Der vorliegende Artikel über Komplexe Teilmengen beschreibt einige Mengenbegriffe, die häufig in Sätzen der Funktionentheorie verwendet werden, anschaulich im Kontext der komplexen Zahlenebene.

Viele der hier erklärten Begriffe werden in einem allgemeineren Sinn auch in der Topologie verwendet.

Zahlenebene und Punkte

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Bei der komplexen Zahlenebene handelt es sich um eine Darstellung der komplexen Zahlen, die einzelnen Zahlen werden dabei als Punkte dieser Ebene dargestellt. Dabei werden Real- und Imaginäranteil einer Zahl zur x- und y-Koordinate ihres Bildpunktes in der Ebene.

Bei Sätzen der Funktionentheorie sind Formulierungen wie "Im Punkt z gilt..." üblich. Gemeint ist: "Für die komplexe Zahl z gilt...".

Kreisscheiben

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Als (offene) Kreisscheibe um einen Punkt $z\_0$ wird das Innere eines Kreises um $z\_0$ in der Zahlenebene bezeichnet, der Kreisrand selbst wird nicht zur offenen Scheibe hinzugerechnet:
Definition: nennt man eine offene Kreisscheibe um $z\_0$ mit Radius $\backslash varepsilon$.

Als abgeschlossene Kreisscheibe bezeichnet man eine Kreisscheibe mit ihrem kompletten Rand.

Als punktierte Kreisscheibe bezeichnet man eine Kreisscheibe ohne ihren Mittelpunkt.

Als alternative Bezeichnungen für den Begriff Kreisscheibe existieren Kreisumgebung und $\backslash varepsilon$-Umgebung oder Epsilon-Umgebung. Gelegentlich wird $\backslash varepsilon$ durch einen anderen griechischen Kleinbuchstaben, zum Beispiel $\backslash delta$ ersetzt.

Randpunkte und innere Punkte

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Ein Punkt $z\_0$ wird als Randpunkt einer Menge M bezeichnet, wenn in jeder Kreisscheibe um $z\_0$ sowohl Punkte, die zur Menge M gehören als auch Punkte, die nicht zur Menge M gehören, liegen.
Diese Definition besagt nichts darüber aus, ob $z\_0$ selbst zur Menge M gehört.
Die Gesamtheit aller Randpunkte wird als der Rand bezeichnet.

Ein Punkt $z\_0$ wird als innerer Punkt einer Menge M bezeichnet, wenn es eine beliebig kleine Kreisscheibe um $z\_0$ gibt, die ausschließlich Punkte enthält, die zur Menge M gehören.
Diese Definition schließt ein, dass $z\_0$ selbst zur Menge M gehören muss.
Die Gesamtheit aller inneren Punkte wird als das Innere bezeichnet.

offen und abgeschlossen

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Eine Teilmenge der komplexen Zahlen $\backslash mathbb\{C\}$ wird als offen bezeichnet, wenn sie keinen einzigen ihrer Randpunkte enthält.

Eine Teilmenge von $\backslash mathbb\{C\}$ wird als abgeschlossen bezeichnet, wenn sie alle ihrer Randpunkte enthält.

Anmerkung: In $\backslash mathbb\{C\}$ existieren genau zwei Teilmengen, die keine Randpunkte besitzen und die damit sowohl offen als auch abgeschlossen sind: $\backslash mathbb\{C\}$ selbst und die leere Menge.

zusammenhängend

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Eine Teilmenge von $\backslash mathbb\{C\}$ wird als wegzusammenhängend bezeichnet, wenn sich zwei beliebige Punkte der Menge durch einen Streckenzug, der komplett innerhalb der Menge verläuft, verbinden lassen. Eine wegzusammenhängede Teilmenge von $\backslash mathbb\{C\}$ ist zusammenhängend, dies bedeutet, dass sie sich nicht als Vereinigung von nicht leeren disjunkten offenen Mengen darstellen lässt.

Gebiete

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Eine Teilmenge M von $\backslash mathbb\{C\}$ wird als Gebiet bezeichnet, wenn sie folgende Bedingungen erfüllt:

• M ist nicht leer, das heißt M enthält mindestens einen Punkt
• M ist offen
• M ist zusammenhängend

Tatsächlich lässt sich aus den ersten beiden Bedingungen bereits ableiten, dass ein Gebiet unendlich viele Punkte besitzt.

Anschaulich lassen sich Gebiete in der komplexen Zahlenebene als Flächen ohne ihren Rand / ihre Ränder darstellen.

Als abgeschlossenes Gebiet wird die Vereinigungsmenge eines Gebietes und dessen Rand / Ränder bezeichnet.

einfach und mehrfach zusammenhängend

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Eine zusammenhängende Teilmenge M von $\backslash mathbb\{C\}$ wird als einfach zusammenhängend bezeichnet, wenn sich zwei beliebige Streckenzüge zwischen zwei beliebigen Punkten von M immer innerhalb von M stetig ineinander überführen lassen, das heißt der eine Streckenzug lässt sich zum anderen Streckenzug so "verformen", dass die Verformung komplett in M liegt.

Als mehrfach zusammenhängend wird M bezeichnet, wenn die "Verformung" nicht innerhalb von M durchgeführt werden kann, im unteren Bild steht der Verformung ein "Loch" in der Menge als Hindernis entgegen.

Anschaulich lassen sich $(\; n\; +\; 1\; )$-zusammenhängende Gebiete in der komplexen Zahlenebene als randlose Flächen mit n Löchern darstellen. Man beachte, dass diese Verwendung von "$n$-fach zusammenhängend" der Definition der Topologie widerspricht.

beschränkt und kompakt

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Eine Teilmenge von $\backslash mathbb\{C\}$ wird als beschränkt bezeichnet, wenn alle ihre Punkte in einer Kreisscheibe um den Nullpunkt liegen.

Eine Teilmenge von $\backslash mathbb\{C\}$ wird als kompakt bezeichnet, wenn sie sowohl beschränkt als auch abgeschlossen ist.

sonstige Begriffe

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Bereich

Der Begriff Bereich wird häufig in der mathematischen Literatur zur Funktionentheorie benutzt, jedoch leider nicht einheitlich:

• teilweise wird Bereich als Synonym für offene Mengen (siehe oben) benutzt
• teilweise wird Bereich als Synonym für abgeschlossene Gebiete (siehe oben) benutzt

Funktionentheorie