Higgs-Mechanismus

Der Higgs-Mechanismus oder Anderson-Higgs-Mechanismus, der 1964 von dem britischen Physiker Peter Higgs, basierend auf einem Vorschlag Philip W. Andersons, ausgearbeitet wurde, ist eine Theorie, die beschreibt, wie Elementarteilchen ihre Masse erhalten. Unabhängig von Peter Higgs haben auch Brout und Englert 1964 an der Université Libre de Bruxelles schon vor Higgs, sowie Guralnik, Hagen und Kibble am Imperial College diesen Mechanismus entwickelt. Dennoch wird seine Entdeckung meist allein Higgs zugeschrieben.

Ein ähnlicher Mechanismus wurde bereits 1957 von Ernst Stückelberg entwickelt.

In der relativistischen Quantenfeldtheorie versteht man unter Higgsmechanismus meist die Erzeugung der Massen der Wechselwirkungsteilchen in Eichtheorien durch spontane Brechung der Eichsymmetrie. Higgs und die anderen Entwickler dieses Mechanismus untersuchten dabei vor allem den Fall nicht-abelscher Symmetriegruppen.

Ein derartiger Mechanismus für abelsche Eichsymmetrien wurde ursprünglich für die Festkörperphysik vorgeschlagen, um zu erklären, wie teilchenartige Strukturen sich in Metallen so verhalten können, als hätten sie eine effektive Masse.

Motivation

Experimentell werden bei Teilchen, durch deren Austausch eine Kraft beschrieben wird, sogenannte Eichbosonen, manchmal Massen gemessen. Daher muss man in die Bewegungsgleichungen für diese Teilchen Massenterme einfügen. Da die Eichfelder, mit denen die Eichbosonen beschrieben werden sich unter lokalen Symmetrietransformationen, sogenannten Eichtransformationen, ändern, kann man einen solchen Term nicht ohne weiteres in die Bewegungsgleichung schreiben, da die Bewegungsgleichung sich dann bei Eichtransformationen verändern würde.

Die Eigenschaften der Grundkräfte beruhen jedoch darauf, dass die Bewegungsgleichungen sich bei Eichtransformationen nicht ändern. Das bezeichnet man als „Eichkovarianz“ der Bewegungsgleichung. Massenterme für die Eichfelder würden also das Kraftgesetz zerstören.

Spontane Symmetriebrechung

Man verwendet daher eine sogenannte spontane Symmetriebrechung, um einerseits das Kraftgesetz zu erhalten und andererseits den Eichbosonen Masse zu geben. Dafür führt man ein zusätzliches Feld ein, nämlich das sogenannte Higgs-Feld. Dieses Feld wechselwirkt mit allen anderen Feldern und mit sich selbst wobei diese Wechselwirkung genau so konzipiert ist, dass dadurch die Eichbosonen Masse erhalten.

Im Falle der Brechung globaler Symmetrien hat die spontane Symmetriebrechung nach dem Goldstone-Theorem die Existenz masseloser Goldstonebosonen zur Folge. Das Goldstone-Theorem lässt sich jedoch nicht auf lokale Symmetrien anwenden.

Die Brechung lokaler Symmetrien wird mit dem Higgs-Mechanismus beschrieben, bei dem die Goldstone-Bosonen nicht in Erscheinung treten. Stattdessen werden die Goldstone-Moden des Higgsfeldes zu longitudinalen Polarisationsfreiheitsgraden der nun massiven Eichfelder (in der QED hat zum Beispiel das Photon als masseloses Spin-1 Feld bei einer ungebrochenen Eichsymmetrie nur zwei transversale Polarisationsfreiheitsgrade).

Higgs-Potential

In der Lagrange-Dichte lautet der Term für das Higgs-Potential

\mathcal{L}_{Higgs} = (D_{\mu} \phi)^+ (D^{\mu} \phi) + m \phi^+ \phi - \lambda (\phi^+ \phi)^2

Dabei ist

\phi

das Higgs-Feld,

m

und

\lambda

sind positive reelle Zahlen und

D_{\mu} = \partial_{\mu} - i g T_a A^a_{\mu}

ist die kovariante Ableitung, wobei die

T_a

die Generatoren der Eichgruppe sind und

A^a_{\mu}

die Eichfelder, die durch den Mechanismus eine Masse erhalten sollen.

An dieser Lagrange-Dichte ist noch nicht erkennbar, wie die Massen der Eichfelder zustande kommen. Dazu ist eine gesonderte Betrachtung des Potentials $\mathcal{V}$ hilfreich

\mathcal{V}= - m \phi^+ \phi + \lambda (\phi^+ \phi)^2

Dieses Potential beschreibt für ein reelles Feld

\phi

mit einer Komponente eine W-förmige Parabel vierter Ordnung. Da

\phi

jedoch in allen Anwendungen komplex ist, kann man es sich dreidimensional als Rotationsfigur dieser Parabel vorstellen, deren Form mit dem Boden einer Sektflasche vergleichbar ist. Wenn

\phi

mehr als eine komplexe Komponente hat, kann man sich die Form des Potentials nicht mehr so einfach anschaulich machen.

Seine wichtigste Eigenschaft ist jedoch immer gleich, es hat mehrere Minima (mindestens ein zweidimensionaler Kreis von Minima) die nicht bei null liegen. Die Minima des Potentials sind der günstigste Energiezustand für das Feld, weil es dort die niedrigste Energie hat. Man bezeichnet diesen Zustand als Grundzustand. Das Higgs-Feld hat jedoch viele Grundzustände, weil das Potential viele Minima mit gleicher Energie hat. Man spricht dabei von einem „entarteten Grundzustand“.

Der Betrag von $\phi$ im Grundzustand ist der sogenannte Vakuumerwartungswert

v = \langle \phi \rangle = \sqrt{\frac{m}{2\lambda}}

der sich durch Berechnen der Nullstellen ergibt. Man kann nun das Higgs-Feld so definieren, dass so viele Komponenten, wie man Eichfelder hat, denen man Masse geben will, von einer Nullstelle ausgehend die Nullstellenmenge nicht verlassen. Bei einem einkomponentigen komplexen Feld, bei dem man sich das Potential als unteren Teil einer Sektflasche vorstellen kann, ist diese Komponente also eine Winkelkomponente, so dass man für jeden Wert in dieser Komponente an einer anderen Stelle das Minimakreises herauskommt. Diese Komponenten ändern die Energie des Higgs-Feldes nicht. Darum kann man sie weglassen, da sie keine Auswirkungen auf die Physik haben.

Die verbleibenden Komponenten ändern dann die Energie. Sie können also nicht weggelassen werden. Diese restlichen Komponenten können dann als Teilchenfelder aufgefasst werden, die Higgs-Bosonen genannt werden. Der Vakuumerwartungswert gibt mit den Eichfeld-termen aus den kovarianten Ableitungen die Massenterme für die Eichfelder. Da bei einer Eichtransformation das Higgsfeld geändert wird, erhält man aus den Wechselwirkungstermen der Eichfelder mit den Higgsbosonen bei einer Eichtransformation Terme, die die zusätzlichen Terme aus den Massentermen der Eichfelder aufheben. Die Bewegungsgleichung sind also trotz der Massenterme eichkovariant.

Weitere Auswirkungen

Eine Yukawa-Wechselwirkung mit den Fermionfeldern des Standardmodells verleiht auch den Quarks und Leptonen ihre Masse.

Beispiele

Das Standardmodell der Elementarteilchen, insbesondere die Theorie der elektroschwachen Wechselwirkung wird durch solche Eichtheorien beschrieben. Der Vakuumerwartungswert des Higgsfeldes bricht im Standardmodell die lokale SU(2)xU(1)-Eichsymmetrie (zugehörige Erhaltungsgrößen: Schwacher Isospin und schwache Hyperladung) zur elektromagnetischen U(1)-Symmetrie (zugehörige Erhaltungsgröße: Elektrische Ladung). Drei Eichbosonen (die W- und Z-Bosonen) erhalten dabei eine Masse und einen longitudinalen Polarisationsfreiheitsgrad. Der 4. Freiheitsgrad des Higgsfeldes (welches als SU(2)-Dublett aus zwei komplexen = 4 reellen Feldern besteht) ist das Higgs-Boson.

Beispielrechung

(Original-)Literatur

Peter Higgs: Broken symmetries, massless particles and gauge fields, in: Physics Letters 12, 1964, S. 132-133
Peter Higgs: Broken symmetries and the masses of gauge bosons, in: Physical Review Letters 13, 1964, S. 508-509

Teilchenphysik Alpha-Centauri-Sendung zum Thema Higgs-Teilchen