Dreieck-mit-inkreis.PNG

Der Inkreis eines Polygons ist der Kreis, der alle Seiten des Polygons in ihrem Inneren berührt (das heißt er berührt die Strecken zwischen den Eckpunkten und nicht ihre Verlängerungen). Er ist gleichzeitig der größte Kreis, der vollständig in einem Polygon liegt.

Nur solche Polygone, bei denen sich alle Winkelhalbierenden der Innenwinkel des Polygons in einem Punkt schneiden, besitzen einen Inkreis. Dies ist bei Dreiecken, Rauten (inklusive Quadrat), Drachenvierecken und allen regelmäßigen Vielecken stets der Fall.

Polygone mit größerer Seitenzahl können einen Inkreis besitzen.

Inkreis im Dreieck

Dreieck-mit-Inkreis2.png Der Mittelpunkt des Inkreises in einem Dreieck ist der Schnittpunkt aller drei Winkelhalbierenden des Dreiecks, der so genannte Inkreismittelpunkt des Dreiecks.

Ist $F$ der Flächeninhalt des Dreiecks mit den Seiten $a$, $b$ und $c$, so berechnet sich der Radius $r$ des Inkreises durch:

$r\; =\; \backslash frac\{2\; F\}\{a+b+c\}\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{(s-a)\; (s-b)\; (s-c)\}\{s\}\; \}$

mit

$s\; =\; \backslash frac\{a+b+c\}\{2\}$

Je nach den gegebenen Parametern des Dreiecks ist folgender Zusammenhang interessant:

$r\; =\; \backslash frac\{a\}\{\backslash frac\{1\}\{\backslash tan\; \{\; \backslash left(\; \backslash frac\{\backslash beta\}\{2\}\; \backslash right)\; \}\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{\backslash tan\; \{\; \backslash left(\; \backslash frac\{\backslash gamma\}\{2\}\; \backslash right)\; \}\}\; \}$

Siehe auch

• Umkreis, Kreise am Dreieck

Weblinks

• Inkreis eines Dreiecks wird Schritt für Schritt gezeichnet

Ebene Geometrie

Incircle and excircles of a triangle | Ingeschreven circel