hyper4 ist eine mathematische Notation zur Beschreibung von "Potenz-Türmen" und großen Zahlen durch eine Erweiterung der herkömmlichen Operatoren für die Addition, Multiplikation und Potenzierung.

Herleitung der Notation

---

Die Notation setzt die Folge von Addition ($+$), Multiplikation ($\backslash cdot$) und Potenzierung ($a^b$) fort.

Ausgehend von den Beobachtungen

• $a\; +\; b\; =\; 1\; +\; (a\; +\; (b\; -\; 1))$
• $a\; \backslash cdot\; b\; =\; a\; +\; (a\; \backslash cdot\; (b\; -\; 1))$
• $a^b\; =\; a\; \backslash cdot\; (a^\{(b\; -\; 1)\})$

definiert man rekursiv einen dreistelligen Operator $a^\{(n\; +\; 1)\}b\; :=\; a^\{(n)\}\; (\; a\; ^\; \{(n\; +\; 1)\}\; (b\; -\; 1))$ mit $a\; ^\; \{(1)\}\; b\; =\; a\; +\; b$ sowie die Bezeichnungen $\backslash operatorname\{hyper\backslash mathit\{n\}\}\; (a,\; b)\; =\; a\; ^\; \{(n)\}\; b$ und $\backslash operatorname\{hyper\}(a,\; n,\; b)\; =\; a\; ^\; \{(n)\}\; b$

Somit ist hyper1 die Addition, hyper2 die Multiplikation und hyper3 die Potenzierung. hyper4 wird auch bezeichnet als Tetration oder Superpotenz; es gibt dafür auch die Notation $\backslash operatorname\{hyper4\}(a,b)=\{\}^\{b\}a$. Beispiel: $3^\{4\}3=3^\{3\}(3^\{4\}2)=3^\{3^\{4\}2\}=3^\{3^\{3\}(3^\{4\}1)\}=3^\{3^3\}=3^\{27\}\; =7625597484987$

Die Familie wurde für $n>3$ nicht für reelle Zahlen erweitert, weil es mehrere "offensichtliche" Wege dazu gibt, die jedoch nicht assoziativ sind.

Die hypern-Operatorenfamilie ist eng verwandt mit Knuths Pfeilnotation.

Eine andere Erweiterung

---

Die obige Erweiterung kann auch auf der entgegengesetzten Seite durchgeführt werden. Ausgehend von

• $a+b\; =\; (a+(b-1))+1$
• $a\backslash cdot\; b\; =\; (a\backslash cdot\; (b-1))+a$
• $a^b\; =\; \backslash left(a^\{(b-1)\}\; \backslash right)\backslash cdot\; a$

definiert man

Diese Notation "kollabiert" jedoch für $n=4$; sie ergibt im Gegensatz zu hyper4 keinen Potenz-Turm mehr:

$a\_\{(4)\}b\; =\; a^\{(a^\{(b-1)\})\}$

Wie können sich $a^\{(n)\}b$ and $a\_\{(n)\}b$ plötzlich für $n>3$ unterscheiden? Das liegt an der Assoziativität, einer Eigenschaft, die die Operatoren $+$ und $\backslash cdot$ besitzen (siehe auch Körper), die aber dem Potenz-Operator fehlt. (Im Allgemeinen ist $a^\{b^c\}=a^\{(b^c)\}\backslash ne\; (a^b)^c=a^\{b\backslash cdot\; c\}$.)

Die anderen Ebenen kollabieren nicht auf diese Weise, weshalb auch diese Operatorenfamilie, genannt "niedere hyper-Operatoren" von Interesse ist.

Siehe auch: Ackermannfunktion

Weblinks (englisch)

---

• What Lies Beyond Exponentiation?
• On extending hyper4 to nonintegers
• The Dictionary of Large Numbers (Dictionary's author Robert Munafo claims the (n) notation as his own—it's alright to use it, but it's not a standard.)
• Lynz and the Clarkkkkson

Hyper operator

Arithmetik