Hamilton-Formalismus

Der 1833 von William Rowan Hamilton entwickelte Hamilton-Formalismus ist wie der Lagrange-Formalismus eine Formulierung der klassischen Mechanik. Er erlaubt die Herleitung von Bewegungsgleichungen für Probleme der klassischen Mechanik.

Der Übergang vom Lagrange- zum Hamilton-Formalismus ist gekennzeichnet durch die Ersetzung der generalisierten Geschwindigkeiten $\dot{q}_i$ durch die konjugierten Impuls p_i:

p_j = {\partial L \over \partial \dot{q}_j}

(L ist hier die Lagrangefunktion).

Die Hamilton-Funktion ist die Legendre-Transformierte der Lagrange-Funktion bzgl. der generalisierten Geschwindigkeiten $\dot{q}_i$ :

H\left(\left\{q_i\right\},\left\{p_i\right\},t\right) = \sum_i  p_i \dot{q}_i - L\left(q_i,\dot{q}_i,t\right)

\dot{q}_i = \dot{q}_i\left(q_i,p_i,t\right)

Hamiltonsche Bewegungsgleichungen

Die zu den Bewegungsgleichungen des Lagrange-Formalismus äquivalenten Bewegungsgleichungen des Hamilton-Formalismus sind gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung. Dies sind die kanonischen Hamiltongleichungen:

{\dot{q}}_j =  { \partial H \over \partial p_j }

{\dot{p}}_j = -{\partial H \over \partial q_j}

Diese Bewegungsgleichungen sind besonders einfach zu lösen, falls eine der Ableitungen verschwindet. Durch geschickte Wahl der konjugierten Orts- und Geschwindigkeitskoordinaten kann somit die Problemstellung häufig vereinfacht werden.

Beispiel: Harmonischer Oszillator

schwinger1.png Betrachten wir das Vorgehen anhand der Beispiele zum Lagrange-Formalismus:

Für einen eindimensionalen harmonischen Oszillator gilt für die kinetische Energie T und die potentielle Energie V

T=\frac{1}{2} m \dot{x}^2, V=\frac{1}{2} c x^2

\Rightarrow L=\frac{1}{2}m\dot{x}^2-\frac{c}{2}x^2

Der konjugierte Impuls ist in diesem Fall

p = {\partial L \over \partial \dot{x}} = m \dot{x}

und die Hamiltonfunktion ist

H = \frac{p^2}{2m} + \frac{c}{2}x^2 = T + V

Zu beachten ist, dass die Hamiltonfunktion eine Funktion der Koordinaten und Impulse ist.

Die Bewegungsgleichungen ergeben sich als

\dot{x} =  {\partial H \over \partial p} = { p \over m }

\dot{p} = -{\partial H \over \partial x} = - c  x

Ableiten von $\dot{x}$ und dann $\dot{p}$ einsetzen (Wenn man $p$ einsetzt gibt es bei komplizierteren Bewegungsgleichung Fehler):

$\ddot{x} = {\dot{p} \over m}$
$\Rightarrow\ \ \ \ddot{x} = -\frac{c}{m} x$

mit der Lösung $x(t)=a\cdot\sin(\omega t) + b\cdot\cos(\omega t)$ , mit $\omega=\sqrt{c\over m}$ und $a, b = \mbox{konst.}$

Betrachtet man die Gleichungen für dieses Beispiel genauer, so erkennt man sofort den physikalischen Hintergrund:

der geralisierte Impuls p ist der Impuls aus der klassischen Mechanik
$H = T + V$ ist die Gesamtenergie des Systems
$\dot{p} = - c x$ ist das zweite Newtonsche Gesetz $\dot{p} = F$ mit der rücktreibenden Federkraft $F = - c x$

Siehe auch

Analysis | Klassische Mechanik | Theoretische Physik

Gourt Home::Gourt :: Hamilton-Formalismus

Hamiltonsche Bewegungsgleichungen

Beispiel: Harmonischer Oszillator

Siehe auch