Ein harmonischer Oszillator ist ein System, dessen Bestandteile eine harmonische Schwingung ausführen. Als harmonisch schwingend bezeichnet man den Verlauf einer physikalischen Größe, wenn sie einer Kreisfunktion (Sinus, Cosinus) folgt. Eine solche Schwingung kann erzwungen sein oder frei zustande kommen.

Ein mechanisches Beispiel eines harmonischen Oszillators ist das Federpendel, bei dem eine Masse an einer hängenden Schraubenfeder so befestigt ist, dass Federkraft und Gewichtskraft einander ausgleichen und die Masse in Ruhe ist. Wird die Masse in Richtung der Federachse angestoßen, so schwingt sie frei und harmonisch. Dieses System schwingt nicht nur im Gravitationsfeld, sondern auch im gravitationsfreien Raum. Ein anderes viel genanntes mechanisches Beispiel ist das Fadenpendel, welches allerdings nur näherungsweise harmonisch schwingt.

Ein elektrisches System, das dem Modell eines harmonischen Oszillators gehorcht, ist der elektrische Schwingkreis.

Das Modell des harmonischen Oszillators ist in der Physik von besonderem Interesse da es eines der wenigen Systeme ist, dessen Gleichungen sich exakt und nicht nur näherungsweise lösen lassen.

Bedeutung der Bezeichnung harmonisch, anharmonisch

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Harmonisch ist eine Schwingung, wenn sie sinusförmig abläuft. Voraussetzung hierfür ist, dass auf die oszillierende Masse eine Kraft wirkt, die linear zur Auslenkung ist und stets zur Ruhelage des Oszillators hin gerichtet ist. Dies kehrt in der Bewegungs-/Differentialgleichung des Oszillators im linearen Auslenkungsterm

$D\; \backslash cdot\; x$

wieder.
Eine harmonische Schwingung ist jedoch nicht mit einer symmetrischen Schwingung zu verwechseln. Zwar ist jede harmonische Schwingung auch symmetrisch, die Umkehrung (dass symmetrische Schwingungen harmonisch sind) ist jedoch falsch.
Anharmonische Schwingungen zeichnen sich durch einen nicht-linearen Auslenkungsterm

$D\; \backslash cdot\; x^n\; \backslash qquad\; n\; \backslash neq\; 1$

aus.
Anmerkung zur Schreibweise: Da der Harmonische Oszillator eine zentrale Rolle in der theoretischen- und der Experimentalphysik spielt, wird das beschreibende Adjektiv harmonisch groß geschrieben, um dem harmonischen Oszillator somit einen bezeichnenden Eigennamen zu geben.

physikalisch-mathematische Betrachtung

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Zur mathematischen Betrachtung verwenden wir die Variablen m für die oszillierende Masse, α für den Dämpfungsfaktor und D für den Auslenkungsfaktor (z.B. Federkonstante).

Zusätzlich werden im Folgenden die Ableitungen (in der Zeit) durch Punkte über den Variablen dargestellt. Beispielsweise für die zeitlichen Ableitungen von x:

$\backslash dot\{x\}\; \backslash to\; \backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; t\}\; \backslash ,\; x$ und $\backslash ddot\{x\}\; \backslash to\; \backslash frac\{\backslash partial^\{2\}\}\{\backslash partial\; t^\{2\}\}\; \backslash ,\; x$

allgemeine Differentialgleichung (DGL)

$m\; \backslash ddot\{x\}\; +\; \backslash alpha\; \backslash dot\{x\}\; +\; D\; x\; =\; F\_0\; e^\{i\; \backslash bar\{\backslash omega\}\; t\}$

Potential eines freien Harmonischen Oszillators

HO-Potetialkurve.png

Die Proportionalitätskonstante $D$ wird z.B. beim Federpendel als Federkonstante bezeichnet. Das Potential, welches ein solches Verhalten verursacht, ist das parabolische Potenzial

$V(x)=\backslash frac\{1\}\{2\}D\; x^2$

klassische Mechanik

Die zeitliche Bewegungsdynamik eines harmonischen Oszillators bezeichnet man als harmonische Schwingung. Man erhält sie mathematisch als Lösung der zugehörigen newtonschen Bewegungsgleichung

$m\; \backslash ddot\; x\; =\; -k\; x$

Die Lösung dieser Differentialgleichung ist

$x(t)\; =\; A\; \backslash sin\{(\backslash omega\; t)\}$

wobei $A$ die Amplitude und $\backslash omega\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{k\}\{m\}\}$ die Winkelgeschwindigkeit der harmonischen Schwingung ist.

Beispiele sind

• das Federpendel
• das Fadenpendel bei kleiner Auslenkung
• das Zykloidenpendel

statistische Physik

In der statistischen Physik führen harmonische Potenziale auch zu exakt lösbaren Modellen. Beispiele hierfür sind

• das Einstein-Modell und das Debye-Modell für Phononen in Kristallen
• das Gaußsche Polymermodell

Quantenmechanik

Das Einsetzen des harmonischen Potentials in die Schrödingergleichung führt zu diskreten Energieeigenwerten, (die Differentialgleichung ist nur durch Einführen der Quantenzahl v lösbar):

$E\_v\; =\; \backslash left(\; v+\backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash right)\; \backslash ,\; h\; \backslash ,\; \backslash nu\_0$

Dabei ist h das plancksche Wirkungsquantum, $\backslash nu\_0$ die Eigenfrequenz des Oszillators und v die Schwingungsquantenzahl, eine natürliche Zahl, also

$v=0,1,2,...$

Dies hat fundamentale Folgen:

1. Der harmonische Oszillator kann nicht mehr beliebige Energiemengen aufnehmen, sondern nur ganzzahlige Vielfache von $h\backslash nu\_0$. Der tiefste Energiezustand ist $E\_0=\backslash frac\{1\}\{2\}h\backslash nu\_0$

Da die Wellenfunktion bei dieser Energie bereits eine gewisse Breite hat, ist der Ort nicht genau bestimmt (siehe dazu auch Unschärferelation bzw. Nullpunktsschwingung/Nullpunktsenergie). Der niedrigste Energiezustand ist auch bei der Temperatur T = 0 K E₀.

Die allgemeinen Lösungsfunktionen sind die entsprechend normierten hermiteschen Funktionen.

Anwendungsbeispiele:

• Molekülphysik: Bindungen, Schwingungsspektren
• Festkörperphysik: Phononen

Siehe auch

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• anharmonischer Oszillator

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