Irrationale Zahl

Eine irrationale Zahl ist eine reelle Zahl, die keine rationale Zahl ist. Der Begriff Ratio ist dabei in der Bedeutung Verhältnis gebraucht, nicht in der Bedeutung Vernunft. Eine irrationale Zahl ist also nicht „unvernünftig“, wie der Alltagsgebrauch des Wortes irrational nahelegen würde, sondern sie ist „kein Verhältnis“ (von ganzen Zahlen).

Definition

Eine reelle Zahl heißt irrational, wenn sie nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen dargestellt werden kann (d.h. nicht als

\frac{p}{q}

mit

p, q \in\mathbb{Z}

und

q\neq0

Im Gegensatz zu rationalen Zahlen, die als endliche oder periodische Dezimalzahlen dargestellt werden können, sind irrationale Zahlen solche, deren Dezimaldarstellung nicht abbricht und nicht periodisch ist.

Es gibt zwei Typen von Irrationalzahlen:

Algebraische Zahlen (etwa Wurzeln, z.B. $\sqrt{2}$ , $1+\sqrt$ ^*{5}) und
Transzendente Zahlen (die Kreiszahl π = 3,14159..., die Eulersche Zahl e = 2,71828...).

Den Begriff der irrationalen Zahl führten die alten Griechen ein. Hippasus aus Metapontum, ein Schüler des Pythagoras soll auf Befehl von Pythagoras ertränkt worden sein, nachdem Hippasus die Existenz irrationaler Zahlen (die Wurzel 2) festgestellt hatte. Definitionen, die den heutigen Ansprüchen an Exaktheit genügen, gaben zuerst Georg Cantor und Richard Dedekind an.

Zahlen, deren Irrationalität geklärt ist

Euklid bewies die Irrationalität von $\sqrt{2}$ . Zum Beweis siehe Euklids Beweis für Irrationalität von Wurzel 2.

1761 bewies Johann Heinrich Lambert die Irrationalität von $\pi$
Im Jahr 1979 bewies Apery die Irrationalität von

\zeta(3)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3}.

Beweis der Irrationalität der Eulerschen Zahl $e$

$e^{\pi}$ ist transzendent.

Zahlen, deren Irrationalität ungeklärt ist

Ob die Zahlen π + e und π - e irrational sind ist noch unbekannt. Allerdings weiß man, dass mindestens eine dieser beiden irrational sein muss.

Es ist sogar für kein einziges Paar ganzer, von Null verschiedener Zahlen m und n bekannt, ob mπ + ne irrational ist. Weiterhin ist unbekannt, ob 2^e, π^e, π^√2, π^π, e^e oder die Eulersche Konstante γ = 0,57721... irrational sind.

Die Überabzählbarkeit der irrationalen Zahlen

Die irrationalen Zahlen sind im Gegensatz zu den rationalen Zahlen überabzählbar. Grob gesagt heißt dies: Wenn man jeder natürlichen Zahl eine irrationale Zahl zuordnet, gibt es noch immer unendlich viele irrationale Zahlen, die keiner natürlichen Zahl zugeordnet sind. Dies ist bei den rationalen Zahlen nicht der Fall, siehe Cantors erstes Diagonalargument. Zum Beweis siehe Cantors zweites Diagonalargument.

Streng genommen wird dort die Überabzählbarkeit der Menge der reellen Zahlen $\mathbb{R}$ bewiesen. Da $\mathbb{R}$ sich nun disjunkt in die rationalen und die irrationalen Zahlen zerlegen lässt, die rationalen Zahlen aber „nur“ abzählbar unendlich sind, müssen die irrationalen Zahlen überabzählbar sein.

Es lässt sich allerdings zeigen, dass auch die algebraischen Zahlen, wozu alle Wurzelausdrücke gehören, noch abzählbar sind. Mengen abzählbar vieler reeller Zahlen lassen sich beliebig vergrößern. Man kann sogar abzählbare abgeschlossene algebraische Hüllen mit transzendenten Zahlen bilden. (Ein grundsätzliches Abzählbarkeitsproblem bilden erst spezielle nicht berechenbare Zahlen oder Zahlen die nicht eindeutig bestimmbar sind.)

Siehe auch

Zahlen

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Definition

Zahlen, deren Irrationalität geklärt ist

Zahlen, deren Irrationalität ungeklärt ist

Die Überabzählbarkeit der irrationalen Zahlen

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