Eine Isometrie ist in der Mathematik eine Funktion, die zwei metrische Räume aufeinander abbildet und dabei die Metrik erhält.

Sind zwei metrische Räume $(M\_1,d\_1)$, $(M\_2,d\_2)$ gegeben, und $f\; :\; M\_1\; \backslash rightarrow\; M\_2$ eine Abbildung mit der Eigenschaft

$d\_2(f(x),f(y))\; =\; d\_1(x,y)$,

dann heißt $f$ eine Isometrie von $M\_1$ nach $M\_2$. Eine solche Abbildung ist stets injektiv. Ist $f$ sogar bijektiv, dann heißt $f$ ein isometrischer Isomorphismus, und die Räume $M\_1$ und $M\_2$ heißen isometrisch isomorph. Andernfalls nennt man $f$ eine isometrische Einbettung von $M\_1$ in $M\_2$.

Jeder metrische Raum ist isometrisch isomorph zu einer abgeschlossenen Teilmenge eines normierten Vektorraums, und jeder vollständige metrische Raum ist isometrisch isomorph zu einer abgeschlossenen Teilmenge eines Banachraums.

Gilt $M\_1\; =\; M\_2$ und $d\_1\; =\; d\_2$ und werden durch $f$ zwei Figuren aufeinander abgebildet, so heißen die Figuren kongruent zueinander. Gilt $M\_1\; =\; M\_2$ und $d\_1\; \backslash neq\; d\_2$, so heißen sie ähnlich; ansonsten spricht man einfach von isometrischen Figuren.

Geometrie

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