Interferenz beschreibt die Überlagerung von zwei oder mehr Wellen nach dem Superpositionsprinzip.

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Bei der Überlagerung von zwei sinusförmigen Wellen mit gleicher Wellenlänge, gleicher Frequenz und gleichem Takt bzw. gleicher Phase (Schwingung) verstärkt sich die Amplitude - man spricht dann von konstruktiver Interferenz; sind die beiden Wellen um 180° phasenverschoben, sodass ein Wellenberg mit einem Wellental zusammenfällt, löschen sie sich gegenseitig aus, wenn ihre Amplitude gleich groß ist - es entsteht eine sogenannte destruktive Interferenz.

In der Akustik erzeugen eng benachbarte Frequenzen bei Interferenz einen Mittelton, der Schwebungen aufweist. Interferenz zweier gegenlaufender Wellen gleicher Frequenz führt zu einer stehenden Welle.

Das Auftreten von Interferenz im physikalischen Experiment gilt als Nachweis für Wellen.

Zum Interferenzbegriff

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Wellen-Interferenz kann mathematisch im einfachsten Fall als Superposition, z. B. als Addition oder Multiplikation der erregenden, laufzeitverzögerten Zeitfunktionen $f(t)$ - gleich welcher Art diese sein mögen - am betrachteten Ort $(x,\; y,\; z)$ aufgefasst werden.
Häufig implizieren wir mit dem Begriff der Interferenz auch Superponierbarkeit und Rückwirkungsfreiheit zwischen den betrachteten Raumpunkten.

Die im Bild unten dargestellte Momentan-Amplitude $f\_i(t)$ des Wellenfeldes der Interferenz zweier Wellen kann für jedes Pixel $i$ und jeden Zeitpunkt $t$ am einfachsten als zeitverschobene Superposition (Addition) der verursachenden Zeitfunktionen $f\_1(t)$ und $f\_2(t)$ dargestellt werden,

$$

f_i(t) = f_1(t-T_{1i}) + f_2(t-T_{2i}) ,

wobei $T\_\{1i\}$ und $T\_\{2i\}$ die Signallaufzeit vom jeweiligen Quellort 1 bzw. 2 zum betrachteten Pixel $i$ darstellt.
Sind die verursachenden Wellen sinusförmig und von gleicher Frequenz, so ist folglich gemäß Additionstheorem die Resultierende an jedem Ort wieder ein Sinus dieser Frequenz mit veränderter Amplitude und Phase.
Genauso interferieren Wellen, die von nicht sinusförmiger Art sind, die zum Beispiel nur numerisch als Werteliste zur Verfügung stehen. Es ist zwar üblich, aber oft unnötig, zur Feldberechnung in den Frequenz-Bereich zu wechseln.
Integriert man einige Zeit über ein Wellenfeld, so beginnen sich Orte konstruktiver Interferenz energetisch abzuheben, ein Bild entsteht als Interferenzintegral über das Wellenfeld. Der Effektivwert steigt an den Orten stärker an, die gleichzeitig von mehreren Wellen überlaufen werden im Vergleich zu Orten, über die verschiedene Wellenberge ungleichzeitig hinweg laufen.

Interferenz abstrakter Wellen

Bestimmte Netzwerke (Nervennetze) besitzen im Gegensatz zu homogenen Netzen keinen kausalen Zusammenhang zwischen Koordinaten und zeitlicher Verschiebung. Eine parametrisch bewegte und verzögerte Zeitfunktion der Form

$$

f = f(t - T - \tau) kann deshalb als verallgemeinerbare, sozusagen 'abstrakte' Welle aufgefaßt werden. Diese Welle besitzt drei unabhängige Zeitparameter $t$, $T$ und $\backslash tau$. Neben der Zeit $t$ wird eine (abstrakte) Welle durch die Parameter Bewegung $T$ sowie durch eine Verzögerung $\backslash tau$ beschrieben.
Werden große Systeme oder Netzwerke betrachtet, in denen viele (diskrete) Wellen interferieren, wird ein Parameter Zeit benötigt, der die Stammfunktion der Welle adresssiert. Als Stammfunktion könnte zum Beispiel eine Glockenkurve dienen. Ein zweiter Parameter, die Bewegung, verschiebt die Stammfunktion durch den Raum, er bewegt sie. Wird nun eine Welle aus irgendeinem Grunde zusätzlich verzögert, benötigen wir noch einen dritten Parameter, der diese Verzögerung angibt. Dieses Zeit-Tripel ist nötig, um Abbildungssysteme in kontinuierlichen und homogenen, wie auch in diskreten oder inhomogenen Wellenräumen (nervliche Netzwerke) einheitlich beschreiben zu können.
Betrachten wir abklingende Wellenfunktionen, so sind weitere Modellterme einzuführen. Eine Dämpfung $d$ kann z. B. ebenfalls in Form einer abstrakten Wellenfunktion zu der zu bedämpfenden Zeitfunktion hinzumultipliziert werden:

$$

f \cdot d = f(t - T - \tau) \ d(t - T - \tau) , wobei die Dämpfung eine andere Stammfunktion besitzen möge, z. B. kann sie als abklingende Exponentialfunktion in einer Form $exp(-kx/v)$ angenommen werden.
Interferenz zwischen verschiedenen Wellen führen wir formal durch Operatoren, wie * oder + ein, zum Beispiel in der Form

$$

f_1 \cdot f_2 ... \cdot f_n oder $f\_1+f\_2\; ...\; +f\_n$. Ein Bezug zur Systemtheorie, zum Beispiel zum Faltungsbegriff der Mathematik wird deutlich, wenn wir die Interferenz zweier (abstrakter) Wellen betrachten. Setzen wir bei einer der Wellen die Parameter Bewegung $T$ und Verzögerung $\backslash tau$ und bei der anderen nur den Parameter Verzögerung $\backslash tau$ zu Null, entdecken wir nach Integration über die Zeit (Interferenzintegral) den (nur etwas anders geschriebenen) Faltungskern

$$

\int\limits_{-\infty}^{\infty} f(t)\ g(T-t)\ dt . Die entstehende, wellentheoretische Deutung der Faltung ist bemerkenswert. Wir haben es dabei mit dem zeitlichen Integral der Interferenz zwischen einer (unbeweglichen) Stammfunktion $f(t)$ mit einer in der Zeit gespiegelten ($-t$) und bewegten Welle ($T$) an einem Ortspunkt zu tun. Auch alle anderen Integraltransformationen lassen sich durch Interferenz zweier abstrakter Wellenfunktionen beschreiben. Damit sind die Integraltransformationen klassisch aus der Interferenz von Wellen ableitbar, als Oberbegriff tauchen in diesem Zusammenhang die Interferenznetzwerke auf, deren theoretische Grundlagen erst in den letzten Jahren aus Untersuchungen zu (diskreten) Interferenzsystemen nervlicher Art hergeleitet werden konnten. Eine Beispielapplikation brachte zwischen 1994 und 1996 das neue Gebiet der akustischen Photo- und Kinematographie hervor, siehe auch akustische Kamera.

Applikationen

Additive Welleninterferenz treffen wir zumeist in homogenen Wellenräumen an (Akustik, Radar, Optik). Multiplikative Verknüpfung hingegen führt über den Begriff diskreter Wellenausbreitung für ultrakurze Impulse direkt zum AND-Gatter der Ultra-Kurzzeitmesser oder zu Verfahren zur Beschleunigung der Prozessoren in der Computertechnik über Laufzeit-Homogenisierung beim Pipelining paralleler Datenpfade.
Diskrete Ausbreitung von Einzelimpulsen bei additiver bis multiplikativer Verknüpfung finden wir bei nervlichen Neuronen. Andrew Packard entdeckte 1995 spezielle Interferenzen bei Wellenausbreitungen im Chromatophorsystem auf der Haut von Tintenfischen.
Optische wie auch akustische Kameras sind ohne Wissen über Interferenz undenkbar. Zugrundeliegende Abbildungen stellen zeitliche Integrale über das Wellenfeld dar. Bei langer Integration heben sich Orte mit hohen Interferenzwerten allmählich ab - ein Bild entsteht. Unvermittelt kommen wir mit dem Begriff der Selbstinterferenz zum Gebiet der (Wellen-) Optik, und mit dem Begriff der Kreuzinterferenz zu auditiven Karten, wie sie aus dem Nervensystem bekannt sind.
Ortskurven von Richtantennen oder Richtmikrofonen stellen vergleichbare Interferenzintegrale des Wellenfeldes dar. Der Interferenzbegriff gestattet hier eine unmittelbare Nähe zum optischen Bild in Form der mathematischen Analogie.
Betrachten wir die vielfältigen Verknüpfungen bei digitalen Filtern, wie FIR oder IIR, so können wir diese zumeist als ein- oder zweidimensionale Interferenznetzwerke ansehen. Eine unmittelbare Nähe zum Neuronensystem des Hirns wird deutlich, hier wie dort werden verzögerte Datenströme durch Addier- und Multiplizierwerke interferenziell verknüpft.

Dimension von Interferenz-Räumen

Anschaulich verknüpfen wir mit dem Interferenzbegriff oft zweidimensionale Welleninterferenzen z. B. von Wasserwellen. In der mathematisch-abstrakten Behandlung kann der Begriff aber sowohl auf eindimensionale Interferenzräume (leitbahngebundene oder diskrete Interferenzräume als Zeitfunktionen), wie auch auf dreidimensionale Interferenzräume (Radar, Radio) erweitert werden. Für den Bereich nervlicher Interferenz sprechen formal-mathematische Indizien inzwischen für hochdimensionale Interferenzräume. Quellpunktzahl $n$ und Raumdimension $d$ stehen in einem festen Zusammenhang: $n\; =\; d\; +\; 1$. Die hohe Dimensionalität wird hier durch räumliche Faltungen und Geschwindigkeitsvariationen der Leitbahnen erreicht.
Natürlich sprechen wir nur dann von Interferenz, wenn die geometrische Wellenlänge der betrachteten Schwingung viel kleiner als die Größe des betrachteten Laufzeitraumes ist. Insbesondere in der Akustik und im Nervensystem erreichen geometrische Wellenlängen schnell die Dimension des Laufzeitraumes. Beispiele:

• Eine akustische Schwingung (Schallwelle) der Frequenz von 100 Hertz besitzt eine Wellenlänge von 3,4 Meter.
• Ein Nervenimpuls der Dauer von einer Millisekunde besitzt bei einer Leitgeschwindigkeit von einem Meter pro Sekunde eine geometrische Ausdehnung von einem Millimeter.
• Meereswogen von fünfzehn Metern Länge, die mit drei Sekunden Abstand das Ufer erreichen, laufen mit fünf Metern pro Sekunde auf das Ufer zu.

Zur Herkunft des Begriffes

Im englischen bedeutet interference die Beeinträchtigung, Störung oder Wechselwirkung. In der Tat ist der Begriff interference im englischsprachigen Raum eher mit elektromagnetischen Störungen verbunden, z. B. dem Pfeifgeräusch bei Funkempfang auf Mittel- oder Kurzwelle, welches durch Mehrfachbelegung von Kanälen und Überreichweiten entsteht (dieses entsteht tatsächlich durch Interferenz !) oder der gegenseitigen Störung elektrischer Geräte (EMI - electromagnetic interference, vgl. EMV)
Historisch wuchs der Begriff in Optik, Radiotechnik, Akustik oder Nervennetz relativ unabhängig voneinander. Optik entwickelte sich über zwei Jahrtausende über geometrische Strahlenbetrachtungen und Pfadintegrale, man ahnte noch nichts von Wellen. Newton beschreibt die Farbzerlegung des Lichts mittels Prisma, sowie Wellenauslöschung bei dünnen Schichten, ohne sie aber richtig zu verstehen. Kurz zuvor hatte Huygens die Wellennatur des Lichts erkannt. Er interpretiert das Brechungsgesetz nicht mehr mit Strahlen (Euklids Lichtstrahl, Fermats kürzester Weg, Newtons Korpuskeltheorie, später Lagranges Wirkungsintegral), sondern mit Wellen.
Die optische Farbzerlegungs-Analogie dirigierte Feldbetrachtungen stets in den Fourier-Raum. Daraus entstand die bis heute dominante Lehrmeinung, Feldberechnungen können am einfachsten im Fourierraum erfolgen. Mit den Gesetzen der Interferenz-Abbildungen konnte erst in den letzten Jahren die mathematische Basis zwischen verschiedenen Fachgebieten unter Rückbezug auf Zeitfunktionen verallgemeinert werden. Hierbei entsteht ein abstrakter Wellenbegriff, der die Zeitfunktion eines Ortes als Äußerung der Superposition von ursächlichen, wie auch immer verursachten, meist gleichförmigen Verschiebungen von Zeitfunktionen betrachtet. Damit ist die Ausbreitung einer Welle (z. B. Licht) in verzögernden Räumen der Wirkung von Zeit adäquat (Konstanz der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum, Minkowski-Raum). Eine Analogie zum Nervensystem wird deutlich: Von einem beliebigen Neuron breitet sich ein Impuls wellenartig in alle Richtungen zu hunderttausenden Synapsen aus. Man entdeckt die Impuls-Welle mittels Autokorrelation an anderen Stellen wieder und kann damit die Geometrie des Wellenfeldes als Funktion der Zeit und die Verteilung der Leitgeschwindigkeit als Funktion des Ortes als sogenannte auto-korrelative Ortskurve des Neurons rekonstruieren.

Spezialfall: Berechnung der Überlagerung zweier Wellen

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... gleicher Frequenz und Amplitude, unterschiedlicher Phase

Die Überlagerung zweier Wellen gleicher Frequenz und Amplitude lässt anhand der trigonometrischen Additionstheoreme berechnen. Werden die beiden Wellen $f\_1(t)$ und $f\_2(t)$ mit der gemeinsamen Frequenz $\backslash omega$, der Amplitude $a$ und den Phasen $\backslash varphi\_1$ und $\backslash varphi\_2$ durch

$$

f_1(t) = a \cdot \sin(\omega \cdot t + \varphi_1) und $f\_2(t)\; =\; a\; \backslash cdot\; \backslash sin(\backslash omega\; \backslash cdot\; t\; +\; \backslash varphi\_2)$
beschrieben, so ergibt sich für die resultierende Überlagerung der Wellen

$f\_1(t)\; +\; f\_2(t)\; =\; a\; \backslash left(\; \backslash sin(\backslash omega\; t\; +\; \backslash varphi\_1)\; +\; \backslash sin(\backslash omega\; t\; +\; \backslash varphi\_2)\; \backslash right)\; =\; 2a\; \backslash cos\backslash left(\backslash frac\{\backslash varphi\_1-\backslash varphi\_2\}\{2\}\backslash right)\; \backslash sin\backslash left(\backslash omega\; t\; +\; \backslash frac\{\backslash varphi\_1\; +\; \backslash varphi\_2\}\{2\}\backslash right),$

d. h. es entsteht eine Welle derselben Frequenz, deren Amplitude von der Differenz der Phasen der beiden ursprünglichen Wellen abhängt und deren Phase das Mittel der Phasen der ursprünglichen Wellen ist. Für gleiche Phasen der Wellen ($\backslash varphi\_1\; =\; \backslash varphi\_2$) wird der Cosinus Eins. Es ergibt sich eine Amplitude von $2a$, d. h. die Amplitude verdoppelt sich gegenüber den Ausgangsamplituden, was konstruktiver Interferenz entspricht. Für eine Phasendifferenz von 180°,($\backslash varphi\_1\; =\; \backslash varphi\_2\; +\; \backslash pi$) wird der Cosinus Null, d. h. die resultierende Welle verschwindet. Dies entspricht destruktiver Interferenz.

... gleicher Frequenz, unterschiedlicher Amplitude und Phase

Für gleiche Frequenz der Wellen, aber unterschiedliche Amplituden und Phasen lässt sich die resultierende Welle mittels Zeigerarithmetik berechnen. Die beiden Wellen $g\_1(t)$ und $g\_2(t)$ besitzen die gemeinsamen Frequenz $\backslash omega$, die Amplituden $a\_1$ und $a\_2$ und die Phasen $\backslash varphi\_1$ und $\backslash varphi\_2$

$g\_1(t)\; =\; a\_1\; \backslash cdot\; \backslash sin(\backslash omega\; t\; +\; \backslash varphi\_1)$ und $g\_2(t)\; =\; a\_2\; \backslash cdot\; \backslash sin(\backslash omega\; t\; +\; \backslash varphi\_2)$

Die resultierende Überlagerung der Wellen hat die Form

$$

g_1(t) + g_2(t) = A \cdot \sin(\omega t + \varphi)
mit der Amplitude

$$

A = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + 2a_1 a_2 \cos(\varphi_1 - \varphi_2) }
und der Phase $\backslash varphi$

$$

\tan \varphi = \frac{a_1 \sin(\varphi_1) + a_2 \sin(\varphi_2)}{a_1 \cos(\varphi_1) + a_2 \cos(\varphi_2)}.

Weißlichtinterferenz

Die Überlagerung kontinuierlich variierender Wellenlänge und Amplitude (Spektrum) erzeugt ein Interferenzmuster nur innerhalb der Kohärenzlänge. In der Weißlichtinterferometrie wird dieses Verhalten ausgenutzt um eine eindeutige Längenmessung zu erhalten. Ein weiteres Anwendungsbeispiel findet sich in der Optische Kohärenztomografie, die dadurch dreidimensionale Strukturen erfassen kann.

Beispiele

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Interferenzfarben

Bubble_interference_(blue).png An dünnen Schichten optisch transparenter Materialien beobachtet man Interferenzfarben. Sie entstehen durch Überlagerung der Strahlen, die an der Oberfläche der Schicht und an der unteren Grenzfläche reflektiert werden.

Im Bild rechts wird Strahl 2 an der Oberfläche zurückgeworfen, Strahl 1 erst nach Passieren der blau dargestellten dünnen Schicht. Er legt einen um die Strecke Δ = X0Y längeren Weg zurück. Ist Δ ein ungerades Vielfaches der halben Wellenlänge λ, d. h.

Δ = (2n+1) · λ/2 für n = 0, 1, ...

löschen sich die Strahlen 1 und 2 aus. Im Bildbeispiel ist es blaues Licht, das destruktiv interferiert. Das Licht anderer Wellenlängen bleibt erhalten. Strahlt man weißes Licht ein, wird es ohne Blauanteil reflektiert. Man sieht gelbes Licht, die Komplementärfarbe zu Blau.

Beispiele für das Auftreten von Interferenzfarben nennt der Artikel Newton'sche Ringe.

Überlagerung von Wellen

Interferenz.jpg

Die Abbildung links zeigt die Interferenz von zwei kreisförmigen Wellengruppen gleicher Wellenlänge und Amplitude. Die Kreuze markieren die Lage der Quellen, die Kreise die Maxima der jeweiligen Teilwelle. An weißen Stellen tritt konstruktive Interferenz, in positiver Richtung, an schwarzen konstruktive Interferenz, in negativer Richtung, auf. An den grauen Stellen herrscht destruktive Interferenz. Es ist zu erkennen, dass die Minima auf einer Hyperbel-Schar liegen, deren Brennpunkte identisch den Quellorten der Wellen sind. Man spricht deshalb bei zwei Punktquellen von einer hyperbolischen Interferenz. Die Hyperbel ist dabei die Kurve aller Punkte, die zu den zwei Quellorten die Laufzeitdifferenz t = λ/2 haben. Der Scheitelpunktabstand $2a$ entspricht der Laufzeitdifferenz $2a\; =\; (T\_1\; -\; T\_2)\; v$, wenn $T\_1$ und $T\_2$ den Zeitbezug der beiden speisenden Zeitfunktionen darstellen und $v$ die mediale Ausbreitungsgeschwindigkeit darstellt.

Bemerkungen

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Auf Interferenz beruht die begrenzte Auflösung optischer Geräte auf Grund der Beugung (Diffraktion).

Eine weite Anwendung findet die Interferenz im optischen Gitter, das zur Spektralzerlegung von Strahlung benutzt wird, beispielsweise in Monochromatoren in Spektrometern.

Ein bekanntes Experiment, das die Wirkung der Interferenz verdeutlicht und oftmals zur Einleitung in die Quantenmechanik verwendet wird, ist das Doppelspaltexperiment (Thomas Young 1802). Dabei wird vor einer möglichst kompakten Elektronen- oder Photonenquelle ein Schirm mit zwei Spalten aufgestellt. Dahinter befindet sich ein Detektor bzw. weiterer Schirm, auf dem die Elektronen oder Photonen nachgewiesen werden. Ist nun bei der Durchführung des Versuchs ein Spalt verdeckt, so zeigt sich das erwartete Phänomen: beim Anwenden von Photonen ein Lichtstreifen auf dem letzten Schirm. Öffnet man nun aber beide Spalten, so entstehen nicht etwa zwei Lichtstreifen, sondern viele nebeneinander. Dies ist ebenfalls auf Interferenz zurückzuführen, da sich die Wellen des Lichts wie oben beschrieben überlagern und somit eine abwechselnde Anordnung von Licht- und Schattenstreifen bilden.

In der Messtechnik werden Interferometer eingesetzt. Diese nutzen Interferenzerscheinungen zur Messung von Längen oder Phasenverschiebungen.

Weblinks

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• Javaapplet zur Veranschaulichung
• Graphische Lösung von Überlagerungen
• Simulationen mit Zeitfunktionen

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