Fractals-julia-still.gif]] Julia set (highres 01).jpg | Quaternion.jpg | Julia-Teppich.png Die Julia-Mengen, erstmals von Gaston Maurice Julia beschrieben, sind oft fraktale Mengen in der komplexen Zahlenebene.

Eine einfache und bekannte Art von Julia-Mengen wird durch folgende Rekursion definiert: Mit zwei komplexen Zahlen, c und z₀, sei

z_n+1 = z_n² + c.

Für einen gegebenen Wert von c ist K_c definiert als die Menge aller komplexer Zahlen z₀, deren Betrag nach beliebig vielen Iterationsschritten beschränkt bleibt. Die Julia-Menge J_c ist dann der Rand dieser Menge. K_c wird als ausgefüllte Julia-Menge oder gelegentlich auch unpräzise als Julia-Menge selbst bezeichnet. Man kann nachweisen, dass eine solche Iterationsfolge immer weiter anwächst, sobald ein Iterationsglied den Betrag 2 überschreitet.

Insofern gibt es also für jeden komplexen Zahlenwert c eine Julia-Menge.

Beziehung zur Mandelbrot-Menge

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Julia-Mengen haben einen engen Bezug zur Mandelbrot-Menge. Jene ist die Menge der c, für die obige Rekursion (z_n+1 = z_n² + c) beschränkt bleibt, wenn man z₀ = 0 wählt.

Die Mandelbrotmenge ist gewissermaßen eine Beschreibungsmenge der Juliamengen. Wenn man die Mandelbrotmenge graphisch darstellt, entspricht jedem Punkt c in der komplexen Zahlenebene eine Juliamenge. Eigenschaften der Julia-Menge lassen sich an der Lage des Punktes innerhalb der Mandelbrot-Menge abschätzen. Wenn der Punkt c Teil der Mandelbrot-Menge ist, dann sind sowohl die Julia-Menge J_c als auch K_c zusammenhängend. Andernfalls sind beide Cantormengen unzusammenhängender Punkte. Falls c in der Nähe des Randes der Mandelbrotmenge liegt, dann ähnelt die entsprechende Juliamenge den Strukturen der Mandelbrot-Menge in der näheren Umgebung von c.

Graphische Darstellung der Julia-Mengen

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Zur graphischen Darstellungen der ausgefüllten Julia-Mengen K_c in der 2-dimensionalen komplexen Zahlenebene wird die Farbe eines Punktes danach gewählt, wie viele Iterationen notwendig waren, bis der kritische Betrag von 2 überschritten wurde. Alle nicht derartig divergenten Punkte werden schwarz dargestellt.

Verallgemeinerung

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Obige Definition kann allgemeiner gefasst werden. Jede Abbildung der komplexen Zahlen auf sich selbst ist geeignet, eine Julia-Menge zu erzeugen. Die Julia-Menge ist dann die kleinste Fixpunktmenge jener Abbildung.

Beispielsweise ist jedes Polynom p(z) vom Grad ≥ 2 über den komplexen Zahlen geeignet. Der Rand der Menge { z | Die Folge $(p^n(z))\_\{\backslash in\backslash mathbb\{N\}\}$ ist beschränkt} ist dann die Julia-Menge von p, kurz J_p.

Man kann auch die ursprüngliche Definition auf die Algebra der Quaternionen ausweiten. Diese ist ein reell 4-dimensionaler Raum, weshalb eine vollständige Darstellung einer Juliamenge darin problematisch ist. Es ist aber möglich, den Schnitt einer solchen Julia-Menge mit einer 3-dimensionalen Hyperebene zu visualisieren.

Weblinks

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• Julia-Fraktale erforschen (Java-Plugin erforderlich)
• Juliamengen in Bewegung (Java-Plugin erforderlich)

Fraktale Geometrie

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