Hippasos von Metapont (* ca. 450 v. Chr.) war ein griechischer Mathematiker aus dem Kreis der Pythagoreer.

Hippasos hat (neben Archytas und Philolaos) bedeutende Entdeckungen zur pythagoreischen Mathematik beigetragen, deren Astrologie, Kalenderforschung und Musiktheorie weit über das im Mittelalter Erhaltene oder Entwickelte hinausging. Es wird angenommen, dass Hippasos es war, der den Dodekaeder entdeckte und einen Beweis für die Inkommensurabilität von Seite und Diagonale in bestimmten regelmäßigen Vielecken fand. Dieser - von Hippasos geometrisch geführte Beweis - entspricht (aus heutiger Sichtweise) der Entdeckung irrationaler Zahlen.

Beweis der Inkommensurabilität von Seite und Diagonale

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Menonbild.png Ob er den Beweis an einem Quadrat oder an einem regelmäßigen Fünfeck (das Pentagramm war das pythagoreische Ordenssymbol und enthält den Goldenen Schnitt) führte, ist nicht überliefert. In Platons Dialog Menon wird entdeckt, dass das innere Quadrat, das von den kleinen Diagonalen begrenzt wird (Bild links), halb so groß ist, wie das ganze Quadrat. Diese Diagonalen lassen sich aber nicht (wie zuerst vermutet) durch ein Fußmaß oder Teile davon messen. Der vermutete geometrische Beweis kann folgendermaßen am Fünfeck skizziert werden: Aufgabe war es, für zwei Strecken ein gemeinsames Maß zu finden, also eine kleine Teilstrecke, die beide Strecken teilt. Das Verfahren heißt Euklidische Wechselwegnahme. Man zieht die kleinere Seite so oft von der größeren ab, bis es nicht mehr geht. Nun nimmt man den verbliebenen Rest und zieht diesen wieder von der kleineren ab. Der neue Rest wird vom alten Rest abgezogen usw. Wenn es schließlich aufgeht, hat man die gesuchte Teilstrecke. Penta.jpg Hippasos bewies also, dass es keine solche kleine Maßteilstrecke geben kann. Er führte die Wechselwegnahme möglicherweise am Fünfeck durch. Man zieht zunächst die Außenkante a von der Diagonalen d ab und es ergibt sich ein Rest r. Der neue Rest sei r' := a - r. Das Erstaunliche war hier nun, dass man wieder auf das Ausgangsstreckenverhältnis stößt, weil die Länge der kleinen Diagonalen (kleiner Fünfstern in der Mitte Bild rechts) genau so lang wie r und die Außenkante wie r' ist (siehe: Goldener Schnitt). Das entstehende kleinere Fünfeck ist aber formgleich zum Ausgangsfünfeck, das bedeutet dass man wieder am Anfang steht, weil d und a dasselbe Streckenverhältnis haben wie r und r'. Es entstand der erste Unmöglichkeitsbeweis der Mathematik. Der zahlentheoretische Beweis der Irrationalität von Wurzel 2 ist erst etwa 100 Jahre später (vermutlich von Euklid selbst) entdeckt worden.

Das Ende der Doktrin des Pythagoras?

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Der Legende nach soll Hippasos diesen Beweis an Außenstehende verraten haben, wofür ihn die Pythagoreer im Meer ertränkt haben sollen. Es wird dazu folgender Zusammenhang vermutet: Die Doktrin des Pythagoras war: Das Maß aller Dinge ist die Zahl. Das kann man deuten als Behauptung, alle Zahlenverhältnisse lassen sich durch Verhältnisse natürlicher Zahlen (also als rationale Zahlen) ausdrücken. Das führte ja in der Musik zu einem harmonischen Klang der Saiten. Die Verhältnisse ließen sich bei Verallgemeinerungen in den mathematischen Forschungen der Pythagoreer nicht immer harmonisieren:

• Kalenderproblem: Sonnenjahr zu Mond-Monaten,
• Musiktheorie: Oktaven zu Quinten (Pythagoreisches Komma)
• Geometrie: Diagonale zu Seite

Möglicherweise musste Hippasos also sterben, weil nicht alle Welt wissen durfte, dass bewiesen war, dass die alte pythagoreische Lehre falsch ist.

Literatur

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• Diogenes Laertius: Leben und Meinungen berühmter Philosophen. Übers. von Otto Apelt. Meiner, Hamburg 1921, 3. Aufl. 1990 (PhB).

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• Eduard Zeller, Die Philosophie der Griechen in ihrer geschichtlichen Entwicklung Erster Teil, erste Abteilung S. 604.
• Paul Lorenzen, Die Entstehung der exakten Wissenschaften. Berlin 1960, S. 48f.
• Walter Burkert: Weisheit und Wissenschaft. Nürnberg 1962.
• W. K. C. Guthrie, History of Greek Philosophy 1, 320 ff.
• Kurt von Fritz: Die Entdeckung der Inkommensurabilität durch Hippasos von Metapont. In: ders: Grundprobleme der Geschichte der antiken Wissenschaft. Berlin/New York: de Gruyter, 1971, S. 544-575. (grundlegend)

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