Das Komplement ist ein Begriff aus der Mengenlehre der Mathematik. Für eine Teilmenge $A$ einer Menge $U$ besteht das Komplement von $A$ in $U$ genau aus den Elementen von $U$, die nicht in $A$ liegen, geschrieben $U\backslash setminus\; A$.

Wenn die Obermenge $U$ fest steht, wird das "Komplement von $A$ in $U$" auch kurz als das "Komplement von $A$" bezeichnet. Als Schreibweisen ist dafür $A^$ üblich, wobei das c für englisch complement steht. Die ebenfalls gebräuchliche Notation $\backslash bar\{A\}$ führt zu Komplikationen in der Topologie, wo die abgeschlossene Hülle ebenfalls durch Überstreichen gekennzeichnet wird.

Formale Definition

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Venn_A_complement_(2).PNG Es sei $A$ eine Teilmenge von $U$, also $A\; \backslash subseteq\; U$. Das Komplement von $A$ in $U$ ist die Menge

$\backslash \{x\backslash in\; U\backslash mid\; x\backslash notin\; A\backslash \}.$

Sie ist die eindeutig bestimmte Teilmenge $A^\backslash subseteq\; U$, die die beiden Bedingungen

$A\; \backslash cap\; A^=\backslash varnothing$  und   $A\; \backslash cup\; A^=U$

gleichzeitig erfüllt.

Rechenregeln

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Seien im folgenden $A$ und $B$ Teilmengen einer gemeinsamen Obermenge.

Es gelten die De Morganschen Regeln:

$(A\backslash cup\; B)^\; =\; A^\backslash cap\; B^$,

$(A\backslash cap\; B)^\; =\; A^\backslash cup\; B^$.

Das Komplement ist weiterhin eine Involution, es gilt also:

$(A^)^\; =\; A\; \backslash$.

Mengenlehre

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