilfe. So lässt sich insbesondere die Behandlung von Differentialgleichungen zu Schwingungsvorgängen vereinfachen, da sich damit die komplizierten Beziehungen in Zusammenhang mit Produkten von Sinus- bzw. Kosinusfunktionen durch Produkte von Exponentialfunktionen ersetzen lassen, wobei lediglich die Exponenten addiert werden müssen. So fügt man dazu beispielsweise in der komplexen Wechselstromrechnung willkürliche aber passende Imaginärteile in die reellen Ausgangsgleichungen ein, die man bei der Auswertung der Rechenergebnisse dann wieder ignoriert. Es handelt sich dabei lediglich um einen Rechentrick ohne philosophischen Hintergrund.

In der Fluiddynamik werden komplexe Zahlen eingesetzt, um ebene Potentialströmungen zu erklären und zu verstehen. Jede beliebige komplexe Funktion eines komplexen Arguments stellt immer eine ebene Potenzialströmung dar – der geometrische Ort entspricht dem komplexen Argument in der gaußschen Zahlenebene, das Strömungspotenzial dem Realteil der Funktion, und die Stromlinien den Isolinien des Imaginärteils der Funktion mit umgekehrtem Vorzeichen. Das Vektorfeld der Strömungsgeschwindigkeit entspricht der konjugiert komplexen ersten Ableitung der Funktion. Durch das Experimentieren mit verschiedenen Überlagerungen von Parallelströmung, Quellen, Senken, Dipolen und Wirbeln kann man die Umströmung unterschiedlicher Konturen darstellen. Verzerren lassen sich diese Strömungsbilder durch konforme Abbildung – das komplexe Argument wird durch eine Funktion des komplexen Arguments ersetzt. Beispielsweise lässt sich die Umströmung eines Kreiszylinders (Parallelströmung + Dipol + Wirbel) in die Umströmung eines tragflügel-ähnlichen Profils (Jukowski-Profil) verzerren und die Rolle des tragenden Wirbels an einer Flugzeug-Tragfläche studieren. So nützlich diese Methode zum Lernen und Verstehen ist, zur genauen Berechnung reicht sie im allgemeinen nicht aus.

Wichtig ist auch die Anwendung komplexer Zahlen bei der Berechnung uneigentlicher reeller Integrale im Rahmen des Residuensatzes der Funktionentheorie.

Komplexe Zahlen in der reinen Mathematik

Ein wichtiges Anwendungsgebiet in der reinen Mathematik ist die analytische Zahlentheorie. Man nutzt aus, dass die ganzen und die rationalen Zahlen, die eines der Hauptstudienobjekte der Zahlentheorie sind, in den komplexen Zahlen liegen. Die so gewonnene Freiheit erlaubt die Anwendung analytischer Methoden, die ggf. Rückschlüsse auf die ganzen und rationalen Zahlen zulassen.

Ferner liefern die komplexen Zahlen die Ausgangsbasis für die sog. komplexe Geometrie, d. h. das Studium komplexer Mannigfaltigkeiten. Dieses Gebiet ist schon für sich genommen sehr wichtig. Außerdem liefern Aussagen der komplexen Geometrie oft Hinweise auf Zusammenhänge in der algebraischen Geometrie, welche sehr ähnliche Gebilde studiert.

Verwandte Themen

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• Gaußsche Zahlen
• Eisenstein-Zahlen
• Zahlensystem
• Hyperkomplexe Zahlen

Weblinks

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• Wikibooks: Komplexe Zahlen
• Eine Facharbeit, die eine Einführung in die komplexen Zahlen gibt
• Rechnen mit komplexen Zahlen
• Java-Applet zur geometrischen Deutung
• Java-Klasse, zur Berechung komplexer Zahlen

Zahlen

عدد عقدي | Комплексно число | Komplekse tal | Μιγαδικός αριθμός | Complex number | Kompleksa Nombro | Número complejo | Kompleksarv | Kompleksiluku | Nombre complexe | מספר מרוכב | Tvinntölur | Numero complesso | 複素数 | 허수 | Kompleksiniai skaičiai | Complex getal | Komplekst tall | Liczby zespolone | Números complexos | Număr complex | Комплексное число | Nummuru complessu | Kompleksno število | Komplexa tal | จำนวนเชิงซ้อน | Karmaşık sayılar | 複數