Homomorphismus

Ein Homomorphismus (nicht zu verwechseln mit Homöomorphismus) ist eine Abbildung zwischen zwei Strukturen, durch die Teile der einen Struktur auf „bedeutungsgleiche“ Teile der anderen Struktur eindeutig abgebildet werden.

Allgemeine mathematische Definition

Man kann den Homomorphismusbegriff sehr allgemein definieren, in der Kategorientheorie als Morphismus und in der universellen Algebra als Homomorphismus. Die beiden Begriffe unterscheiden sich in einigen Eigenschaften, sind also nicht austauschbar.

Für die bekanntesten algebraischen Strukturen wie Vektorraum, Gruppen, Ringe, Körper sind aber die folgenden Darstellungen einfacher.

Homomorphismen in einigen algebraischen Strukturen

Seien A und B zwei Strukturen, z.B. Gruppen, Vektorräume, Ringe, Körper, usw.

Im folgenden bezeichne $(A, *_1, *_2, ..., e_1, e_2, ...)$ eine Struktur mit einer Trägermenge A sowie Verknüpfungen $*_i$ auf A mit jeweiligen neutralen Elementen $e_i$ .

Beispiele sind die Gruppe $(\mathbb Z, +, 0)$ der ganzen Zahlen mit der Addition als Verknüpfung und dem neutralen Element 0 oder der Körper $(\mathbb R, +, \cdot, 0, 1)$ der reellen Zahlen mit der Addition und Multiplikation. Dann gilt folgendes:

Gruppenhomomorphismus

Eine Abbildung $f: A \to B$ heißt Gruppenhomomorphismus zwischen den Gruppen $\left(A, \oplus, 1_{\oplus} \right)$ und $\left(B, \otimes, 1_{\otimes}\right)$ , wenn für alle $a, b \in A$ gilt:

f(a \oplus b) = f(a) \otimes f(b)

Damit lässt sich für einen Gruppenhomomorphismus $f$ leicht zeigen, dass

f(1_{\oplus}) = 1_{\otimes}

denn es gilt

1_\otimes = f(1_\oplus) \otimes f(1_\oplus)^{-1} = f(1_\oplus \oplus 1_\oplus) \otimes f(1_\oplus)^{-1} = f(1_\oplus) \otimes f(1_\oplus) \otimes f(1_\oplus)^{-1} = f(1_\oplus)

Für alle $a \in A$ ist $f(a^{-1})$ das Inverse zu $f(a)$ , d.h.

f(a^{-1}) = f(a)^{-1}

denn es gilt

f(a^{-1}) = f(a^{-1}) \otimes f(a) \otimes f(a)^{-1} = f(a^{-1} \oplus a) \otimes f(a)^{-1} = f(1_\oplus) \otimes f(a)^{-1} = f(a)^{-1}

Siehe auch den Artikel Gruppenhomomorphismus.

Ringhomomorphismus

Seien

(R, +, \cdot)

und

(S, \oplus, \otimes)

Ringe, sei

f\colon R\to S

eine Abbildung.

f

heißt Ringhomomorphismus genau dann, wenn

$f(a+b) = f(a)\oplus f(b)$ für alle $a,b\in R$ (d.h. $f$ ist ein Gruppenhomomorphismus von $(R, +)$ nach $(S, \oplus)$ ),
$f(a\cdot b) = f(a)\otimes f(b)$ für alle $a,b\in R$ und
$f(1_R) = 1_S$ .

Ist

S

ein Körper, so ist die dritte Bedingung automatisch erfüllt. Wenn

f(x)

invertierbar ist, dann ist

f(x^{-1})=f(x)^{-1}

Ist $f:R\to S$ ein Ringhomomorphismus, so ist der Kern von $f$

\ker f := \left\{ x\in R : f(x)=0_S \right\}

ein Ideal in

R

$f$ ist injektiv genau dann, wenn der Kern trivial ist, d.h. wenn $\ker f = \{0_R\}$ .

\Rightarrow:

Klar, da

f(0_R) = 0_S

\Leftarrow:

Sei

f(x)=f(y)

. Dann ist

f(x+(-y)) = f(x) \oplus f(-y) = f(x) \oplus -f(y) = f(x) \oplus -f(x) = 0_S

, also

x-y\in\ker f

, also

x=y

Wenn $R$ ein Körper ist, dann sind $\{0\}$ und $R$ die einzigen Ideale in $R$ , und damit ist ein Körperhomomorphismus immer injektiv.

Weitere Begriffe

universelle Algebra

Ein Homomorphismus f heißt:

Epimorphismus, wenn f surjektiv ist.
Monomorphismus, wenn f injektiv ist.
Isomorphismus, wenn f bijektiv ist und die Umkehrfunktion ebenfalls ein Homomorphismus ist (im allgemeinen muss ein bijektiver Homomorphismus kein Isomorphismus sein, siehe Homöomorphismus).
Endomorphismus auf A, wenn f die Struktur A in sich selbst abbildet.
Automorphismus auf A, wenn f: A -> A ein Isomorphismus ist.

Kategorientheorie