Die Integralrechnung ist neben der Differentialrechnung der wichtigste Zweig der mathematischen Disziplin der Analysis. Das Integral ordnet einer Funktion für einen gegebenen Integrationsbereich einen Zahlwert zu. Dieser Vorgang heißt Integration.

Integral as region under curve.png

Das Integral wird im zweidimensionalen Koordinatensystem als die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion und der $x$-Achse gedeutet, bei Funktionen mehrerer Veränderlicher entspricht es einem Volumen.

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, auch Fundamentalsatz der Analysis genannt, besagt, dass Integrale aus Stammfunktionen berechnet werden können. Das Bestimmen von Stammfunktionen ist die inverse Aufgabe (das heißt Gegenteil) zur Differentiation.

Im Gegensatz zur Differentiation existiert allerdings für die Integration auch elementarer Funktionen kein einfacher und kein alle Fälle abdeckender Algorithmus. Integration erfordert trainiertes Raten, Benutzung spezieller Umformungen (Integration durch Substitution, Partielle Integration) oder/und Nachschlagen in einer Tabelle. Oft erfolgt die Integration auch nur näherungsweise als so genannte numerische Quadratur. In der Technik benutzt man zur Integration bzw. Flächenbestimmung so genannte Planimeter, bei welchen die Summierung der Flächenelemente kontinuierlich erfolgt. Der Zahlenwert der so bestimmten Fläche kann an einem Zählwerk abgelesen werden, welches zur Erhöhung der Ablesegenauigkeit mit einem Nonius versehen ist.

Integral für kompakte Intervalle

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„Kompakt“ bedeutet hier, dass nur Funktionen auf Intervallen der Form $*$ betrachtet werden. Offene oder unbeschränkte Intervalle sind nicht zugelassen.

Motivation

Reduktion komplizierterer Flächeninhalte auf Integrale

Ein Ziel der Integralrechnung ist die Berechnung von Flächeninhalten krummlinig begrenzter Bereiche der Ebene. In den meisten in der Praxis auftretenden Fällen sind derartige Flächen beschrieben durch zwei Funktionen $f,g$ auf einem endlichen Intervall $*$, deren Graphen die Fläche begrenzen (linkes Bild).

Integral difference.png

Der Flächeninhalt der schraffierten Fläche im linken Bild ist gleich der Differenz der schraffierten Bereiche in den beiden rechten Bildern. Es genügt also, sich auf den einfacheren Fall einer Fläche zu beschränken, die von

• dem Graphen einer Funktion
• zwei vertikalen Geraden $x=a$ und $x=b$
• sowie der $x$-Achse

begrenzt wird.

Aufgrund seiner fundamentalen Bedeutung erhält dieser Typ Flächeninhalt eine spezielle Bezeichnung:

$\backslash int\_a^b\; f(x)\backslash ,\backslash mathrm\; dx,$

gelesen als Integral von $a$ bis $b$ über (oder: von) $f(x)\backslash ,\backslash mathrm\; dx$.

Integrale negativer Funktionen

Verschiebt man den Graphen einer Funktion in Richtung der $y$-Achse um ein Stück $c$, so kommt zu der betrachteten Fläche ein Rechteck hinzu:

Integral shift.png

Das Integral ändert sich um den Flächeninhalt dieses Rechtecks der Breite $b-a$ und der Höhe $c$, in Formeln

$\backslash int\_a^b(f(x)+c)\backslash ,\backslash mathrm\; dx=\backslash int\_a^b\; f(x)\backslash ,\backslash mathrm\; dx+(b-a)\backslash cdot\; c.$

Betrachtet man eine nach unten beschränkte Funktion, deren Werte negativ sind, so kann man stets ein $c$ finden, so dass die Werte von $f(x)+c$ alle positiv sind:

Integral with negative integrand.png

Mit der vorhergehenden Überlegung erhält man

$\backslash int\_a^bf(x)\backslash ,\backslash mathrm\; dx=\backslash int\_a^b(f(x)+c)\backslash ,\backslash mathrm\; dx-(b-a)\backslash cdot\; c,$

das heißt, das Integral von $f$ ist die Differenz der Flächeninhalte des weißen Bereichs in der Mitte und dem umgebenden Rechteck. Diese Differenz ist aber negativ, das heißt, soll die obige Formel für beliebige Funktionen korrekt sein, so muss man Flächen unterhalb der $x$-Achse negativ zählen. Man spricht deshalb von einem „orientierten“ Flächeninhalt.

Wenn eine Nullstelle im zu untersuchenden Intervall vorliegt, gibt das Integral nicht mehr den Flächeninhalt an, sondern stellt nur noch eine Rechenregel dar. Benötigt man in einem solchen Intervall die Fläche zwischen $x$-Achse und Graph der Funktion, so muss das Integral aufgeteilt werden.

Das Prinzip von Cavalieri und die Additivität des Integrals

Hauptartikel: Prinzip von Cavalieri

Axiomatischer Zugang

Es ist nicht einfach, den Begriff des Flächeninhaltes mathematisch präzise zu fassen. Im Lauf der Zeit wurden dafür verschiedene Konzepte entwickelt. Für die meisten Anwendungen sind deren Details jedoch unerheblich, da sie unter anderem auf der Klasse der stetigen Funktionen übereinstimmen. Im folgenden werden einige Eigenschaften des Integrals aufgelistet, die oben motiviert wurden und unabhängig von der genauen Konstruktion für jedes Integral gelten. Außerdem legen sie das Integral stetiger Funktionen eindeutig fest.

Es seien

$\backslash mathcal\; F\backslash to\backslash mathbb\; R,$

geschrieben

$f\backslash mapsto\backslash int\_a^b\; f(x)\backslash ,\backslash mathrm\; dx,$

mit den folgenden Eigenschaften:

• Linearität: Für Funktionen $f,g\backslash in\backslash mathcal\; F$ und $\backslash lambda\backslash in\backslash mathbb\; R$ gilt
  • $\backslash int\_a^b(f(x)+g(x))\backslash ,\backslash mathrm\; dx=\backslash int\_a^b\; f(x)\backslash ,\backslash mathrm\; dx+\backslash int\_a^b\; g(x)\backslash ,\backslash mathrm\; dx$
  • $\backslash int\_a^b(\backslash lambda\; f(x))\backslash ,\backslash mathrm\; dx\; =\; \backslash lambda\backslash cdot\backslash int\_a^b\; f(x)\backslash ,\backslash mathrm\; dx$
• Monotonie: Ist $f(x)\backslash geq0$ für alle $x\backslash in*$, so ist

  $\backslash int\_a^b\; f(x)\backslash ,\backslash mathrm\; dx\backslash geq0.$

• Integral der charakteristischen Funktion eines Intervalles: Ist $I\backslash subseteq*$ ein Intervall, und ist

so ist

$\backslash int\_a^b\; \backslash chi\_I(x)\backslash ,\backslash mathrm\; dx$

gleich der Länge des Intervalles $I$.

Bezeichnungen

• $a$ und $b$ heißen Integrationsgrenzen.
• $f(x)$ heißt Integrand.
• Die symbolische Variable $x$ heißt Integrationsvariable. Ist $x$ die Integrationsvariable, so spricht man auch von Integration über $x$. Die Integrationsvariable ist austauschbar, statt

$\backslash int\_a^b\; f(x)\backslash ,\backslash mathrm\; dx$

kann man genauso gut

$\backslash int\_a^b\; f(t)\backslash ,\backslash mathrm\; dt$ oder $\backslash int\_a^b\; f(\backslash xi)\backslash ,\backslash mathrm\; d\backslash xi$

schreiben. Um Missverständnisse zu vermeiden sollte darauf geachtet werden, dass das für die Integrationsvariable verwendete Zeichen nicht schon mit einer anderen Bedeutung belegt ist. In dem obigen Beispiel wäre es schlecht, die Buchstaben $a$ oder $b$ zu verwenden, da sie bereits als Bezeichner für die Integrationsgrenzen fungieren.

• Der Bestandteil „$\backslash mathrm\; dx$“ wird Differential genannt, hat aber in diesem Kontext meist nur symbolische Bedeutung. Am Differential liest man die Integrationsvariable ab.

Herkunft der Notation

Die symbolische Schreibweise von Integralen geht auf den Mitentdecker der Differential- und Integralrechnung, Gottfried Wilhelm Leibniz, zurück. Das Integralzeichen ∫ ist aus dem Buchstaben S für lateinisch summa abgeleitet. Die multiplikativ zu lesende Notation $f(x)\backslash ;\backslash mathrm\{d\}x$ deutet an, wie sich das Integral aus Streifen der Höhe $f(x)$ und der infinitesimalen Breite $\backslash mathrm\{d\}x$ zusammensetzt.

Alternative Schreibweise in der Physik

In der Physik hat sich eine leicht andere Schreibweise für Integrale durchgesetzt. Dort wird statt $\backslash int\_a^b\; f(x)\backslash ,\backslash mathrm\; dx$ meistens $\backslash int\_a^b\; \backslash mathrm\; dx\; f(x)$ geschrieben. Dies hat zwar den Nachteil, dass die zu integrierende Funktion $f(x)$ nicht mehr durch $\backslash int\_a^b$ und $\backslash mathrm\; dx$ eingeklammert wird, jedoch auch einige Vorteile:

• Der Ausdruck $\backslash int\_a^b\; \backslash mathrm\; dx$ hebt hervor, dass das Integral ein linearer Operator ist, der auf alles rechts von ihm wirkt.
• Oft tauchen in der Physik Integrale auf, bei denen die zu integrierende Funktion mehrere Zeilen lang ist oder es wird über mehrere Unbekannte $x\_1,x\_2,\backslash ldots,x\_n$ integriert. Dann weiß man bei der Schreibweise $\backslash int\_a^b\; \backslash mathrm\; dx\; f(x)$ schon zu Beginn des Integrals, welche Variablen überhaupt und über welche Grenzen integriert werden. Ferner ist dann die Zuweisung von Variablen zu Grenzen einfacher.

Beispiel:

$\backslash int\_\{a\_1\}^\{a\_2\}\backslash mathrm\; dt\; \backslash int\_\{b\_1\}^\{b\_2\}\backslash mathrm\; dx\_1\backslash int\_\{c\_1\}^\{c\_2\}\backslash mathrm\; dx\_2\backslash int\_\{d\_1\}^\{d\_2\}\; \backslash mathrm\; dx\_3\; \backslash ,f(x\_1,x\_2,x\_3,t)$

statt

$\backslash int\_\{a\_1\}^\{a\_2\}\backslash int\_\{b\_1\}^\{b\_2\}\backslash int\_\{c\_1\}^\{c\_2\}\backslash int\_\{d\_1\}^\{d\_2\}\; f(x\_1,x\_2,x\_3,t)\backslash ,\backslash mathrm\; dx\_3\backslash mathrm\; dx\_2\backslash mathrm\; dx\_1\backslash mathrm\; dt$

Einfache Folgerungen aus den Axiomen

• Ist $f(x)\backslash leq\; g(x)$ für alle $a\backslash leq\; x\backslash leq\; b$, so ist

$\backslash int\_a^bf(x)\backslash ,\backslash mathrm\; dx\backslash leq\backslash int\_a^bg(x)\backslash ,\backslash mathrm\; dx.$

• Bezeichnet man mit $\backslash |f\backslash |\_\backslash infty$ das Supremum von $f$ auf $*$, so gilt

$\backslash left|\backslash int\_a^b\; f(x)\backslash ,\backslash mathrm\; dx\backslash right|\backslash leq\; (b-a)\backslash cdot\backslash |f\backslash |\_\backslash infty.$

• Ist für alle $a\backslash leq\; x\backslash leq\; b$ mit einer festen Zahl $\backslash varepsilon>0$, so gilt

$\backslash left|\backslash int\_a^b\; f(x)\backslash ,\backslash mathrm\; dx-\backslash int\_a^b\; g(x)\backslash ,\backslash mathrm\; dx\; \backslash right|\backslash leq(b-a)\backslash cdot\backslash varepsilon.$

Daraus folgt: Ist $f\_n$ eine Folge von integrierbaren Funktionen, die gleichmäßig gegen eine (integrierbare) Funktion $f$ konvergiert, so ist

$\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash int\_a^b\; f\_n(x)\backslash ,\backslash mathrm\; dx=\backslash int\_a^b\; f(x)\backslash ,\backslash mathrm\; dx.$

Mit anderen Worten: Das Integral ist ein stetiges Funktional für die Supremumsnorm.

• Integrale von Treppenfunktionen: Ist $f$ eine Treppenfunktion, das heißt, ist $*$ eine disjunkte Vereinigung von Intervallen $I\_k$ der Längen $L\_k$, so dass $f$ auf $I\_k$ konstant mit Wert $c\_k$ ist, so gilt

$\backslash int\_a^bf(x)\backslash ,\backslash mathrm\; dx=\backslash sum\_\{k=1\}^n\; L\_k\backslash cdot\; c\_k,$

also anschaulich gleich der Summe der Flächeninhalte der Rechtecke unter dem Funktionsgraphen von $f$.

Stammfunktionen und der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

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In gewisser Hinsicht ist Integration die Umkehrung der Differentiation.

Um dies zu präzisieren, wird der Begriff der Stammfunktion benötigt: Ist $f$ eine Funktion, so heißt eine Funktion $F$ eine Stammfunktion von $f$, wenn die Ableitung von $F$ gleich $f$ ist:

$F\text{'}\; =\; f.\backslash ,$

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung stellt die Beziehung zwischen Stammfunktionen und Integralen her. Er besagt: Ist $f$ eine stetige Funktion auf einem Intervall $*$, und ist $F$ eine Stammfunktion von $f$, so gilt

$\backslash int\_a^bf(x)\backslash ,\backslash mathrm\; dx=F(b)\; -\; F(a).$

Die rechte Seite wird oft abkürzend als

oder $F(x)\backslash Big|\_a^b$ o.ä.

geschrieben.

Dieser Zusammenhang ist die hauptsächliche Methode zur expliziten Auswertung von Integralen. Die Schwierigkeit liegt meist im Auffinden einer Stammfunktion.

Die bloße Existenz ist theoretisch gesichert: Die Integralfunktion

$x\backslash mapsto\backslash int\_a^xf(t)\backslash ,\backslash mathrm\; dt$

ist eine Stammfunktion von $f$.

Eigenschaften von Stammfunktionen

• Man kann zu einer Stammfunktion eine Konstante addieren und erhält wieder eine Stammfunktion: Ist $F$ eine Stammfunktion zu einer Funktion $f$, und ist $c\backslash in\backslash mathbb\; R$ eine Konstante, so ist $(F+c)\text{'}=F\text{'}+0=F\text{'}=f.$
• Zwei Stammfunktionen derselben Funktion unterscheiden sich um eine Konstante: Sind $F$ und $G$ Stammfunktionen derselben Funktion $f$, so ist $(F-G)\text{'}=F\text{'}-G\text{'}=f-f=0$, also ist die Differenz $F-G$ eine Konstante.

Unbestimmtes Integral

Eine Stammfunktion wird auch als unbestimmtes Integral von $f(x)$ bezeichnet – manchmal ist damit aber auch die Menge aller Stammfunktionen gemeint. Ist $F(x)$ eine Stammfunktion, so schreibt man häufig unpräzise

$\backslash int\; f(x)\backslash ,\backslash mathrm\{d\}x\; =\; F(x)\; +\; C,$

um anzudeuten, dass jede Stammfunktion von $f$ die Form $F(x)+C$ mit einer Konstante $C$ hat.

Man beachte, dass die Schreibweise

$\backslash int\; f(x)\backslash ,\backslash mathrm\; dx$

jedoch auch häufig in Formeln benutzt wird, um anzudeuten, dass Gleichungen für beliebige, konsistent gewählte Grenzen gelten; beispielsweise ist mit

$\backslash int\; cf(x)\backslash ,\backslash mathrm\; dx=c\backslash int\; f(x)\backslash ,\backslash mathrm\; dx$

gemeint, dass

$\backslash int\_a^b\; cf(x)\backslash ,\backslash mathrm\; dx=c\backslash int\_a^b\; f(x)\backslash ,\backslash mathrm\; dx$

für beliebige $a,b$ gilt.

Bestimmung von Stammfunktionen

siehe dazu den Artikel: Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen

Im Gegensatz zur Ableitungsfunktion ist die explizite Berechnung einer Stammfunktion bei vielen Funktionen sehr schwierig oder nicht möglich.

Oft schlägt man Integrale deshalb in Tabellenwerken nach. Zur händischen Berechnung einer Stammfunktion ist häufig die geschickte Anwendung der folgenden Standardtechniken hilfreich.

Partielle Integration

Hauptartikel: Partielle Integration

Die partielle Integration ist die Umkehrung der Produktregel der Differentialrechnung. Sie lautet:

$\backslash int\_a^b\; f(x)\backslash cdot\; g\text{'}(x)\backslash ,\backslash mathrm\{d\}x$

= g(x)_{a}^{b} - \int_a^b f'(x)\cdot g(x)\,\mathrm{d}x

Diese Regel ist häufig dann von Vorteil, wenn durch Ableiten von $f(x)$ eine einfachere Funktion entsteht.

Beispiel:

$\backslash int\_a^b\; x\; \backslash cdot\; \backslash ln\; \backslash left(x\; \backslash right)\; \backslash ,\backslash mathrm\{d\}x$

Setzt man

$f(x)\; =\; \backslash ln\; \backslash left(x\backslash right)\; \backslash ,$ und $g\text{'}(x)=x\; \backslash ,$,

so ist

$f\; \text{'}(x)\; =\; \{1\; \backslash over\; x\}\; \backslash ,$ und $g(x)=\{x^2\; \backslash over\; 2\}\; \backslash ,$

und man erhält

{| $\backslash int\_a^b\; x\; \backslash cdot\; \backslash ln\; \backslash left(\; x\backslash right)\; \backslash ,\backslash mathrm\{d\}x$ $=\; \{b^2\; \backslash over\; 2\}\; \backslash cdot\; \backslash ln\; \backslash left(\; b\; \backslash right)\; -\; \{a^2\; \backslash over\; 2\}\; \backslash cdot\; \backslash ln\; \backslash left(a\backslash right)$

- \int_a^b {x^2 \over 2} \cdot {1 \over x} \,\mathrm{d}x $=\; \{b^2\; \backslash over\; 2\}\; \backslash cdot\; \backslash left(\backslash ln\; \backslash left(\; b\backslash right)\; -\; \{1\; \backslash over\; 2\}\; \backslash right)\; -\; \{a^2\backslash over\; 2\}\; \backslash cdot\; \backslash left(\backslash ln\; \backslash left(\; a\; \backslash right)\; -\; \{1\; \backslash over\; 2\}\; \backslash right)\; \backslash ;$

Integration durch Substitution

Hauptartikel: Integration durch Substitution

Die Substitutionsregel ist ein wichtiges Hilfsmittel um einige schwierige Integrale zu berechnen, da sie bestimmte Änderungen der zu integrierenden Funktion bei gleichzeitiger Änderung der Integrationsgrenzen erlaubt. Sie ist das Gegenstück zur Kettenregel in der Differentialrechnung.

Sei $\backslash phi(x)\; =\; f(\; g(x)\; )\; \backslash cdot\; g\text{'}(x)$ und $F$ eine Stammfunktion von $f$, so ist $\backslash Phi(x)\; =\; F(\; g(x)\; )\; \backslash ,$ eine Stammfunktion von $\backslash phi\; \backslash ,$, denn es gilt:

$\backslash frac\{\backslash phi(x)\}\{g\text{'}(x)\}\; \backslash ,$	$=\; f(\; g(x)\; ),\; \backslash ,$	$z\; \backslash ,$	$=\; g(x)\; \backslash ,$
	$=\; f(\; z\; ),\; \backslash ,$	$\backslash mathrm\{d\}z\; \backslash ,$	$=\; g\text{'}(x)\backslash ,\backslash mathrm\{d\}x$

$\backslash int\_a^b\; f(\; g(x)\; )\; \backslash cdot\; g\text{'}(x)\backslash ,\backslash mathrm\{d\}x\; =\; \backslash int\_\{g(a)\}^\{g(b)\}\; f(\; z\; )\; \backslash cdot\; g\text{'}(x)\; \backslash frac\{\backslash ,\backslash mathrm\{d\}z\}\{g\text{'}(x)\}\; =\; \backslash int\_\{g(a)\}^\{g(b)\}\; f(z)\backslash ,\backslash mathrm\{d\}z=F(z)=\backslash Phi(x)$

Vereinfachung durch Partialbruchzerlegung

Bei gebrochenrationalen Funktionen führt häufig eine Polynomdivision oder eine Partialbruchzerlegung zu einer Umformung der Funktion, die es erlaubt, eine der Integrationsregeln anzuwenden.

Numerische Berechnung von Integralen

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Oft ist es schwierig oder nicht möglich, eine Stammfunktion anzugeben. Allerdings reicht es in vielen Fällen auch aus, die Fläche näherungsweise zu berechnen. Man spricht dann von numerischer Quadratur. Verfahren zur numerischen Quadratur bauen auf einer Approximation der Funktion durch einfacher integrierbare Funktionen auf, zum Beispiel durch Polynome. Die Trapezregel oder auch die Simpsonsche Formel (deren Spezialfall als Keplersche Fassregel bekannt ist) sind Beispiele dafür.

Anwendungen

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Mittelwerte stetiger Funktionen

Um den Mittelwert $m$ einer gegebenen stetigen Funktion $f(x)$ auf einem Intervall $*$zu berechnen, benutzt man die Formel

$m=\backslash frac\{1\}\{b-a\}\backslash int\_a^b\; f(x)\; \backslash mathrm\{d\}x.$

Man sieht leicht, dass diese Definition für Treppenfunktionen mit dem üblichen Mittelwertbegriff übereinstimmt, und daher diese Verallgemeinerung sinnvoll ist.

Der Mittelwertsatz der Integralrechnung besagt, dass dieser Mittelwert von einer stetigen Funktion auch tatsächlich angenommen wird.

Beispiel für den Integralbegriff in der Physik

Ein physikalisches Phänomen, an dem der Integralbegriff erklärt werden kann, ist der freie Fall eines Körpers im Schwerefeld der Erde. Bekanntlich beträgt die Beschleunigung $g$ des freien Falls in Mitteleuropa ca. $9\{,\}81\; \backslash mathrm\{m\}/\backslash mathrm\{s\}^2$. Die Geschwindigkeit $v$ eines Körpers zur Zeit $t$ lässt sich daher durch die Formel

$v\; =\; g\; \backslash cdot\; t\backslash ,$

ausdrücken.

Nun soll aber die Wegstrecke $l$ berechnet werden, die der fallende Körper innerhalb einer bestimmten Zeit $T$ zurücklegt. Das Problem hierbei ist, dass die Geschwindigkeit $v$ des Körpers mit der Zeit zunimmt. Um das Problem zu lösen, nimmt man an, dass für eine kurze Zeitspanne $\backslash Delta\; t$ die Geschwindigkeit $v$, die sich aus der Zeit $g\; \backslash cdot\; t$ ergibt, konstant bleibt.

Die Zunahme der Wegstrecke innerhalb des kurzen Zeitraums $\backslash Delta\; t$ beträgt daher

$\backslash Delta\; l\; =\; g\; \backslash cdot\; t\backslash ,\backslash cdot\backslash Delta\; t$

Die gesamte Wegstecke lässt sich daher als

$l\; =\; \backslash sum\; \backslash left(\; g\; \backslash cdot\; t\; \backslash ,\backslash cdot\backslash Delta\; t\; \backslash right)$

ausdrücken.

Wenn man nun die Zeitdifferenz $\backslash Delta\; t$ gegen Null streben lässt, erhält man

$l\; =\; \backslash lim\_\{\backslash Delta\; t\; \backslash to\; 0\}\; \backslash left(\; \backslash sum\; \backslash left(\; g\; \backslash cdot\; t\; \backslash ,\backslash cdot\; \backslash Delta\; t\backslash right)\backslash right)\; =\; \backslash int\_0^T\; \backslash left(\; g\; \backslash cdot\; t\backslash ;\backslash mathrm\{d\}t\backslash ,\backslash right)\; =\backslash ,\; \backslash frac\; g\; 2\; \backslash cdot\; T^2$

Umgekehrt lässt sich aus der Bewegungsgleichung

$l\; =\; \backslash frac\; g\; 2\; \backslash cdot\; t^2\backslash ,$

durch Differenzieren die Gleichung

$v\; =\; g\; \backslash cdot\; t\backslash ,$

für die Geschwindigkeit und durch nochmaliges Differenzieren

$a\; =\; g\backslash ,$

für die Beschleunigung herleiten.

Konstruktionen

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Cauchy-Integral

Eine Regelfunktion ist eine Funktion, die sich gleichmäßig durch Treppenfunktionen approximieren lässt. Aufgrund der erwähnten Kompatibilität des Integrals mit gleichmäßigen Limites kann man für eine Regelfunktion $f$, die gleichmäßiger Limes einer Folge $t\_n$ von Treppenfunktionen ist, das Integral definieren als

$\backslash int\_a^b\; f(x)\backslash ,\backslash mathrm\; dx=\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash int\_a^b\; t\_n(x)\backslash ,\backslash mathrm\; dx,$

wobei das Integral für Treppenfunktionen durch die oben angegebene Formel definiert wird.

Die Klasse der Regelfunktionen umfasst alle stetigen Funktionen und alle monotonen Funktionen, ebenso alle Funktionen $f$, für die sich $*$ in endlich viele Intervalle $I\_k$ unterteilen lässt, so dass $f$ auf $I\_k$ die Einschränkung einer stetigen oder monotonen Funktion auf dem abgeschlossenen Intervall $\backslash bar\; I\_k$ ist. Für viele praktische Zwecke ist diese Integralkonstruktion völlig ausreichend.

Riemann-Integral

Allgemeines

Hauptartikel: Riemann-Integral

Ein Ansatz zur Berechnung des Integrals ist die Approximation der zu integrierenden Funktion durch eine Treppenfunktion. Die Fläche wird durch die Summe der einzelnen Rechtecke unter den einzelnen „Treppenstufen“ angenähert. Zu jeder Zerlegung des Integrationsintervalls kann man dazu einen beliebigen Wert jedes Teilintervalls als Höhe der Stufe wählen. Dies sind die nach dem deutschen Mathematiker Bernhard Riemann bezeichneten Riemann-Summen. Wählt man in jedem Teilintervall der Zerlegung gerade das Supremum der Funktion als Zwischenwert, so ergibt sich die Obersumme, mit dem Infimum die Untersumme.

Die Differenz zwischen Ober- und Untersumme lässt sich durch das Produkt aus der – ebenfalls von Riemann eingeführten – totalen Variation und der maximalen Intervalllänge in der Zerlegung abschätzen. Somit konvergieren die Riemannschen Zwischensummen gegen einen bestimmtes Integral genannten Wert, wenn die Breite der Rechtecke gegen Null strebt und die totale Variation endlich ist.

Dieser Grenzwert kann nicht für alle Funktionen oder Integralgrenzen explizit berechnet werden.

Funktionen beschränkter totaler Variation sind alle stetigen und stückweise stetigen, sowie alle monotonen Funktionen. Umgekehrt kann man zeigen, dass es für solche Funktionen nur abzählbar viele Unstetigkeitsstellen geben kann, und dass deren Anzahl für jede Sprunghöhe endlich ist.

Verallgemeinerung: Integration bei nichtendlicher totaler Variation

Das oben beschriebene Verfahren wird als Riemann-Integration bezeichnet. Das Riemann-Integral kann nicht bei Integrandfunktionen unendlicher Schwankung, zum Beispiel Funktionen mit oszillierenden Singularitäten wie $\backslash sin\backslash left(\backslash frac1\{x^2\}\backslash right)$ oder der Indexfunktion der rationalen Zahlen im Intervall ^* angewendet werden. Deshalb wurden erweiterte Integralbegriffe von Henri Leon Lebesgue (Lebesgue-Integral), Thomas Jean Stieltjes (Stieltjesintegral) und Alfred Haar eingeführt, die für stetige Integranden das Riemann-Integral reproduzieren.

Lebesgue-Integral

Hauptartikel: Lebesgue-Integral

Integrale für nicht kompakte Intervalle. Uneigentliche Integrale

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Das Integral war oben stets über kompakten Mengen definiert, also beschränkten und abgeschlossenen Intervallen, wo die Integrationsgrenzen Teil der Definitionsmenge sind. Die Verallgemeinerung auf unbeschränkte Definitionsbereiche oder Funktionen mit Definitionslücken verläuft je nach gewählter Konstruktion etwas unterschiedlich. In der Lebesgue-Theorie ergibt sich die Verallgemeinerung vollkommen natürlich, in der Riemann-Theorie muss man mit Grenzwerten von Integralen über kompakte Bereiche arbeiten; man spricht in diesem Zusammenhang von uneigentlichen Integralen.

Beispiele sind das Integral

$\backslash int\_\{-\backslash infty\}^\backslash infty\; e^\{-x^2\}\backslash ,\backslash mathrm\{d\}x$,

wo beide Grenzen nicht in die Stammfunktion eingesetzt werden können oder

$\backslash int\_0^1\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\; x\}\backslash ,\backslash mathrm\{d\}x$,

wo der Integrand für 0 nicht definiert ist. Die uneigentlichen Integrale werden dann wie folgt definiert, wobei wir annehmen, dass der Integrand an der Stelle b nicht ausgewertet werden kann:

$A\; =\; \backslash int\_a^b\; f(x)\backslash ,\backslash mathrm\{d\}x\; =\; \backslash lim\_\{b\text{'}\backslash to\; b\}\; \backslash int\_a^\{b\text{'}\}\; f(x)\backslash ,\backslash mathrm\{d\}x$,

falls der Grenzwert existiert.

Es wird also wie im eigentlichen Fall die Stammfunktion berechnet, das Integral ausgewertet und dann der Grenzwert für $b\text{'}\backslash to\; b$ berechnet. Sind beide Grenzen uneigentlich wie bei der Gaußsche Glockenkurve, wird das Integral in zwei Teile aufgeteilt und die obigen Schritte für beide Teile durchgeführt.

Mehrdimensionale Integration

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Integration von vektorwertigen Funktionen

Die Integration von Funktionen $*\backslash to\backslash mathbb\; R^m$ erfolgt komponentenweise.

Wegintegrale

Hauptartikel: siehe Kurvenintegral

Reelle Wegintegrale und Länge einer Kurve

Ist $\backslash gamma\backslash colon*\backslash to\backslash mathbb\; R^n$ ein Weg, also eine stetige Abbildung, und $f\backslash colon\backslash mathbb\; R^n\backslash to\backslash mathbb\; R^m$ eine Funktion, so ist das Wegintegral von $f$ entlang $\backslash gamma$ definiert als

$\backslash int\_\backslash gamma\; f(x)\backslash ,\backslash mathrm\; dx=\backslash int\_a^b\; f(\backslash gamma(t))\backslash ,\backslash |\backslash dot\backslash gamma(t)\backslash |\backslash ,\backslash mathrm\; dt.$

Ist f = 1, so erhalten wir aus der obigen Formel die Länge der Kurve $\backslash gamma\backslash colon*\backslash to\backslash mathbb\; R^2$ (physikalisch gesprochen) als das Integral der Geschwindigkeit über die Zeit:

$L(\backslash gamma)=\backslash int\_a^b\backslash |\backslash dot\backslash gamma(t)\backslash |\backslash ,\backslash mathrm\; dt=\backslash int\_a^b\backslash sqrt\{\backslash dot\; x(t)^2+\backslash dot\; y(t)^2\}\backslash ,\backslash mathrm\; dt.$

Reelle Wegintegrale: Mit Skalarprodukt

In der Physik werden häufig Wegintegrale der folgenden Form betrachtet: $f$ ist eine Funktion $\backslash mathbb\; R^n\backslash to\backslash mathbb\; R^n$, und es wird das Integral

$\backslash int\_\backslash gamma\; f(x)\backslash cdot\backslash mathrm\; dx\; =\; \backslash int\_a^b\backslash langle\; f(\backslash gamma(t)),\backslash dot\backslash gamma(t)\backslash rangle\backslash ,\backslash mathrm\; dt$

betrachtet.

Komplexe Wegintegrale

In der Funktionentheorie, also der Erweiterung der Analysis auf Funktionen einer komplexen Veränderlichen, genügt es nicht mehr, untere und obere Integrationsgrenzen anzugeben. Zwei Punkte der komplexen Ebene können, anders als zwei Punkte auf der Zahlengeraden, durch viele Wege miteinander verbunden werden. Deshalb ist das bestimmte Integral in der Funktionentheorie grundsätzlich ein Wegintegral. Für geschlossene Wege gilt der Residuensatz, ein wichtiges Resultat von Cauchy: Das Integral entlang einem geschlossenen Weg hängt allein von der Anzahl der umschlossenen Singularitäten ab. Es ist Null, falls sich im Integrationsgebiet keine Singularitäten befinden.

Integration über mehrdimensionale Bereiche

Den Integralbegriff kann man auf den Fall verallgemeinern, dass die Trägermenge, auf der die Integrandfunktion $f$ operiert, nicht die Zahlengerade $\backslash mathbb\{R\}$, sondern der $n$-dimensionale Euklidische Raum $\backslash mathbb\{R\}^n$ ist. Mehrdimensionale Integrale über ein Volumen $V$ darf man nach dem Satz von Fubini berechnen, indem man sie in beliebiger Reihenfolge in Integrale über die einzelnen Koordinaten aufspaltet, die nacheinander abzuarbeiten sind:

$$

\int_V \mathrm{d}^n r\,f \left(\vec{r} \right) = \iiint \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z\, f\left(x,y,z\right)

$=\; \backslash int\; \backslash mathrm\{d\}x\; \backslash left(\backslash int\; \backslash mathrm\{d\}y\; \backslash left(\backslash int\; \backslash mathrm\{d\}z\backslash ,\; f\backslash left(x,y,z\backslash right)\backslash right)\backslash right)$.

Die Integrationsgrenzen der eindimensionalen Integrale in $x$, $y$ und $z$ muss man aus der Begrenzung des Volumens $V$ ermitteln. In der Funktionalanalysis und theoretischen Physik betrachtet man auch mehrdimensionale Integrale die über den gesamten, unbeschränkten $n$-dimensionalen Raum laufen. Die Konvergenz der Integrale erreicht man, indem man in den Integranden eine Indikatorfunktion aufnimmt, die zum Beispiel außerhalb eines vorgegebenen Volumens $V$ überall 0 ist.

Die Verallgemeinerung der Substitutionsregel im mehrdimensionalen ist der Transformationssatz. Sei $\backslash Omega\; \backslash subset\; \backslash mathbb\{R\}^d$ offen und $\backslash Phi:\; \backslash Omega\; \backslash to\; \backslash mathbb\{R\}^d$ eine injektive, stetig differenzierbare Abbildung, für deren Funktionaldeterminante $\backslash det(D\backslash Phi(x))\; \backslash neq\; 0$ für alle $x\; \backslash in\; \backslash Omega$ gilt. Dann ist

$\backslash int\_\{\backslash Phi(\backslash Omega)\}\; f(y)\backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}y\; =\; \backslash int\_\backslash Omega\; f(\backslash Phi(x))\; \backslash left|\backslash det(D\backslash Phi(x))\backslash right|\; \backslash mathrm\{d\}x$.

Beispiel: Berechnung von Rauminhalten

Als Beispiel berechnen wir das Volumen zwischen dem Graphen der Funktion $f(x,y)\; =\; x^2+y$ über dem Einheitsquadrat $*\backslash times*$. Wir benutzen dazu zwei Integrale, eines für die $x$- und eines für die $y$-Koordinate:

$\backslash int\_0^1\backslash int\_0^1\; f(x,y)\backslash ;\backslash mathrm\{d\}x\backslash ;\backslash mathrm\{d\}y\; =\; \backslash int\_0^1\backslash int\_0^1\; (x^2+y)\backslash ;\backslash mathrm\{d\}x\backslash ;\backslash mathrm\{d\}y\; =\backslash int\_0^1\; \backslash left\backslash frac\{1\}\{3\}x^3\; +\; yx\; \backslash right\_\{x=0\}^1\backslash ;\backslash mathrm\{d\}y$

$=\; \backslash int\_0^1\; \backslash left(\; \backslash frac\{1\}\{3\}+y\; \backslash right)\; \backslash mathrm\{d\}y\; =\; \backslash left\backslash frac\{1\}\{3\}y+\backslash frac\{1\}\{2\}y^2\; \backslash right\_\{y=0\}^1\; =\; \backslash frac\{5\}\{6\}.$

Oberflächenintegrale

Insbesondere in vielen physikalischen Anwendungen ist die Integration nicht über ein Volumen, sondern über die Oberfläche eines Gebiets interessant. Solche Oberflächen werden üblicherweise durch Mannigfaltigkeiten beschrieben. Diese werden durch so genannte Karten beschrieben.

=Integration über ein Kartengebiet

=

Sei $M$ eine $d$-dimensionalen Untermannigfaltigkeit des $\backslash mathbb\{R\}^n$ und $U$ ein Kartengebiet in $M$, also eine offene Teilmenge in $M$, für die es eine Karte gibt, die sie diffeomorph auf eine offene Teilmenge des $\backslash mathbb\{R\}^d$ abbildet. Ferner sei $\backslash gamma\; :\backslash Omega\; \backslash to\; U$ eine Parametrisierung von $U$, also eine stetig differenzierbare Abbildung, deren Ableitung vollen Rang hat, die $\backslash Omega$ homöomorph auf $\backslash gamma\; (\backslash Omega)$ abbildet. Dann ist das Integral einer Funktion auf dem Kartengebiet $U$ folgerndermaßen definiert:

$\backslash int\_U\; f\; ds\; :=\; \backslash int\_\{\backslash Omega\}\; f(\backslash gamma(u))\; \backslash cdot\; \backslash sqrt\{g^\{\backslash gamma\}(u)\}\; \backslash mathrm\; du$

wobei $g^\{\backslash gamma\}(u)\; =\; \backslash det\; ((\backslash gamma\; \text{'}(u))^\{\backslash mathsf\{T\}\}\backslash cdot\; \backslash gamma\; \text{'}(u))$ die so genannte Gramsche Determinante ist. Das rechte Integral kann mit den oben geschrieben Methoden der mehrdimensionalen Integration ausgerechnet werden. Die Gleichheit folgt im wesentlichen aus dem Transformationssatz.

= Integration über eine Untermannigfaltigkeit

=

Ist eine Zerlegung der 1 gegeben, die mit den Karten der Untermannigfaltigkeit verträglich ist, kann einfach getrennt über die Kartengebiete integriert und aufsummiert werden.

= Der gaußsche Integralsatz und der Satz von Stokes

=

Für spezielle Funktionen lassen sich die Integrale über die Untermannigfaltigkeiten einfacher ausrechnen. In der Physik besonders wichtig sind hierbei zwei Aussagen:

Zum einen der gaußsche Integralsatz, nach dem Volumenintegrale über eine Divergenz dasselbe sind wie Oberflächenintegrale über das Vektorfeld: Sei $V\; \backslash subset\; \backslash mathbb\{R\}^n$ kompakt mit abschnittsweise glattem Rand $\backslash partial\; V$. Der Rand sei orientiert durch ein äußeres Normalen-Einheitsfeld $\backslash vec\; v$. Sei ferner $\backslash vec\; F$ ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf einer offenen Umgebung von $V$. Dann gilt

$\backslash int\_V\; \backslash operatorname\{div\}\; \backslash vec\; F\; \backslash ;\; \backslash mathrm\; dV\; =\; \backslash oint\_\{\backslash partial\; V\}\; \backslash vec\; F\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\; d\; \backslash vec\; S$

mit der Abkürzung $\backslash mathrm\; d\; \backslash vec\; S\; =\; \backslash vec\; v\; \backslash mathrm\; dS$.

Zum zweiten der Satz von Stokes, der eine grundlegende Aussage der Differentialgeometrie ist und sich im Spezialfall des dreidimensionalen Raums schreiben lässt als:

Ist $M$ eine zweidimensionale Untermannigfaltigkeit des dreidimensionalen euklidischen Raumes $\backslash mathbb\{R\}^3$, so gilt, wobei $\backslash operatorname\{rot\}\backslash ;\backslash mathbf\{F\}$ die Rotation eines Vektorfeldes $F$ beschreibt:

$\backslash int\_\{M\}\; (\backslash operatorname\{rot\}\backslash ;\backslash mathbf\{F\})\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{d\}\backslash mathbf\{A\}\; =\; \backslash oint\_\{\backslash partial\; M\}\; \backslash mathbf\{F\}\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{d\}\backslash mathbf\{r\}$

Verallgemeinerungen

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Maßtheorie

Hauptartikel: Maßtheorie

Integration auf Mannigfaltigkeiten

Siehe: Differentialform#Integral_von_Differentialformen

Schließlich kann Integration auch dazu verwendet werden, Oberflächen von gegebenen Körpern zu messen. Dies führt in das Gebiet der Differentialgeometrie.

Geschichte

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Flächenberechnungen werden seit der Antike untersucht. Im 5. Jahrhundert v. Christus entwickelte Eudoxos von Knidos nach einer Idee von Antiphon die Exhaustionsmethode, die darin bestand, einen Körper durch regelmäßige Polygone auszufüllen und konnte so Fläche und Volumen einiger einfacher Körper bestimmen. Archimedes (287–212 v.Chr.) verbesserte diesen Ansatz und so gelang ihm die exakte Integration einer Parabel, alles ohne Benutzung eines Grenzwertbegriffs. Er näherte Pi auf einen Wert zwischen 3 10/70 und 3 10/71 an.

Diese Methode wurde auch im Mittelalter benutzt. Im 16. Jahrhundert stellte Bonaventura Francesco Cavalieri das Prinzip von Cavalieri auf, wonach zwei Körper das gleiche Volumen haben, wenn alle ebenen Schnitte miteinander übereinstimmen.

Johannes Kepler versuchte ab 1612 den Rauminhalt von Weinfässern zu berechnen. 1615 veröffentlichte er die Stereometria Doliorum Vinariorum („Stereometrie der Weinfässer“), später auch als keplersche Fassregel bekannt.

Ende des 17. Jahrhunderts gelang es Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz unabhängig voneinander, widerspruchsfrei funktionierende Kalküle zur Differentialrechnung zu entwickeln und so den Fundamentalsatz der Analysis zu entdecken (zur Entdeckungsgeschichte und zum Prioritätsstreit siehe den Artikel Infinitesimalrechnung). Ihre Arbeiten erlaubten das Abstrahieren von rein geometrischer Vorstellung und werden deshalb als Beginn der Analysis betrachtet. Bekannt wurden sie vor allem durch das Buch des Adligen Guillaume François Antoine, Marquis de L’Hospital, der bei Johann Bernoulli Privatunterricht nahm und dessen Forschung zur Analysis so publizierte. Der Begriff Integral geht auf Johann Bernoulli zurück.

Im 19. Jahrhundert wurde die gesamte Analysis auf ein solideres Fundament gestellt. 1823 entwickelte Augustin Louis Cauchy erstmals einen Integralbegriff, der den heutigen Ansprüchen an Stringenz genügt. Später entstanden die Begriffe des Riemann-Integrals und des Lebesgue-Integrals. Schließlich folgte die Entwicklung der Maßtheorie Anfang des 20. Jahrhunderts.

Siehe auch

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• Algebraische Integration
• Stochastische Integration
• Binomisches Integral
• d3x-Schreibweise

Literatur

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• Schulbücher:
  • Integralrechnung ist ein zentraler Unterrichtsgegenstand in der Sekundarstufe II und wird somit in allen Mathematik-Lehrbüchern behandelt.
• Lehrbücher für Studenten der Mathematik und benachbarter Fächer (Physik, Informatik):
  • Richard Courant: Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung 1, 2. Springer, 1. Aufl. 1928, 4. Aufl. 1971
  • Otto Forster: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. 7. Aufl. Vieweg-Verlag, 2004. ISBN 3-528-67224-2
  • Otto Forster: Analysis 3. Integralrechnung im Rⁿ mit Anwendungen. 3. Aufl. Vieweg-Verlag, 1996. ISBN 3-528-27252-X
  • Konrad Königsberger: Analysis 1, 2. 3. Auflage. Springer Verlag,1995
  • Steffen Timmann: Repetitorium der Analysis 1, 2. 1. Auflage. Binomi Verlag, 1993,
• Lehrbücher für Studenten mit Nebenfach/Grundlagenfach Mathematik (zum Beispiel Studenten der Ingenieur- oder Wirtschaftswissenschaften):
  • Rainer Ansorge und Hans Joachim Oberle: Mathematik für Ingenieure. Band 1. 3. Auflage. Wiley-VCH, 2000
  • Lothar Papula: Mathematik für Naturwissenschaftler und Ingenieure. Band 1

Weblinks

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• Sehr gutes und übersichtliches Mathe-Portal mit vielen Informationen
• http://www.mathe-online.at/ressourcen/?s=int - Mathe-Portal mit sehr gut aufbereiteten Informationen
• Applet zur Darstellung von Ober- und Untersummen für beliebige Funktionen
• B. Riemann: Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe – Erstdefinition des Riemann-Integrals, Seite 12 ff.
• Der Integrator – Englische Seite zur Berechnung von Integralen
• Einführung in die Integralrechnung für Schüler

Integralrechnung | Maßtheorie

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