Zu den Hyperbelfunktionen gehören:

• Sinus Hyperbolicus
• Kosinus Hyperbolicus
• Tangens Hyperbolicus
• Kotangens Hyperbolicus
• Sekans Hyperbolicus
• Kosekans Hyperbolicus

Sie sind für alle komplexen Zahlen definiert und auf dem gesamten Gebiet der komplexen Zahlen holomorph.

Definition über die Exponentialfunktion

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$\backslash sinh(z)\; :=\; \backslash frac\{e^z\; -\; e^\{-z\}\}\{2\}$

$\backslash cosh(z)\; :=\; \backslash frac\{e^z\; +\; e^\{-z\}\}\{2\}$

Wertebereich der reellen Hyperbelfunktionen

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cosh_sinh.png Für alle reelle Zahlen $r$ sind auch $\backslash sinh(r)$ und $\backslash cosh(r)$ reell.

Die reelle Funktion $\backslash sinh$ ist streng monoton steigend und besitzt in 0 ihren einzigen Wendepunkt.

Die reelle Funktion $\backslash cosh$ ist für Werte streng monoton fallend,

für Werte $>\; 0$ streng monoton steigend.

Wertebereich der komplexen Hyperbelfunktionen

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sinh

Es seien folgende Teilmengen der komplexen Zahlen definiert:

$B\; :=\; \backslash \{\; z\; \backslash ,\backslash vert\; \backslash operatorname\{Re\}\backslash ,z\; \backslash ne\; 0\; \backslash vee\; \backslash operatorname\{Im\}\backslash ,z\; =\; \backslash pm\; 1\; \backslash \}$

Dann bildet die komplexe Funktion $\backslash sinh$ den "Streifen" A bijektiv auf B ab.

cosh

Es seien folgende Teilmengen der komplexen Zahlen definiert:

$B\; :=\; \backslash \{\; z\; \backslash ,\backslash vert\; \backslash operatorname\{Im\}\backslash ,z\; \backslash ne\; 0\; \backslash vee\; \backslash operatorname\{Re\}\backslash ,z\; =\; \backslash pm\; 1\; \backslash \}$

Dann bildet die komplexe Funktion $\backslash cosh$ den "Streifen" A bijektiv auf B ab.

Eigenschaften der komplexen Hyperbelfunktionen

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Symmetrie und Periodizität

Für alle komplexen Zahlen $z$ gilt:

• $\backslash sinh(z)\; =\; -\; \backslash sinh(-z)$, d.h. sinh ist eine ungerade Funktion.
• $\backslash cosh(z)\; =\; \backslash cosh(-z)$, d.h. cosh ist eine gerade Funktion.
• $\backslash sinh(z)\; =\; \backslash sinh(z+2\; \backslash pi\; i)$
• $\backslash cosh(z)\; =\; \backslash cosh(z+2\; \backslash pi\; i)$

d.h. beide Funktionen sind periodisch mit der Minimalperiode $(2\; \backslash pi\; i)$

Additionstheoreme

Für alle komplexen Zahlen $z\_1$ und $z\_2$ gilt:

• $\backslash sinh(z\_1\; +\; z\_2)\; =\; \backslash sinh(z\_1)\; \backslash cdot\; \backslash cosh(z\_2)\; +\; \backslash sinh(z\_2)\; \backslash cdot\; \backslash cosh(z\_1)$
• $\backslash sinh(z\_1\; -\; z\_2)\; =\; \backslash sinh(z\_1)\; \backslash cdot\; \backslash cosh(z\_2)\; -\; \backslash sinh(z\_2)\; \backslash cdot\; \backslash cosh(z\_1)$
• $\backslash cosh(z\_1\; +\; z\_2)\; =\; \backslash cosh(z\_1)\; \backslash cdot\; \backslash cosh(z\_2)\; +\; \backslash sinh(z\_1)\; \backslash cdot\; \backslash sinh(z\_2)$
• $\backslash cosh(z\_1\; -\; z\_2)\; =\; \backslash cosh(z\_1)\; \backslash cdot\; \backslash cosh(z\_2)\; -\; \backslash sinh(z\_1)\; \backslash cdot\; \backslash sinh(z\_2)$

Zusammenhänge

$\backslash ,\{\backslash cosh\}^2\; (z)\; -\; \{\backslash sinh\}^2\; (z)\; =\; 1$

Alternative Namen

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• Für die Hyperbelfunktionen ist auch der Name hyperbolische Funktionen gebräuchlich.
• Für $\backslash sinh$ sind auch die Namen hsin, Hyperbelsinus und Sinus hyperbolicus gebräuchlich.
• Für $\backslash cosh$ sind auch die Namen hcos, Hyperbelcosinus und Cosinus hyperbolicus gebräuchlich.

Abgeleitete Funktionen

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• Tangens Hyperbolicus $\backslash tanh(x)\; :=\; \backslash frac\{\backslash sinh(x)\}\{\backslash cosh(x)\}$
• Kotangens Hyperbolicus $\backslash coth(x)\; :=\; \backslash frac\{1\}\{\backslash tanh(x)\}\; =\; \backslash frac\{\backslash cosh(x)\}\{\backslash sinh(x)\}$
• Sekans Hyperbolicus $\backslash operatorname\{sech\}(x)\; :=\; \backslash frac\{1\}\{\backslash cosh(x)\}$
• Kosekans Hyperbolicus $\backslash operatorname\{csch\}(x)\; :=\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sinh(x)\}$

Umrechnungstabelle

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Funktion	$\backslash sinh$	$\backslash cosh$	$\backslash tanh$	$\backslash coth$
$\backslash sinh(x)=$	$\backslash ,\backslash sinh(x)\backslash ,$	$\backslash sgn(x)\backslash sqrt\{\backslash cosh^2(x)-1\}$	$\backslash frac\{\backslash tanh(x)\}\{\backslash sqrt\{1\; -\; \backslash tanh^2(x)\}\}$	$\backslash frac\{\; \backslash sgn(x)\}\{\backslash sqrt\{\backslash coth^2(x)\; -\; 1\}\}$
$\backslash cosh(x)=$	$\backslash ,\backslash sqrt\{1+\backslash sinh^2(x)\}$	$\backslash ,\backslash cosh(x)$	$\backslash ,\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{1\; -\; \backslash tanh^2(x)\}\}$	\, \frac{\left >\coth(x)\right
$\backslash tanh(x)=$	$\backslash ,\backslash frac\{\backslash sinh(x)\}\{\backslash sqrt\{1+\backslash sinh^2(x)\}\}$	$\backslash ,\backslash sgn(x)\backslash frac\{\backslash sqrt\{\backslash cosh^2(x)-1\}\}\{\backslash cosh(x)\}$	$\backslash ,\backslash tanh(x)$	$\backslash ,\backslash frac\{1\}\{\backslash coth(x)\}$
$\backslash coth(x)=$	$\backslash ,\backslash frac\{\backslash sqrt\{1+\backslash sinh^2(x)\}\}\{\backslash sinh(x)\}$	$\backslash ,\backslash sgn(x)\backslash frac\{\backslash cosh(x)\}\{\backslash sqrt\{\backslash cosh^2(x)-1\}\}$	$\backslash ,\backslash frac\{1\}\{\backslash tanh(x)\}$	$\backslash ,\backslash coth(x)$
$\backslash operatorname\{sech\}(x)=$	$\backslash ,\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{1+\backslash sinh^2(x)\}\}$	$\backslash ,\backslash frac\{1\}\{\backslash cosh(x)\}$	$\backslash ,\backslash sqrt\{1\; -\; \backslash tanh^2(x)\}$	\,\frac{\sqrt{\coth^2(x)- 1}}{\left >\coth(x)\right
$\backslash operatorname\{csch\}(x)=$	$\backslash ,\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sinh(x)\}$	$\backslash ,\; \backslash frac\{\backslash sgn(x)\}\{\backslash sqrt\{\backslash cosh^2(x)-1\}\}$	$\backslash ,\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{1-\backslash tanh^2(x)\}\}\{\backslash tanh(x)\}$	$\backslash ,\; \backslash sgn(x)\backslash sqrt\{\backslash coth^2(x)-\; 1\}$

Funktion	$\backslash operatorname\{sech\}$	$\backslash operatorname\{csch\}$
$\backslash sinh(x)=$	$\backslash sgn(x)\backslash frac\{\backslash sqrt\{1-\backslash operatorname\{sech\}^2(x)\}\}\{\backslash operatorname\{sech\}(x)\}$	$\backslash frac\{1\}\{\backslash operatorname\{csch\}(x)\}$
$\backslash cosh(x)=$	$\backslash ,\; \backslash frac\{1\}\{\backslash operatorname\{sech\}(x)\}$	\, \frac{\sqrt{1+\operatorname{csch}^2(x)}}{\left >\operatorname{csch}(x)\right
$\backslash tanh(x)=$	$\backslash ,\backslash sgn(x)\; \backslash sqrt\{1-\backslash operatorname\{sech\}^2(x)\}$	$\backslash ,\backslash frac\{\backslash sgn(x)\}\{\; \backslash sqrt\{1+\backslash operatorname\{csch\}^2(x)\}\}$
$\backslash coth(x)=$	$\backslash ,\backslash frac\{\backslash sgn(x)\}\{\backslash sqrt\{1-\backslash operatorname\{sech\}^2\; (x)\}\}$	$\backslash ,\backslash sgn(x)\; \backslash sqrt\{1+\backslash operatorname\{csch\}^2\; (x)\}$
$\backslash operatorname\{sech\}(x)=$	$\backslash ,\; \backslash operatorname\{sech\}(x)$	\,\frac{\left >\operatorname{csch}(x)\right
$\backslash operatorname\{csch\}(x)=$	$\backslash ,\; \backslash sgn(x)\backslash frac\{\backslash operatorname\{sech\}(x)\}\{\backslash sqrt\{1-\backslash operatorname\{sech\}^2\; (x)\}\}$	$\backslash ,\; \backslash operatorname\{csch\}(x)$

Umkehrfunktionen

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Die Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen heißen Area-Funktionen.

Siehe auch: Zusammenhang mit den Kreisfunktionen

Analytische Funktion

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