Iteration

Die Iteration (von lateinisch iterare, „wiederholen“) ist ein Begriff aus der numerischen Mathematik und bezeichnet eine Methode, sich der Lösung eines Rechenproblems schrittweise, aber zielgerichtet anzunähern. Sie besteht in der wiederholten Anwendung desselben Rechenverfahrens.

Meistens iteriert man mit Rückkopplung: Die Ergebnisse eines Iterationsschrittes werden als Ausgangswerte des jeweils nächsten Schrittes genommen – bis das Ergebnis (beziehungsweise Veränderung einer Bestandsgröße) zufrieden stellt. Ein Beispiel dafür ist das Newton-Verfahren. Manchmal setzt man den nächsten Schritt aus den Ergebnissen der vorherigen zwei Schritte (oder vor noch mehr Schritten) an, zum Beispiel bei der Regula Falsi.

Es muss anschließend noch bewiesen werden, dass die Iterationsfolge konvergiert und dass der Grenzwert mit der gesuchten Lösung übereinstimmt. Die Geschwindigkeit der Konvergenz ist ein Maß dafür, wie brauchbar die Iterationsmethode ist.

Anwendung der Methode

In Fällen, in denen das Ergebnis nicht geschlossen berechenbar ist (zum Beispiel transzendente Kepler-Gleichung oder allgemein Optimierungsverfahren) oder nachgebessert werden muss (Gleichungssysteme);
Häufig ist eine gute Näherung schon befriedigend. Speziell bei Anwendungsproblemen können die Eingabedaten fehlerbehaftet sein, dann ist die exakte Lösung des gegebenen Problems nicht notwendigerweise besser als ihre Approximation. Das Iterationsverfahren ist also dann attraktiv, wenn es eine gute Näherung schneller liefert, als die Berechnung der exakten Lösung braucht.
Manche Funktionen auf Taschenrechnern oder Fraktale werden beispielsweise iterativ berechnet.

Beispiel: Lösung einer Gleichung

Die Nullstelle einer Gleichung ist iterativ oft rascher gefunden als mit exakten, geschlossenen Formeln:

Probieren, wo die Nullstelle von y = f(x) ungefähr liegt
zweimalige Berechnung von y mit x₁ und x₂
Besserer Wert x₃ mit der Regula Falsi, die ein annähernd gerades Kurvenstück annimmt:
$x_3 = x_2 + y_2 \cdot \frac{x_2 - x_1}{y_2 - y_1}$ und wiederholen, bis genau genug.

Effizienz versus Eleganz

Als Algorithmus ist die Iteration oft effizienter als der elegantere rekursive Weg. Beispiele sind die Berechnungen der Fakultät, der Fibonacci-Folge mit dem Goldenen Schnitt als Grenzwert sowie das Wallissche Produkt mit der Kreiszahl Pi als Grenzwert.

Iteration in der Informatik

Neben der mathematischen iterativen Problemlösung wird in der Informatik auch von Iteration gesprochen, wenn ein Zugriff iterativ, das heißt schrittweise, beziehungsweise wiederholt, auf Datenstrukturen erfolgt. (z. B.: FOR-Schleife) Hierbei steht der Begriff Datenstruktur für Sammlungen von Objekten, Objektreferenzen oder Datentypen. Im Folgenden handelt es sich bei diesen Sammlungen (engl. collections) in der Regel um Arrays, Listen, Schlüssel-Wert-Paare (Maps, Hashes) oder Mengen (Sets).

Des Weiteren kann Iteration in Bezug auf Zonen im Domain Name Service (DNS) als "verweisend" bezeichnet werden.

Iteration in der Softwaretechnik

In der Softwaretechnik bezeichnet eine Iteration einen einzelnen Entwicklungszyklus, je nach Modell beginnend mit Planung, Analyse oder Entwurf, endend mit Implementierung, Test oder Wartung.

Siehe auch