Das Hilbertprogramm war ein Forschungsprogramm, das der deutsche Mathematiker David Hilbert 1920 vorschlug. Im Wesentlichen geht es um den Nachweis der Widerspruchsfreiheit der axiomatischen Systeme.

Hilbert reagierte damit auf die Antinomien, die sich aus der Cantorschen Mengenlehre ergeben hatten und insbesondere von Bertrand Russell aufgezeigt worden waren. Hilbert wollte versuchen, die gesamte „klassische“ Mathematik und Logik zu bewahren, ohne dabei auf die imprädikative Mengenlehre zu verzichten. Zitat:

Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben können.

Hilbert erkannte aber an, dass einige klassische Beweismethoden wie die reductio ad absurdum, die das tertium non datur unterstellen, als fragwürdig nachgewiesen waren. Auch das Auswahlaxiom wurde von den Intuitionisten nicht akzeptiert. Hilbert wollte die Mathematik als formales System neu definieren. Innerhalb dieses Systems sollten die üblichen Beweismethoden zulässig sein. Zitat:

Den Mathematikern den Satz vom ausgeschlossenen Dritten wegzunehmen wäre das gleiche, wie dem Astronomen das Teleskop oder dem Boxer die Benutzung seiner Fäuste zu verbieten.

Diese Vorgehensweise sollte aber dadurch abgesichert werden, dass außerhalb des „formalen Systems“, im Bereich der Metamathematik, die Widerspruchsfreiheit der formal herleitbaren Sätze nachgewiesen wird. Für diesen Nachweis wollte Hilbert nur finite Methoden zulassen, also Argumentationen, die erhaben sind über jeden Verdacht, Antinomien zu ermöglichen.

Das Ziel des Programmes war es also, einen Kalkül bzw. ein Axiomensystem zu finden, das die Mathematik und Logik auf eine gemeinsame, nachweisbar konsistente Basis stellt. Insbesondere sollte der Kalkül mächtig genug sein, um für jeden mathematischen Satz beweisen zu können, ob er wahr oder falsch ist, und alle wahren Sätze sollten aus dem System ableitbar sein. Das System musste also widerspruchsfrei und vollständig sein. Ferner sollten die Axiome so einfach sein, dass sie unmittelbar als wahr zu erkennen sind.

Das Hilbertprogramm fand breite Beachtung in der Mathematik und viele bekannte Logiker und Mathematiker beteiligten sich daran, unter anderem Paul Bernays, Wilhelm Ackermann, John von Neumann und Jacques Herbrand.

Das Hilbertprogramm schlug allerdings fehl: Der österreichische Mathematiker Kurt Gödel bewies, dass es in einem hinreichend mächtigen System immer Sätze gibt, die mit den Mitteln des selben Systems weder bewiesen noch widerlegt werden können (siehe Gödelscher Unvollständigkeitssatz). Der Brite Alan Turing kam in Bezug auf das eng verwandte Halteproblem von Automaten auf ein ähnliches Ergebnis.

Diese Erkenntnis erschütterte das Gebäude der Mathematik nachhaltig und führte zu einiger Verunsicherung. Dennoch war der Fehlschlag des Hilbertprogramms ein enormer Erfolg für Mathematik und Logik, da sie zu tieferen Erkenntnissen darüber führte, wie formale Systeme funktionieren und was sie vermögen. Viele wichtige Gebiete der modernen Mathematik und Informatik sind aus dem Hilbertprogramm hervorgegangen, insbesondere die Mengenlehre und die Berechenbarkeitstheorie.

Dieses Programm sollte nicht verwechselt werden mit Hilberts Liste von 23 mathematischen Problemen, die allerdings auch eine bedeutende Wirkung auf die Entwicklung der Mathematik hatten.

Siehe auch

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• Entscheidungsproblem
• Gödelscher Vollständigkeitssatz
• Peano-Axiome

Weblinks

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Logik Wissenschaftstheorie

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