Unter Knicken versteht man in der Technischen Mechanik den Verlust der Stabilität von geraden bzw. leicht gekrümmten Stäben oder Balken unter der Wirkung von Druckkräften, deren Wirkungslinie in der Stabachse liegt, und/oder von Biegemomenten. Der Verlust der Stabilität äußert sich in mit der Belastung rasch wachsenden Formänderungen des Stabes oder des Balkens ab einer bestimmten Belastung (Knicklast), und zwar mit

• einem seitlichen Ausweichen der Stabachse oder Balkenachse (Biegeknicken) oder
• einem Verdrehen des Stab- bzw. Balkenquerschnitts (Drillknicken) oder
• einem seitlichen Ausweichen der Stabachse oder Balkenachse und einem Verdrehen des Stab- bzw. Balkenquerschnitts (Biegedrillknicken)

Die Knicklast ist abhängig von

• der Art der Beanspruchung (Verlauf der Normalkräfte und/oder Biegemomente über die Stablänge),
• Länge des Stabes oder des Balkens,
• Querschnittsform des Stabes oder des Balkens, konstanter oder über die Stabachse veränderlicher Querschnitt,
• Materialeigenschaften des Stabes (bei elastischem Material: Elastizitätsmodul und Fließgrenze),
• Einspannung bzw. Auflagerung oder Stützung des Stabes oder Balkens.

Eulersche Knickfälle (Biegeknicken)

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eulerfaelle1.png Nach Leonhard Euler, der das Knicken elastischer Stäbe als erster behandelt hat, sind 4 Sonderfälle für das Knicken des elastischen Stabes mit mittig wirkender Druckkraft und speziellen Randbedingungen benannt.

Die Knickkraft kann durch eine einzige Formel dargestellt werden:

$F\_K=\backslash frac\{\backslash pi^2EI\}\{s^2\}$

E: Elastizitätsmodul

I: axiales Flächenträgheitsmoment des Querschnittes

s: Knicklänge, die mit der Stablänge L in folgender Beziehung steht:

$s=\backslash frac\{\}\{\}\backslash beta\; *\; L$

Für die Eulerfälle (von links nach rechts ins Bild) haben die Knicklängenbeiwerte β folgende Werte: 2; 1; 0,699...; 0,5.

Für den 2. Eulerfall stimmen damit Knicklänge und Stablänge überein.

Ein- oder zweiachsiges Biegeknicken

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Es seien x die Stab- bzw. Balkenachse, y und z die Hauptträgheitsachsen des (nicht verwundenen) Querschnittes. Dann ist - wenn die Randbedingungen es erlauben - ein Ausweichen der Stabachse

• nur in der x,y-Ebene (einachsiges Knicken, maßgebend I_z) oder
• nur in der x-z-Ebene (einachsiges Knicken, maßgebend I_y) oder
• in beiden Ebenen gleichzeitig (zweiachsiges Knicken)

möglich. Letztere Möglichkeit ist insbesondere dann zu berücksichtigen, wenn Knicklasten für das einachsige Knicken in den beiden Ebenen nicht weit auseinander liegen. Eine getrennte Behandlung der beiden einachsigen Knickvorgänge ist dann nicht möglich, weil Einflüsse nichtlinearen Materialverhaltens eine Kopplung bewirken.

Drillknicken und Biegedrillknicken

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Reines Drillknicken (Verdrillung des Stabes bei unverändert gerader Stabachse) ist im Allgemeinen nicht von praktischem Interesse, weil ein Ausweichen der Stabachse in der Regel bereits bei geringeren Lasten eintritt.

Biegedrillknicken.png Dagegen ist die Stabilität eines Balkens u. U. auch dann durch Biegedrillknicken gefährdet, wenn keine Druckkräfte vorhanden sind. Das Bild zeigt ein Beispiel, eine ältere Bezeichnung für das Versagen eines biegebelasteten Trägers durch Biegedrillknicken ist Kippen.

Der Widerstand gegen Biegedrillknicken wird neben den oben angeführten Einflüssen durch die Verdrehsteifigkeit und durch verdrehungsbehindernde Stützung des Balkens beeinflusst.

Mathematische Modelle des Knickproblems

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Die Differentialgleichung des Knickproblems kann durch die Formulierung der Gleichgewichtsbedingungen am verformten Stab oder Balken gewonnen werden (Theorie II. Ordnung, s. u. Baustatik). Knicken_Verzweigung.png Wird die Differentialgleichung für einen geraden, unbeschränkt elastischen Stab bei mittiger Lasteintragung linearisiert, so führt das auf mathematisch auf ein Eigenwertproblem. Beim ersten Eigenwert verzweigt sich die Lösung der Differentialgleichung, die Grenze der Stabilität ist erreicht (schwarze horizontale Linie). Verzichtet man auf die Linearisierung der Differentialgleichung, dann zeigt sich, dass mit rasch wachsender Verformung noch eine (geringe) Laststeigerung erreicht werden kann (gestrichelte schwarze Linie).

Werden die (unvermeidlichen) Imperfektionen (Vorverformungen der Stabachse, Ungleichmäßigkeiten des Werkstoffes, Eigenspannungen, Exzentrizität der Lasteintragung) berücksichtigt, dann entsteht eine inhomogene Differentialgleichung (kein Eigenwertproblem). Die Verformungen nehmen schon vor dem Erreichen der Verzweigungslast stark zu. Die Kurve nähert sich - wenn die Differentialgleichung linearisiert wurde - der Verzweigungslast asymptotisch (rote Kurve). Voraussetzung dafür ist, dass der Werkstoff im rein elastischen Bereich bleibt (bei schlanken Stäben).

Bei einer Teilplastizierung des Querschnittes unterhalb der Verzweigungslast (gedrungene Stäbe) kann diese nicht erreicht werden (blaue Kurve).

Knicknachweis bei stabilitätsgefährdeten Stabkonstruktionen aus Stahl

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DIN 18800, Teil 2, lässt 2 Verfahren zu:

• Berechnung des Gesamtsystems nach Theorie II. Ordnung, wobei die zu berücksichtigenden Imperfektionen durch die Norm vorgegeben sind oder
• Anwendung des "Ersatzstabverfahrens" für die einzelnen Stäbe. Hier sind die zu berücksichtigenden Imperfektionen implizit im Berechnungsverfahren enthalten.

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