Das Kommutativgesetz (lat. commutare - vertauschen), auf Deutsch Vertauschungsgesetz, ist eine Regel aus der Mathematik; wenn sie gilt, so können die Argumente einer Operation vertauscht werden, ohne dass sich am Ergebnis etwas ändert. Mathematische Operationen, die dem Kommutativgesetz gehorchen, nennt man kommutativ.

Formale Definition

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Es seien $A$ und $X$ Mengen.

Spezialfall zweistellige Operation

Eine zweistellige Funktion $*:\; A\backslash times\; A\backslash to\; X,\backslash ;\; (a,b)\backslash mapsto\; a*b$ heißt kommutativ, wenn für alle $a,b\backslash in\; A$ die Gleichheit $a*b=b*a$ gilt.

Allgemeiner Fall

Eine $n$-stellige Funktion $*:A^n\backslash to\; X,\backslash ;\; (a\_1,\backslash dots,a\_n)\backslash mapsto\; a\_1*a\_2*\backslash dots\; *a\_n$ heißt kommutativ, wenn für alle $a\_1,\backslash dots,a\_n\backslash in\; A$ und alle Permutationen $(\backslash sigma(1),\backslash sigma(2),\backslash ldots,\backslash sigma(n))$ der Indizes $(1,2,\backslash dots,n)$ die Gleichheit

$a\_1*a\_2*\backslash ldots\; *a\_n\; =\; a\_\{\backslash sigma(1)\}*a\_\{\backslash sigma(2)\}*\backslash dots\; *\; a\_\{\backslash sigma(n)\}$

gilt.

Beispiele und Gegenbeispiele

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Reelle Zahlen

Für reelle Zahlen $a,b\backslash in\backslash R$ gilt stets

$a\backslash ,+\backslash ,b\backslash ,=\backslash ,b\backslash ,+\backslash ,a$   und   $a\; \backslash cdot\; b\; =\; b\; \backslash cdot\; a$   ,

die Operationen Addition und Multiplikation sind also kommutativ. Die Subtraktion und die Division reeller Zahlen sind dagegen nicht kommutative Operationen. Auch die Potenzierung ist nicht kommutativ (Beispiel: $2^3\; \backslash neq\; 3^2$).

Skalarprodukte

• Das Skalarprodukt in einem reellen Vektorraum ist kommutativ, es gilt also stets $\backslash langle\; a,b\backslash rangle\; =\; \backslash langle\; b,a\backslash rangle$.
• Das Skalarprodukt in einem komplexen Vektorraum ist dagegen nicht kommutativ, es gilt vielmehr $\backslash langle\; a,b\backslash rangle\; =\; \backslash overline\{\backslash langle\; b,a\backslash rangle\}$, wobei der Überstrich die komplexe Konjugation bezeichnet.

Mengenoperation

In der Mengenlehre sind die Vereinigung und der Schnitt kommutative Operationen; für Mengen $A,\; B$ gilt also stets

$A\backslash cup\; B\; =\; B\backslash cup\; A$   und   $A\backslash cap\; B\; =\; B\backslash cap\; A$.

Dagegen ist die Differenz nicht kommutativ, im Allgemeinen sind also $A\backslash setminus\; B$ und $B\backslash setminus\; A$ verschiedene Mengen.

Matrizenrechnung

Die Addition von Matrizen über einem Ring oder Körper ist kommutativ. Die Matrizenmultiplikation ist dagegen nie kommutativ, außer im eindimensionalen Fall oder wenn das Produkt die Einheitsmatrix ergibt, wenn beide Matrizen also invers zueinander sind.

Aussagenlogik

In der Aussagenlogik sind die Junktoren $\backslash vee$ („oder“) und $\backslash and$ („und“) kommutativ.

Weitere Beispiele

Weitere Beispiele für nichtkommutative Operationen sind das Kreuzprodukt in Vektorräumen oder die Multiplikation von Quaternionen.

Kommutativität ist außerdem eine wichtige Grundeigenschaft in der Gruppentheorie und Quantenmechanik.

Siehe auch

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• Assoziativgesetz
• Distributivgesetz
• Flexibilitätsgesetz
• Kommutator (Mathematik)
• Kommutator (Physik)

Algebra

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