Kartenprojektion

Eine Kartenprojektion ist eine von vielen verschiedenen Methoden in der Kartographie, mit der man die gekrümmte Oberfläche der (dreidimensionalen) Erde auf die flache (zweidimensionale) Karte überträgt. Dieser Prozess der Modellbildung geschieht mit Hilfe von Abbildungsvorschriften, die man mathematisch ausdrücken kann. Manche Abbildungen kann man aber auch anschaulich graphisch oder geometrisch erklären.

In der modernen Entwicklung hin zur Geodateninfrastruktur (Technologie und Terminologie) bilden Kartenprojektionen eine spezielle Gattung von Koordinaten-Referenz-Systemen und stellen dabei eine Konversionsmethode von einem mathematischen Erdmodell in die Ebene dar. Es sind über 200 verschiedene Projektionsmethoden bekannt.

Bei der Nutzung von Kartenprojektion sind grundsätzlich drei Schritte notwendig:

Auswahl eines geeigneten Modells (normalerweise wählt man zwischen einer Kugel oder einem Ellipsoid) für die Form der Erde oder des abzubildenden Gegenstandes (beispielsweise anderer planetarischer Körper)
Umwandlung der geographischen Koordinaten (Länge und Breite) in ein kartesisches Koordinatensystem (x und y oder Rechtswert und Hochwert)
Skalierung der Karte (in der manuellen Kartografie kam dieser Schritt an zweiter Stelle, bei der digitalen Kartografie kann er zuletzt kommen)

Klassifikation nach Projektionsflächen

Auswahl der Projektionsfläche

Die meisten Kartenprojektionen sind keine "Projektionen" in physikalischer Hinsicht. Sie beruhen eher auf mathematischen Formeln. Um jedoch das Konzept der Kartenprojektion zu verstehen, ist es hilfreich, sich einen Globus mit einer Lichtquelle vorzustellen. Diese Lichtquelle projiziert die Punkte, Linien und Flächen des Globus auf die Oberfläche eines Hilfskörpers, die sich einfach in die Ebene abrollen lässt.

Als Hilfskörper kann man entweder eine Ebene, einen Kegel, einen Zylinder oder einen anderen Körper nutzen. Durch die Projektion der Globuselemente auf diese Hilfsfläche erhält man ein flaches Abbild. Allerdings muss man bei Kegel und Zylinder vorher noch die Oberfläche in die Ebene abrollen. Grundsätzlich kann man alle Kartenprojektionen nach der Art des genutzten Hilfskörpers unterscheiden.

Schließlich ist es von Bedeutung, ob die Hilfsfläche modellhaft den Globus berührt oder schneidet. Bei einer zylindrischen Abbildung berührt (in normaler Lage) die Abbildungsfläche den Globus rund um den Äquator (an dieser Stelle gibt es auch keine Verzerrungen), ein Schnittzylinder schneidet dagegen den Globus an den nördlichen und südlichen Breitenkreisen. Das Prinzip gilt für alle Abbildungshilfsflächen.

Hilfskörper	Projektionsname	Beispiel
Ebene	Azimutalprojektion	Azimutalprojektion-polar_kl.jpg
Kegel	Kegelprojektion	Kegelprojektion_laengentreu_kl.jpg
Zylinder	Zylinderprojektion	Zylinderprojektion_quadratische_plattkarte_kl.jpg
trapezförmiger Polyeder	Polyederprojektion

Azimutalprojektionen

Eine Azimutalprojektion berührt die Erde an einem Punkt. Viele Azimutalprojektionen sind echte perspektivische Projektionen, das heißt sie können auch geometrisch konstruiert werden. Diese Abbildungsart eignet sich besonders zur Darstellung kreisförmiger Gebiete, beispielsweise der Polgebiete.

Echte Projektionen

Bild:Stereographic_draw.png|Stereografische Projektion Bild:Gnomonic_draw.png|Gnomonische Projektion Bild:Orthographic_draw.png|Orthografische Projektion Diese sind geometrische Projektionen und besitzen ein Projektionszentrum. Folgende Projektionen sind üblich:

Konforme azimutale Abbildung, auch Stereografische Projektion genannt, bei der das Projektionszentrum gegenüber dem Berührungspunkt liegt. Sie wird u. A. wegen der Winkeltreue für Sternenkarten verwendet.
Gnomonische Projektion, auch Zentralprojektion genannt, bei der das Projektionszentrum im Erdmittelpunkt liegt. Sie bildet alle Großkreise als Geraden ab. Daher wird sie gerne in der Navigation verwendet, um die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten zu finden.
Orthografische Azimutalprojektion, auch Parallelprojektion genannt, bei der das Projektionszentrum im Unendlichen liegt, das heißt, die Projektionsstrahlen fallen parallel auf die Erdkugel. Sie wird zur anschaulichen Darstellung der Erdkugel, sowie zur Darstellung anderer Himmelskörper (Mond, Planeten) verwendet, da sie den Himmelskörper so darstellt, wie er im Weltraum (aus großer Entfernung) zu sehen wäre.

Unechte Projektionen

Bild:Laengentreu_draw.png|Mittelabstandstreue Azimutalprojektion Bild:Lambert_draw.png|Lambertsche Azimutalprojektion Diese sind rein mathematisch definierte Abbildungen. Sie lassen sich in der Regel nicht mit Zirkel und Lineal geometrisch konstruieren. Dafür besitzen sie spezielle Eigenschaften, die von den geometrischen Projektionen nicht erreicht werden. Verwendung finden vor allem:

Mittabstandstreue Azimutalprojektion, bei der die Abstände vom Kartenmittelpunkt unverzerrt wiedergegeben werden. Sie wird z.B. von Funkdiensten genutzt. Die Antenne steht im Berührungspunkt, und man kann so leicht die Himmelsrichtung und die Entfernung zu seinem Funkpartner ermitteln.
Flächentreue Azimutalprojektion nach J.H. Lambert. Sie wird u.a. verwendet bei Atlaskarten.

Kegelprojektion

Pseudo-Kegelprojektion

Bonnesche Projektion (Herzform)
Stab-Wernersche Projektion (Herzform)

Zylinderprojektionen

Zylinderprojektionen werden mit Hilfe eines Zylinders um die Erde konstruiert.

Mercator-Projektion
Flächentreue Zylinderprojektion oder (Gall-)Peters Projektion
Längentreue Zylinderprojektion, Quadratische Plattkarte und Rechteckige Plattkarte
Miller Zylinderprojektion
Lamberts flächentreue Zylinderprojektion

Weiterhin werden beim Gauß-Krüger- und UTM-Koordinatensystem transversale Zylinderprojektionen genutzt.

Pseudo-Zylinderprojektionen

Pseudo-Zylinderprojektionen sind mathematisch konstruierte Projektionen auf denen der Mittelmeridian und alle Breitenkreise gerade Linien sind.

Mercator-Sansonsche Zylinderprojektion
Mollweide-Projektion von Carl Brandan Mollweide
Goodes flächentreue Projektion (zerschnittene Karte)
Eckert IV und Eckert VI
Sinusoidal-Projektion

Klassifikation nach Lage/Aspekt der Abbildungsfläche

Nachdem die Wahl des Hilfskörpers feststeht, muss nun über seine Lage entschieden werden. Zur Beschreibung nutzt man die Erdachse und die Masselinie des Hilfskörpers. Bei einer Ebene ist das die Senkrechte, bei einem Zylinder die Mittellinie und bei einem Kegel die Mittellinie durch die Spitze. Die unterschiedlichen Projektionsflächen lassen sich an beliebigen Stellen an die Kugeloberfläche anlegen. Die Wahl der Lage (= Aspekt der Abbildungsfläche) wird durch den abzubildenden Teil der Erdoberfläche bestimmt, für den die Abbildung optimiert werden soll:

Normale Abbildungen
Transversale Abbildungen
Schiefachsige Abbildungen

**Azimutalprojektion mit unterschiedlicher Lage**
Lage/Aspekt	Beschreibung	Beispiel
normal oder polständig	Achse des Hilfskörpers entspricht Erdachse	Azimutalprojektion-polar_kl.jpg
transversal oder querachsig, äquatorständig	Achse des Hilfskörpers liegt senkrecht zur Erdeachse	Azimutalprojektion-transversal_kl.jpg
schiefachsig oder schiefständig	Achse des Hilfskörpers liegt schief zur Erdachse	Azimutalprojektion-schief_kl.jpg

Klassifikation nach Abbildungseigenschaften (Verzerrungseigenschaften)

Eine Karte sollte möglichst exakt das Original wiedergeben. Bei der Abbildung der Kugel auf die Ebene sind allerdings Verzerrungen unvermeidlich. Dieses Phänomen kann man sich am besten mit Hilfe einer Orange vorstellen: Selbst wenn man es schafft, diese in einem Stück zu schälen, kann man die Schale (Erdoberfläche) nur mit starkem Drücken flach bekommen (Papier) und nimmt dabei Verzerrungen in Kauf (die Schale dehnt sich, reißt oder faltet sich). Dieses Phänomen der Verzerrung lässt sich differenzialgeometrisch begründen. Zur Beschreibung der lokalen Verzerrungseigenschaften in einem Punkt wird die Tissotsche Indikatrix (Verzerrungsellipse) verwendet.

Somit können sich die Länge einer Strecke, die Größe und Form einer Fläche oder der Winkel zwischen zwei Linien durch die Kartenprojektion verändern. Demzufolge kann auch der Maßstab auf einer Karte variieren. Ein populäres Beispiel ist die nahezu riesige Darstellung von Grönland bei der Zylinderprojektion. Diese Verzerrungen lassen sich niemals vollständig beseitigen. Sämtliche Kartenprojektionen enthalten mindestens eine Form dieser Verzerrungen, weshalb man sich für bestimmte Vor- und Nachteile unter diesen Abbildungseigenschaften entscheiden muss:

längentreue (äquidistante) Abbildung - einige Strecken sind korrekt abgebildet (beispielsweise für Streckenmessungen)
flächentreue (äquivalente) Abbildung - alle Flächen sind dem Maßstab entsprechend korrekt abgebildet (Beispiel Grönland)
winkeltreue (konforme) Abbildung (beispielsweise zur Navigation oder für die Geodäsie)
vermittelnde Verzerrungseigenschaften - Kompromisse zwischen Längentreue, Flächentreue oder Winkeltreue

Die Längentreue kann bei ebenen Karten nur begrenzt erreicht werden: in bestimmte Richtungen oder an bestimmten Punkten. Alle echten Abbildungen sind an den Berührpunkten bzw. Schnittkreisen längentreu. Eine absolute Längetreue in allen Punkten und allen Richtungen ist nicht möglich. Bei winkeltreuen Abbildungen ist die Längenverzerrung in jede Richtung (Azimut) gleich groß.

Der Globus bietet die Möglichkeit alle metrischen Eigenschaften in einem bestimmten Maßstab nahezu korrekt wiederzugeben, obwohl dem Globus i.d.R. eine Kugel als Projektionsfläche dient. Die beste Annäherung an die tatsächliche Erdform ist das Geoid, das gegenüber dem Rotationsellipsoid den Einfluss von Gebirgen und Geologie auf das Schwerefeld der Erde berücksichtigt (Abweichung d. Radius von Geoid zum Rotationsellipsoid max. 119 m). Diese Abweichungen können beim Globus jedoch vernachlässigt werden, da die Zeichenungenauigkeit bedingt durch den kleinen Maßstab i.d.R. deutlich größer ist.

Partiell längentreue Projektionen

Diese Projektionen geben die korrekte Distanz zu einem bestimmten Punkt oder einer Linie wieder

Quadratische Plattkarte und Rechteckige Plattkarte - entlang der Meridiane
Mittabstandstreue Azimutalprojektion - vom Mittelpunkt bzw. entlang der Radien
Orthografische Azimutalprojektion - entlang der Kreise um den Berührpunkt
Längentreue Kegelprojektion
Sinusoidal-Projektion
Werner Cordiform

Flächentreue Projektionen

Diese Projektionen stellen die Größe einer Fläche (z.B. eines Kontinents) korrekt dar. Die Form kann allerdings sehr stark verzerrt werden. Insbesondere am Kartenrand neigen dies Projektionen zu starken Formverzerrungen.

Peters-Projektion
Gall zylindrische flächentreue Projektion
Albers-Kegelprojektion
Flächentreue Azimutalprojektion nach J. H. Lambert
Mollweide-Projektion von Carl Brandan Mollweide
Hammer-Aitov-Projektion
Briesemeister-Projektion
Sinusoidal-Projektion
Goodes flächentreue Projektion (zerschnittene Karte)

Winkeltreue Projektionen

Winkeltreue Projektionen werden insbesondere bei der Navigation in der Schifffahrt und im Flugverkehr zur Erstellung von Karten benötigt, aber auch in der Kristallographie.

Vermittelnde Projektionen

Da keine Kartenprojektion alle Verzerrungen vollständig aufhebt, wurden einige vermittelnde Projektionen als Kompromiss entwickelt. Bei ihnen wurde versucht die Verzerrungen zu minimieren.

Andere Projektionen

Dymaxion Projektion
Hammer-Planisphäre (eine Abbildung der gesamten Erde) usw.

Projektionen in der Praxis

Schweizer Landeskoordinaten
Gauß-Krüger-Koordinatensystem für Deutschland und Österreich
UTM-Koordinatensystem - Universale Transversale Mercatorprojektion (weltumspannendes Zonensystem)

Literatur

Karlheinz Wagner, Kartographische Netzentwürfe, Bibliographisches Institut Mannheim, 2. Auflage 1962

Weblinks

Kartografie

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