Ein Informationskriterium ist ein Kriterium zur Auswahl eines Modells. Dabei gehen die Anpassungsgüte des geschätzten Modells an die vorliegenden empirischen Daten (Stichprobe) und Komplexität des Modells, gemessen an der Anzahl der Parameter, in die Beurteilung ein. Die Anzahl der Parameter wird dabei "strafend" berücksichtigt, da sonst umfassende Modelle mit vielen Parametern bevorzugt würden. In diesem Sinne ist das korrigierte Bestimmtheitsmaß, das auf Theil (1970) zurückgeht, ein Vorläufer der heute bekannten Informationskriterien.

Allen heute verwendeten Informationskriterien ist gleich, dass sie in zwei verschiedenen Formulierungen vorliegen. Entweder ist das Maß für die Anpassungsgüte als die maximale Likelihood oder als die minimale Varianz der Residuen formuliert. Hieraus ergeben sich unterschiedliche Interpretationsmöglichkeiten. Beim Ersteren ist das Modell "am besten", bei dem das jeweilige Informationskriterium den höchsten Wert hat (die "strafende" Anzahl der Parameter muss dabei abgezogen werden). Beim Letzteren ist das Modell mit dem niedrigsten Wert des Informationskriteriums am besten (die Anzahl der Parameter muss "strafend" addiert werden).

Das historisch älteste Kriterium wurde 1973 von Akaike als "an information criterion" (engl.) vorgeschlagen. Heutzutage ist es als Akaikes Informationskriterium (engl. Akaike's Information Criterion, AIC) bekannt und wird vorwiegend in der Ökonometrie verwendet. Es lässt sich mit der Maximum-Likelihood-Formulierung wie folgt darstellen:

$AIC\_l=l(\backslash mathbf\{\backslash hat\{\backslash phi\}\},\backslash mathbf\{\backslash hat\{\backslash theta\}\}|\backslash mathbf\{\backslash tilde\{y\}\})-M$

Unter Verwendung der minimalen Varianz der Residuen ergibt sich im klassischen Regressionsmodell mit normalverteilten Fehlern folgende Notation:

$AIC\_\backslash sigma=\backslash ln(\{\backslash hat\{\backslash sigma\}\}\_Z^2)+\backslash frac\{2M\}\{T\}$

Der Nachteil des Informationskriteriums von Akaike ist, dass es Modelle mit vielen Parametern bervorzugt. Deshalb empfiehlt sich die Verwendung des durch Schwarz 1978 vorgeschlagenen bayesschen Informationskriteriums (engl. Bayesian Information Criterion, BIC):

$SBC\_l=l(\backslash mathbf\{\backslash hat\{\backslash phi\}\},\backslash mathbf\{\backslash hat\{\backslash theta\}\}|\backslash mathbf\{\backslash tilde\{y\}\})-\backslash frac\{M\}\{2\}\backslash ln\; T$

bzw.

$SBC\_\backslash sigma=\backslash ln\; (\{\backslash hat\{\backslash sigma\}\}\_Z^2)+M\backslash frac\{\backslash ln\; T\}\{T\}$

Zur Notation:
T: Anzahl der beobachteten Stichprobenwerte
M: Anzahl der geschätzten Parameter
σ: Standardabweichung
Z: Störvariable
$\{\backslash hat\{\backslash sigma\}\}\_Z^2$: empirisch gemessene Varianz der Störvariablen Z (als Proxy wird hier die Varianz der Residuen verwendet)

Letzteres Modell wird vor allem in der Soziologie häufig verwendet. Kuha (2004) weist auf die unterschiedlichen Ziele der beiden Kenngrößen hin: Während das BIC das wahre Modell zeigen soll, wird beim AIC die Existenz eines wahren Modells ausgeschlossen und man versucht, möglichst gute Vorhersagen zu treffen.

Daneben existieren weitere, seltener verwendete Informationskriterien, wie das von Hannan-Quinn, das DIC (Spiegelhalter, Best, Carlin und van der Linde (2002)), EIC (Ishiguro, Sakamoto, and Kitgawa (1997)), FIC (Wei (1992)), GIC (Nishii (1984)), NIC (Murata, Yoshizawa und Amari (1991)) und das TIC (Takeuchi (1976)).

Siehe auch

• Jorma Rissanen
• Minimum Description Length (MDL)
• Risk inflation information criterion (RIC)
• Maximum-Entropie-Methode (MEM)

Literatur

• Hirotugu Akaike: Information theory and an extension of the maximum likelihood principle. In: B. N. Petrov (Hrsg.) u.A.: Proceeding of the Second International Symposium on Information Theory Budapest: Akademiai Kiado 1973. S. 267-281
• Kenneth P. Burnham und David R. Anderson: Model Selection and Multimodel Inference: A Practical Information-Theoretic Approach. Springer-Verlag, New York 2002, ISBN 0-387-95364-7
• Kenneth P. Burnham/David R. Anderson (2004): Multimodel Inference: Understanding AIC and BIC in Model Selection, in: Sociological Methods and Research, Vol. 33, 2004, Seite 261-304
• Jouni Kuha (2004): AIC and BIC: Comparisons of Assumptions and Performance, in: Sociological Methods and Research, Vol. 33, 2004, Seite 188-229
• Gideon Schwarz: Estimating the Dimension of a Model. In: Annals of Statistics. 2/6/1978. S. 461-464
• David L. Weakliem (2004): Introduction to the Special Issue on Model Selection, in: Sociological Methods and Research, Vol. 33, 2004, Seite 167-187

Statistik

Akaike information criterion | 赤池情報量規準