Die Fensterfunktion ist ein wichtiger Begriff aus der digitalen Signalverarbeitung. Es handelt sich dabei um ein mathematisches Verfahren, bei dem der Ausschnitt eines Signales mit einer Fensterfunktion gewichtet wird. Dabei bedeutet fenstern oder Fensterung, den Ausschnitt (mit endlicher Länge $M$) eines Signals mit der gewählten Fensterfunktion zu multiplizieren. Häufig verwendete Fensterfunktionen sind das Rechteck-Fenster, das von-Hann-Fenster (auch als Hanning-Fenster oder Hann-Fenster bekannt), das Hamming-Fenster, das Blackman-Fenster, das Bartlett-Fenster (auch Dreieck-Fenster genannt) und das Welch-Fenster.

Anwendung findet eine Fensterfunktion vor allem dann, wenn das vorliegende Signal einer Frequenzanalyse mittels diskreter Fourier-Transformation unterzogen werden soll. Dies ist gleichbebeutend damit, dass der untersuchte Signalausschnitt sich periodisch wiederholt. Wird der Ausschnitt ohne weitere Berechnungen weiterverarbeitet, so entspricht dies der Fensterung mit Rechteck-Fenster. Hierbei tritt jedoch der sogenannte Leck-Effekt (Leakage Effect) auf, bei dem das Spektrum verzerrt wird und "ausläuft". Dieser kann durch Anwendung einer geeigneten Fensterfunktion verringert werden. Die Anwendung einer Fensterfunktion sorgt für einen gleichen Wert an den Rändern des Fensters, und somit für eine periodische Fortsetzbarkeit des Signals ohne Sprünge und Knicke.

Es gibt weitere verschiedene Fensterfunktionen unterschiedlicher Komplexität. Mit einfachem Rechenaufwand läßt sich das Hann-Fenster berechnen (auch als Hanning-Fenster bekannt). Das gemeinhin beste, aber auch aufwändigste Fenster ist das Kaiser-Fenster. Die Auswahl einer passenden Fensterfunktion ist anwendungsabhängig, und wird von Rechenaufwand und spektralen Eigenschaften der Fensterfunktion bestimmt.

Rechteck-Fenster

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Die Rechteckfunktion ist im gesamten Fensterbereich 1 und außerhalb 0.

Rechteckfenster.png

Hamming-Fenster

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Funktion: $w(n)\; =\; 0\{,\}54\; -\; 0\{,\}46\; \backslash cdot\; \backslash cos\backslash left(\backslash frac\{2\backslash pi\; n\}\{M\}\backslash right),\; \backslash ;\; n=-\backslash frac\{M\}\{2\},\; \backslash ldots,\; \backslash frac\{M\}\{2\}$

dabei ist $M$ die Fensterbreite und $n$ der aktuelle Wert des Eingangssignals. Diese Fensterfunktion ist benannt nach Richard Hamming.

Hammingfenster.png

von-Hann-Fenster

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Funktion: $w(n)=\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash leftn\}\{M\}\backslash right)\backslash right,\; \backslash ;\; n=-\backslash frac\{M\}\{2\},\; \backslash ldots,\; \backslash frac\{M\}\{2\}$

dabei ist $M$ die Fensterbreite und $n$ der aktuelle Wert des Eingangssignals.

Die Bezeichnung Hann-Fenster stammt aus der Publikation "Particular Pairs of Windows." von R. B. Blackman und John W. Tukey (veröffentlicht in "The Measurement of Power Spectra, From the Point of View of Communications Engineering", New York: Dover, 1959, pp. 98-99), welche dieses nach Julius von Hann benannt haben. Aus diesem Artikel stammt auch die weit verbreitete falsche Bezeichnung "Hanning-Fenster". Dort wird die Benutzung des Hann-Fensters in Verb-Form als "hanning" bezeichnet, was in dieser Form heutzutage nicht mehr formuliert wird.

Hanningfenster.png

Blackman-Fenster (3-Term)

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$w(n)=0,42\; +\; 0,5\; \backslash cdot\; \backslash cos\; \backslash frac\{2\; n\; \backslash pi\}\{M\}\; +\; 0,08\; \backslash cdot\; \backslash cos\; \backslash frac\{4\; n\; \backslash pi\}\{M\},\; \backslash ;\; n=-\backslash frac\{M\}\{2\},\; \backslash ldots,\; \backslash frac\{M\}\{2\}$

dabei ist $M$ die Fensterbreite und $n$ der aktuelle Wert des Eingangssignals.

BlackmanFenster.png

Bartlett-Fenster

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Funktion: $w(n)=1-\backslash left|\backslash frac\{2n-M\}\{M\}\backslash right|,\; \backslash ;\; n=0,\; \backslash ldots,\; M$

dabei ist $M$ die Fensterbreite und $n$ der aktuelle Wert des Eingangssignals.

bartlettfenster.png

Welch-Fenster

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Funktion: $w(n)=1-\backslash left*^2,\; \backslash ;\; n=0,\; \backslash ldots,\; M$

dabei ist $M$ die Fensterbreite und $n$ der aktuelle Wert des Eingangssignals.

welchfenster.png

Vergleich der Fensterfunktionen

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allfenster.png

Vergleich der Auswirkungen im Frequenzbereich

Fensterbezeichnung	rel. Amplitude des Nebenmaximums	Breite des Hauptmaximums
Rechteck	- 13 dB	4 $\backslash pi$ / (M+1)
Bartlett	- 25 dB	8 $\backslash pi$ / M
von Hann	- 31 dB	8 $\backslash pi$ / M
Hamming	- 41 dB	8 $\backslash pi$ / M
Blackman	- 57 dB	12 $\backslash pi$ / M

Literatur

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• Frederic J. Harris, On the use of Windows for Harmonic Analysis with the Discrete Fourier Transform, Proceedings of the IEEE, Vol.66, No.1, January 1978, pp 51-83.

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