Hydrostatisches Paradoxon

Das Hydrostatische Paradoxon ist ein physikalisches Prinzip, nach dem der Schweredruck, den Wasser in einem Gefäß auf den Boden des Gefäßes bewirkt, zwar abhängig ist von der Füllhöhe des Wassers in dem Gefäß, aber nicht von der Form des Gefäßes.

Erläuternde Abbildungen

In allen Gefäßen mit demselben Füllstand wirkt in derselben Höhe derselbe Flüssigkeitsdruck auf die Gefäßhülle, unabhängig von der Grundfläche und der Gefäßform. Hydrostatisches Paradoxon Fluessigkeitsdruck in verschiedenen Gefaeszen.png

Bei Kommunizierenden Röhren stellt sich derselbe Wasserpegel ein, unabhängig von der Röhrenform. Hydrostatisches Paradoxon Kommunizierende Roehren.png

Erläuterung der Theorie

Die Theorie ist nur ein Modell zur Beschreibung der Wirklichkeit und gilt nur dann, wenn die Flüssigkeit in einem Gefäß nicht in Bewegung ist. Erscheinungen wie der Kapillareffekt sind nicht berücksichtigt.

Druck verursacht eine Kraft auf eine Fläche. In einem verschlossenen Gefäß mit ruhender Flüssigkeit heben sich die Kraft durch die Flüssigkeit und die Gegenkraft der Gefäßwand auf. Die Kraft, die auf die Gefäßwand wirkt, ist gleich der Schwerekräfte der „Flüssigkeitsteilchen“ und die Kraft auf ein solches „Flüssigkeitsteilchen“, verursacht durch den bei der Öffnung vorherrschenden Luftdruck. Aus jeder gedanklichen horizontalen Querschnittfläche der Flüssigkeit wirkt nur die Schwerekraft eines „Flüssigkeitsteilchen“ an der Kraft mit. Die Kraft auf die Gefäßwand ist daher nur abhängig vom Füllstand, der Dichte der Flüssigkeit und dem Luftdruck. In jeder Höhe herrscht ein anderer Druck und damit eine unterschiedliche Kraft auf die Gefäßwand.

Erst wenn die Gegenkraft der Gefäßwand die Kraft nicht mehr aufheben kann (Gefäßwand hält der Belastung nicht Stand), beginnt eine resultierende Kraft zu wirken und Flüssigkeit tritt aus. Dann hängt die Kraft und der Druck sehrwohl von der Gefäßform ab, doch dieser Fall ist nicht mehr statisch und deshalb gilt die Theorie für diesen Fall nicht mehr.

Erklärung des Effektes in Kommunizierenden Röhren

[[Bild:Hydrostatisches Paradoxon Kommunizierende Roehren mit Kraeften.png|thumb|none|410px| Kräfte in den Kommunizierenden Röhren: grün: Kraft durch den Luftdruck; blau: Schwerekraft des Wassers; braun: Gegenkraft des Wassers in der Querröhre; magenta: Kraft, mit der die Gefäßhülle der Belastung entgegenwirken muss]]

Der Trichter und Zylinder entfalten an ihren Bodenflächen jeweils die Gewichtskraft des darüber liegenden Wassers (blau) plus die Kraft durch den Luftdruck (grün). Die Gegenkraft des Wassers der Querröhre (braun) ist bei allen Bodenflächen der nun zusammengesetzten Röhren gleich. Die Kräfte am Randbereich des Trichters wirken auf die Gefäßhülle und diese trotzt der Belastung mit einer ebenso großen Gegenkraft (magenta), da sonst die Hülle brechen würde. Genauso muss die Hülle des Kegels den Kräften entgegenwirken, die auf Grund der geringeren Wassermenge und der daraus resultierenden geringeren Gewichtskraft nur abgeschwächt und nicht aufgehoben werden. An den rechten zwei verschlossenen Röhren sieht man deutlich, dass die Kraft auf die Hülle und die gleiche Gegenkraft der Hülle abhängig von der Höhe sind. Verschließt man den Trichter in der Höhe des Wasserstandes mit einem hauchdünnen Deckel, kann dieser nicht brechen. Setzt man diesen Deckel jedoch etwas tiefer an und entfernt das über ihm liegende Wasser, so bricht dieser, da er die notwendige Gegenkraft nicht aufbauen kann.

Anwendung

Ein Wasserturm ist ein Reservoir, das höher platziert ist, als die Wasserverbraucher. Der Höhenunterschied bewirkt den hohen Wasserdruck bei den Abnahmestellen.
Die Schlauchwaage ist ein ideales Instrument zum Abmessen von Höhenunterschieden an weit entfernten Orten. Das Funktionsprinzip beruht auf den Kommunizierenden Röhren: Der Wasserstand ist in beiden senkrecht aufgestellten Enden eines Schlauches gleich hoch.
Beim Artesischen Brunnen tritt an einem Brunnenloch das Wasser von selbst nach oben.

Wichtige Persönlichkeiten

Blaise Pascal: Effekt der Kommunizierenden Röhren
Simon Stevin - Simon Stevin: Druck in unterschiedlichen Gefäßen

Literatur

Demtröder, Wolfgang: Experimentalphysik 1 - Mechanik und Wärme. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 2001, ISBN 3-540-64292-7
Bohl, Willi/Elmendorf, Wolfgang: Technische Strömungslehre. 13. Auflage. Vogel-Buchverlag, Würzburg, ISBN 3-8343-3029-9

Weblinks

Video von Kommunizierenden Röhren.

Paradoxon | Mechanik