Das Hohenberg-Kohn-Theorem (nach Walter Kohn und Pierre Hohenberg) besagt, dass es zu einem Potential $V(\backslash vec\; r)$ im Grundzustand eines Systems von N Elektronen nur eine Elektronendichteverteilung $n(\backslash vec\; r)$ gibt. Dadurch ergibt sich eine Vereinfachung, da man statt mit 3N Variablen nur noch mit 3 Variablen rechnen muss. Das Hohenberg-Kohn-Theorem ist eine wichtige Grundlage der Dichtefunktionaltheorie (DFT), die z.B. Anwendung in quantenchemischen Ab initio-Berechnungen von Molekülen und Festkörpern findet.

Beweis (reductio ad absurdum)

Annahme: Grundzustand $\backslash Psi\_1$ nicht entartet mit Hamiltonoperator $\backslash hat\; H\_1$ und Potential $V\_1(\backslash vec\; r)$

Es gilt $E\_1\; =\; \backslash langle\; \backslash Psi\_1|\backslash hat\; H\_1|\backslash Psi\_1\; \backslash rangle\; =\; \backslash int\; V\_1(\backslash vec\; r)\; n(\backslash vec\; r)\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{d^3\}r\; +\; \backslash langle\; \backslash Psi\_1|(\backslash hat\; T\; +\; \backslash hat\; U)|\backslash Psi\_1\; \backslash rangle$

mit $\backslash hat\; T$: kinetische Energie, $\backslash hat\; U$ beschreibt die Wechselwirkung der Elektronen

Zu widerlegende Behauptung: Es gibt ein Potential $V\_2(\backslash vec\; r)\; \backslash ne\; V\_1(\backslash vec\; r)$

mit dem Rayleigh-Ritz-Prinzip:

mit $V\_1(\backslash vec\; r)\; n(\backslash vec\; r)\; =\; V\_1(\backslash vec\; r)-V\_2(\backslash vec\; r)+V\_2(\backslash vec\; r)$:

Analog ergibt sich mit $\backslash Psi\_2$ und $\backslash hat\; H\_2$:

$E\_2\; \backslash le\; \backslash langle\; \backslash Psi\_1|\backslash hat\; H\_2|\backslash Psi\_1\; \backslash rangle\; =\; E\_1\; +\; \backslash int\; (\; V\_1(\backslash vec\; r)-V\_2(\backslash vec\; r)\; )\; n(\backslash vec\; r)\backslash ,\; \backslash mathrm\{d^3\}r$

Daraus und aus der vorigen Gleichung folgt:

$E\_1\; +\; E\_2\; \backslash le\; E\_1\; +\; E\_2$

Die Annahme war also falsch und das Hohenberg-Kohn-Theorem damit bewiesen.

Literatur

• P. Hohenberg and W. Kohn, Phys. Rev. 136 (1964) B864

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