Der Impulserhaltungssatz ist einer der wichtigsten Erhaltungssätze der Physik und besagt, dass in einem abgeschlossenen System der Gesamtimpuls konstant bleibt. "Abgeschlossenes System" bedeutet in diesem Zusammenhang, dass keine Kräfte von außen wirken.

Der Gesamtimpuls $\backslash vec\{p\}$ des Systems, das aus $n$ miteinander wechselwirkenden Teilen besteht, ist die Summe der einzelnen Impulse.

$\backslash vec\{p\}\; =\; \backslash vec\{p\}\_1\; +\; \backslash vec\{p\}\_2\; +\; \backslash dots\; +\; \backslash vec\{p\}\_n\; =\; \{\backslash rm\; konstant\},$

Die Impulse sind dabei Vektoren, es ist also ihre Richtung zu berücksichtigen (wird nur eine Bewegung längs einer Richtung betrachtet, also eine Vektorkomponente, muss das Vorzeichen berücksichtigt werden).

Die Impulserhaltung gilt sowohl in der klassischen Physik (bzw. klassischen Mechanik) wie auch in der Relativitätstheorie und der Quantenphysik. Die Impulserhaltung gilt unabhängig von der Erhaltung der Energie und ist zum Beispiel bei der Beschreibung von Stößen von grundlegender Bedeutung. Der Impulserhaltungssatz besagt hier, dass der Gesamtimpuls aller Stoßpartner vor und nach dem Stoß gleich sein muss. Impulserhaltung gilt sowohl, wenn die kinetische Energie beim Stoß erhalten bleibt (elastischer Stoß), als auch dann, wenn das nicht der Fall ist (unelastischer Stoß).

Impulserhaltung und Newtonsche Axiome

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Der Impulserhaltungssatz folgt direkt aus dem zweiten und dritten Newtonschen Axiom. Gemäß dem zweiten Newtonschen Axiom ist die auf einen Körper wirkende Kraft gleich der Änderung des Impulses mit der Zeit:

$\backslash vec\{F\}\; =\; \backslash frac\{d\backslash vec\{p\}\}\{dt\}$

Wenn keine Kräfte von außen wirken, muss es gemäß dem dritten Newtonschen Axiom ("actio = reactio") für jede Kraft eine gleich große, aber entgegengesetzt wirkende Gegenkraft geben; die Vektorsumme dieser Kräfte ist also null. Das gilt für alle Kräfte, somit ist die Vektorsumme aller im System auftretender Kräfte und damit auch die Änderung des Gesamtimpulses gleich Null:

$\backslash vec\{F\}\_1\; +\; \backslash vec\{F\}\_2\; +\; \backslash dots\; +\; \backslash vec\{F\}\_n\; =\; \backslash frac\{d\backslash vec\{p\}\_1\}\{dt\}\; +\; \backslash frac\{d\backslash vec\{p\}\_2\}\{dt\}\; +\; \backslash dots\; +\; \backslash frac\{d\backslash vec\{p\}\_n\}\{dt\}\; =\; \backslash frac\{d\backslash vec\{p\}\_\{\backslash rm\; ges\}\}\{dt\}\; =\; 0$

Wenn die Änderung des Gesamtimpulses gleich Null ist, heißt das natürlich, dass der Gesamtimpuls konstant ist.

Die Impulserhaltung ist aber nicht auf Fälle beschränkt, bei denen die Kräfte zwischen jeweils zwei Körpern wirken, sondern unabhängig von der Art der Kräfte und gilt auch bei sogenannten "Mehrkörper-Kräften", die nicht als Paarwechselwirkung verstanden werden können.

Impulserhaltung und Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes

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In der klassischen (nicht-relativistischen) Physik ist die Impulserhaltung mit der Aussage äquivalent, dass sich der Massenmittelpunkt (Schwerpunkt) eines Systems ohne äußere Kraft mit konstanter Geschwindigkeit und Richtung bewegt (dies ist eine Verallgemeinerung des ersten Newtonschen Axioms, das ursprünglich nur für einzelne Körper formuliert wurde). Wenn $m\_\{\backslash rm\; ges\}\; =\; m\_1\; +\; m\_2+\; \backslash dots\; +\; m\_n$ die Gesamtmasse des Systems ist, so ist die Geschwindigkeit $\backslash vec\{v\}\_M$ des Massenmittelpunktes direkt proportional zum Gesamtimpuls $\backslash vec\{p\}$ und daher ebenso wie dieser konstant:

$\backslash vec\{v\}\_M\; =\; \backslash frac\{1\}\{m\_\{\backslash rm\; ges\}\}\backslash left(m\_1\backslash vec\{v\}\_1+m\_2\backslash vec\{v\}\_2\; +\; \backslash dots\; +\; m\_n\backslash vec\{v\}\_n\backslash right)\; =\; \backslash frac\{1\}\{m\_\{\backslash rm\; ges\}\}\backslash vec\{p\}$

Impulserhaltung und Translationssymmetrie

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Gemäß dem Noether-Theorem hängt jeder Erhaltungssatz mit einer kontinuierlichen Symmetrie zusammen; für den Impulserhaltungssatz ist diese Symmetrie die Translationssymmetrie. Die Impulserhaltung folgt also daraus, dass an jedem Ort die selben physikalischen Gesetze gelten. Wirkt hingegen eine äußere Kraft, so ist beispielsweise (wenn die Kraft durch ein Potenzial beschrieben werden kann) die potenzielle Energie eines Teilchens vom Ort abhängig, und die Bedingung für die Impulserhaltung nicht mehr erfüllt.

Ein Spezialfall ist ein ideales Kristallgitter, in dem die Translation (Verschiebung) um einen Gittervektor eine Symmetrieoperation ist, also wieder zu einer vom ursprünglichen Gitter nicht unterscheidbaren Anordnung führt; andere Verschiebungen ergeben ein Gitter, dessen Gitterpunkte nicht mehr mit den ursprünglichen Gitterpunkten zusammenfallen. In diesem Fall gilt die Impulserhaltung mit der Einschränkung, dass zum Impuls ein mit dem planckschen Wirkungsquantum $\backslash hbar$ multiplizierter Gittervektor $\backslash vec\{G\}$ des reziproken Gitters addiert werden kann:

$\backslash vec\{p\}\_\{\backslash rm\; nachher\}\; =\; \backslash vec\{p\}\_\{\backslash rm\; vorher\}\; +\; \backslash hbar\backslash vec\{G\}$

Es kann also Impuls nicht in beliebigem Ausmaß an das Kristallgitter transferiert werden, sondern nur in diskreten Schritten, die durch das reziproke Gitter bestimmt werden. Wenn der Impuls für den kleinsten solchen Schritt zu klein ist, z. B. bei sichtbarem Licht im Inneren eines Kristalls, gilt wieder die Impulserhaltung wie im freien Raum. Daher wird sichtbares Licht in Kristallen nicht gebeugt, hingegen kann Röntgenstrahlung, die einen höheren Impuls hat, gebeugt werden. Die Impulserhaltung unter Berücksichtigung des reziproken Gittervektors ist in diesem Fall äquivalent zur Bragg-Gleichung.

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