Die zwei Kirchhoffschen Regeln wurden von Gustav Robert Kirchhoff entdeckt. Sie beschreiben jeweils den Zusammenhang zwischen mehreren elektrischen Strömen und zwischen mehreren elektrischen Spannungen in elektrischen Netzwerken.

Die Knotenregel (1. Kirchhoffsches Gesetz)

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Die Summe der zufließenden Ströme in einem elektrischen Knotenpunkt ist gleich der Summe der abfließenden Ströme. Versieht man zufließende Ströme mit anderem Vorzeichen als abfließende Ströme, lässt sich allgemein sagen:

Die Summe aller Ströme in einem Knotenpunkt ist Null.

In Netzwerken mit reinen Gleichströmen kann vereinfachend für einen Knoten mit $n$ Strömen gesagt werden:

$\backslash sum\_\{k=1\}^n\; I\_k\; =\; 0$.

In Wechselstromnetzwerken muss die Summe der komplexen Effektivwerte oder Amplituden des Stroms betrachtet werden:

$\backslash sum\_\{k=1\}^n\; \backslash underline\{I\_k\}\; =\; 0$.

Ein Netzwerk mit n Knoten hat (n-1) linear unabhängige Knotengleichungen. Die Knotenregel gilt nicht nur für einzelne Knoten, sondern auch für ganze Schaltungen. Allerdings wird davon ausgegangen, dass der Knoten elektrisch neutral bleibt. Möchte man z.B. nur eine Kondensatorplatte betrachten (und nicht den ganzen Kondensator), ist dies nicht mehr erfüllt und man muss das 4. Maxwellsche Gesetz benutzen:

$\backslash iint\_A\backslash !\backslash !\backslash !\backslash !\backslash !\backslash !\backslash !\backslash !\backslash !\backslash !\backslash !\backslash !\backslash !\backslash !\backslash !\backslash ;\backslash ;\backslash subset\backslash !\backslash supset\; \backslash left(\backslash vec\; J\; +\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash vec\; D\}\{\backslash partial\; t\}\backslash right)\; \backslash cdot\backslash mathrm\{d\}\backslash vec\; A\; =\; 0$.

Beispiel eines Knotens

Stromknoten.png Wie auf dem Bild zu erkennen ist, fließen die Ströme $I\_1$ und $I\_3$ in den Knoten hinein und die Ströme $I\_2$, $I\_4$ und $I\_5$ aus dem Knoten heraus. Nach der Knotenregel ergibt sich folgende Formel:

$I\_1\; -\; I\_2\; +\; I\_3\; -\; I\_4\; -\; I\_5\; =\; 0$

oder umgeformt

$I\_1\; +\; I\_3\; =\; I\_2\; +\; I\_4\; +\; I\_5$.

Beispiel eines Netzwerkknotens

Netzwerkknoten.png Auch ganze Netzwerke können als Knoten angesehen werden. Im Beispiel fließen die Wechselströme $I\_1$ und $I\_2$ in den Knoten hinein und der Strom $I\_3$ aus dem Knoten heraus.

Es gilt also:

$\backslash underline\{I\}\_1\; +\; \backslash underline\{I\}\_2\; -\; \backslash underline\{I\}\_3\; =\; 0$.

Sind für die zufließenden Ströme folgende komplexe Effektivwerte gegeben:

$\backslash underline\{I\}\_1\; =\; 3A\; \backslash cdot\; e^\{j\backslash cdot15^\backslash circ\}$

$\backslash underline\{I\}\_2\; =\; 1A\; \backslash cdot\; e^\{-j\backslash cdot35^\backslash circ\}$.

So ergibt sich für den abfließenden Strom aus der Knotenregel:

$\backslash underline\{I\}\_3\; =\; \backslash underline\{I\}\_1\; +\; \backslash underline\{I\}\_2\; =\; 3A\; \backslash cdot\; e^\{j\backslash cdot15^\backslash circ\}\; +\; 1A\; \backslash cdot\; e^\{-j\backslash cdot35^\backslash circ\}\backslash approx3\{,\}73A\backslash cdot\; e^\{j\backslash cdot3\{,\}12^\backslash circ\}$.

Die Maschenregel (2. Kirchhoffsches Gesetz)

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Alle Teilspannungen eines Umlaufs bzw. einer Masche in einem elektrischen Netzwerk addieren sich zu Null. In einem Umlauf mit n Teilspannungen eines elektrischen Gleichstromnetzes gilt folgende Formel:

$\backslash sum\_\{k=1\}^n\; U\_k\; =\; 0$.

In Wechselstromnetzwerken muss die Summe der komplexen Effektivwerte oder komplexen Amplituden der Spannung betrachtet werden:

$\backslash sum\_\{k=1\}^n\; \backslash underline\{U\_k\}\; =\; 0$.

Ein Netzwerk mit n unabhängigen Knotengleichungen hat n+1 unabhängige Maschengleichungen. Die Maschenregel ist ein Spezialfall des 3. Maxwellschen Gesetzes und darf nur bei Abwesenheit zeitlich ändernder Magnetfelder angewandt werden.

Gleichungen für Schaltungsbeispiel

• Knotengleichung (oberer Knoten): I₁ + I₂ - I₃ = 0
• Maschengleichung I: U₁ - I₁R₁ + I₂R₂ - U₂ = 0
• Maschengleichung II: U₂ - I₂R₂ - U₃ + I₃R₃ = 0

Dieses Gleichungssystem lässt sich nach den drei unbekannten Strömen ordnen :

I₁ + I₂ - I₃ = 0

I₁R₁ - I₂R₂ = U₁ - U₂

I₂R₂ - I₃R₃ = U₂ - U₃

In Matrixschreibweise lautet das Gleichungssystem:

Zum Lösen

Die Kirchhoffschen Gleichungen eines Schaltkreises bilden immer ein lineares Gleichungssystem. Die Theorie linearer Gleichungssysteme (Lineare Algebra) ist gut verstanden, und es gibt Standardmethoden zu ihrer Auflösung.

Kleinere Gleichungssysteme lassen sich analytisch „von Hand“ lösen, für umfangreichere Schaltkreise werden numerische Methoden (Computerprogramme) verwendet.

Hintergrund

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Beide Kirchhoffschen Regeln drücken physikalische Erhaltungssätze aus: Der ersten Regel liegt zugrunde, dass die elektrische Ladung erhalten bleibt; die zweite beruht auf der Erhaltung der Energie, welche im Stromkreis auf der Bewegung der Ladungsträger durch ein Spannungsgefälle gegeben ist.

Bei der Anwendung der Kirchhoffschen Gleichungen ist zu beachten, dass davon ausgegangen wird, dass alle Verbindungen zwischen den einzelnen Stromkreiselementen ideal leitend sind. Außerdem muss beachtet werden, dass die Stromkreiselemente als konzentrierte Elemente angesehen werden. Konzentrierte Stromkreiselemente sind Elemente deren elektrisches Verhalten sich vollständig durch die an den Anschlüssen fließenden Ströme und anliegenden Spannungen beschreiben lassen. Sollten in der zu untersuchenden Schaltung nicht konzentrierte Elemente vorkommen, so müssen diese durch Ersatzschaltungen konzentrierter Stromkreiselemente ersetzt werden.

siehe auch: Reihenschaltung, Parallelschaltung

Theoretische Elektrotechnik

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