Halbwertszeit

Die Halbwertszeit ist die Zeit, in der sich ein exponentiell mit der Zeit abnehmender Wert halbiert hat. Bei exponentiellem Wachstum spricht man von einer Verdoppelungszeit.

Ein exponentielles Verhalten liegt beispielsweise vor, wenn die zeitliche Änderung einer Menge proportional zur Menge selbst ist, wie beim Zerfall radioaktiver Nuklide.

Zur Anschauung

Die nach einer Halbwertszeit verbliebene Menge einer radioaktiven Substanz halbiert sich im Lauf der nächsten Halbwertszeit, d.h. es verbleibt ¹/₂*¹/₂=¹/₄; nach 3 Halbwertszeiten ¹/₈, dann ¹/₁₆, ¹/₃₂, ¹/₆₄ und so fort. Das gilt allerdings nur statistisch für eine große Zahl von Atomkernen. Der Zerfall eines Einzelnen Kerns kann nicht vorhergesagt werden, da lediglich eine Wahrscheinlichkeit für dessen Zerfall innerhalb einer gegebenen Zeit angegeben werden kann. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein betrachteter Kern innerhalb der ersten Halbwertszeit zerfällt, beträgt 50%, dass er innerhalb von 2 Halbwertszeiten zerfällt 50% + 25% = 75%, bei 3 Halbwertszeiten beträgt der Wert 50% + 25% + 12,5% = 87,5%, u.s.w.

Zerfallsgesetz

Es sei ein radioaktives Präparat mit N₀ Kernen; zum Zeitpunkt t=0 ist noch keiner der Kerne zerfallen. Mit der Aktivität gilt die Differentialgleichung

N\cdot\lambda =-\frac{\mathrm d N}{\mathrm d t}

-\lambda \cdot \mathrm d t=\frac{\mathrm d N}{N}

\int -\lambda \cdot \mathrm d t=\int\frac{\mathrm d N}{N} \Leftrightarrow -\lambda t + C_1=\ln(N)+C_2

Für t=0 sind nach Voraussetzung noch N₀ Kerne vorhanden. Damit gilt für $C_1$

C_1=\ln \left(N_0 \right)+C_2

-\lambda t + \ln \left(N_0 \right) + C_2= \ln(N) + C_2

-\lambda t + \ln \left(N_0 \right) = \ln(N)

-\lambda t = \ln(N)-\ln\left(N_0\right) = \ln\left(\frac{N}{N_0}\right)

e^{-\lambda t} = \frac{N}{N_0}

N(t)= N_0 \cdot e^{-\lambda t}

Hierbei ist die Geschwindigkeit der Abnahme durch die Zerfallskonstante λ bestimmt. Sie ist das Reziproke der mittleren Lebensdauer $\tau = 1/\lambda$ . Beim radioaktiven Zerfall sind also nach der Zeit t von N₀ Ausgangskernen noch N(t) übrig.

Statistik des Radioaktiven Zerfalls

Die radioaktive Zerfallsrate, die Aktivität, ist der Mittelwert der Zahl der Zerfälle pro Zeiteinheit. Die tatsächliche Zahl der Zerfälle in einer festen Zeiteinheit folgt der Poisson-Verteilung, die sich bei großer mittlerer Anzahl durch eine Gauss-Verteilung annähern lässt.

Mathematische Definition der Halbwertszeit

Sei $T_{\frac{1}{n}}$ die Zeit, nach der die Ausgangsmenge $N_0$ auf das 1/n-fache abgefallen ist (für die Halbwertszeit gilt n=2):

N(T_{\frac{1}{n}})= \frac{N_0}{n} = N_0 \cdot e^{-\lambda T_{\frac{1}{n}}}

Danach wird auf beiden Seiten durch $N_0$ geteilt und logarithmiert.

\ln\left(\frac{1}{n}\right)= -\lambda \cdot T_{\frac{1}{n}}

Daraus folgt dann unter Beachtung der Logarithmengesetze:

T_{\frac{1}{n}} = \frac{\ln\left(n\right)}{\lambda}

Speziell für die Halbwertszeit gilt (n=2):

T_{\frac{1}{2}} = \frac{\ln\left(2\right)}{\lambda}

Daraus ergibt sich für das Zerfallsgesetz:

N(t)= N_0 \cdot e^{- \frac{\ln\left(2\right)}{T_\frac{1}{2}}\cdot (t-t_0)}

Beispiele

Radioaktive Halbwertszeit

Die physikalische Halbwertszeit ist in der Kernphysik diejenige Zeitspanne, die statistisch gesehen verstreicht, bis die Menge eines bestimmten radioaktiven Nuklids auf die Hälfte gesunken ist, das heißt sich in andere Atome umgewandelt hat. Für jedes Nuklid ist die Halbwertszeit eine Konstante.

Die Anzahl der verbleibenden Kerne zu einer bestimmten Zeit ist durch das Zerfallsgesetz gegeben.

Halbwertszeiten einiger radioaktiver Nuklide:

!Element !!Formelzeichen !!Halbwertszeit Bismut ²⁰⁹Bi ca. 1,9·10¹⁹ Jahre (19 Trillionen) Uran ²³⁸U 4,5 Mrd. Jahre Plutonium ²³⁹Pu 24000 Jahre Kohlenstoff ¹⁴C 5730 Jahre Radium ²²⁶Ra 1622 Jahre Caesium ¹³⁷Cs 30 Jahre Tritium ³H 12,36 Jahre Radon ²²²Rn 3,8 Tage Francium ²²³Fr 22 Minuten Thorium ²²³Th 0,9 Sekunden Polonium ²¹²Po 0,3 µs

Rein mathematisch betrachtet verschwindet die radioaktive Substanz also nie, physikalisch ist natürlich mit der Umwandlung des letzten Atoms eine Grenze gesetzt. Oft nutzt man als Abschätzung für die Zeitdauer bis zur Bedeutungslosigkeit einer radioaktiven Kontamination, die 10-fache Halbwertszeit, was einer Abnahme auf das 2^-10-fache (= 1/1024) entspricht.

Siehe auch: Lebensdauer (Physik)

Radiocarbonmethode

(Siehe auch Radiocarbonmethode)
Das radioaktive Kohlenstoffnuklid ¹⁴C ist in einem festen Verhältnis im Kohlenstoffdioxid unserer Atmosphäre enthalten. Durch den anteiligen Einbau des Nuklids bei der Photosynthese in die Biomasse der Pflanzen und weiter über die Nahrungskette kommt es auch im Körper aller Lebewesen zu einem festen Verhältnis zwischen normalem ¹²C und radioaktivem ¹⁴C. Wenn ein Lebewesen stirbt, dann hört es auf mit der Photosynthese bzw. mit der Nahrungsaufnahme. Das hat zur Folge, dass der Anteil an ¹⁴C ab genau diesem Zeitpunkt entsprechend dem radioaktiven Zerfall exponentiell mit einer Halbwertszeit von 5730 Jahren abnimmt. Anhand der ionisierenden Reststrahlung, die von einem toten Lebewesen ausgeht, kann man durch diese Radiokarbonmethode bestimmen, wie viel Prozent des ursprünglichen ¹⁴C Anteils noch vorhanden sind und in der Folge den Zeitpunkt des Todes des Lebewesens und damit das Alter des Fundes bestimmen.

Anwendungsbeispiel

Der Balken eines historischen Gebäudes hat noch 90% des ursprünglichen Gleichgewichtsanteils an ¹⁴C in frischer Pflanzenmasse. Dann gilt für die verstrichene Zerfallszeit:

\mathrm{t} = \mathrm{t}_{1/2} \cdot \mathrm{log}_2(0{,}9) = 5730a \cdot \mathrm{log}_2\left(0{,}9\right) = -870,98a

Das bedeutet, dass der Baum, aus dem der Balken gemacht wurde, vor etwa 871 Jahren geschlagen worden ist.

Die Datierung ist nicht auf das Jahr genau. Die mögliche Genauigkeit hängt von der Menge verfügbaren Probematerials und der aufgewendeten Zähldauer ab. Für die Messung mittels Beschleunigermassenspektrometrie genügen wesentlich kleinere Mengen des Probenmaterials. Zudem werden in neuerer Zeit Untersuchungen erschwert, da der C-14-Anteil durch oberirdische Atomwaffenversuche gesteigert wurde. Andererseits steigt auch der C-12-Anteil durch die massenhafte Verbrennung fossiler Energieträger, wodurch die Datierung von Funden besonders in der Nähe von Autobahnen erschwert wird.

Biologische Halbwertszeit

Die biologische Halbwertszeit bezeichnet im speziellen die Zeitspanne t_1/2, in welcher in einem biologischen Organismus (Mensch, Tier, Pflanze, Einzeller) der Gehalt einer inkorporierten radioaktiven, toxischen oder pharmazeutischen Substanz durch die Wirkung aller beteiligten biologischen und physikalischen Prozesse (Stoffwechsel, Ausscheidung, radioaktiver Zerfall, etc.) auf die Hälfte abgesunken ist.

In der Pharmakokinetik bezeichnet man als Halbwertszeit die Zeit, in der die Hälfte des aufgenommenen Arzneimittels verstoffwechselt und/oder ausgeschieden ist. Da sich die biologische Halbwertzeit aus verschiedenen Prozessen zusammensetzt, die teilweise unterschiedliche Konzentrationsabhängigkeiten besitzen, ist sie nicht immer unabhängig von der Ausgangskonzentration des untersuchten Stoffes.

Bibliometrische Halbwertszeiten

In der Bibliometrie lassen sich bei der Untersuchung von Publikationen verschiedene Halbwertszeiten feststellen. Brooks untersuchte als einer der ersten Halbwertszeiten auf diesem Gebiet.

Die Halbwertszeit von Literatur beträgt etwa 5 Jahre. Dies gilt sowohl für die Lektüre als auch die Anzahl der Zitationen. Das heißt, dass ein Werk durchschnittlich jedes Jahr um etwa 14% weniger oft aus einer Bibliothek entliehen oder zitiert wird als im vorangegangenen (abgesehen von Klassikern und den neuesten Werken).

Die Halbwertszeit von Hyperlinks beträgt etwa 51 Monate. Das heißt, dass nach einem Jahr etwa 15% aller Hyperlinks nicht mehr gültig sind.

Halbwertszeiten von PKW

Der Wiederverkaufswert eines PKW sinkt annähernd exponentiell mit seinem Alter, bei einer Halbwertszeit von ca. 4-5 Jahren. Beispielsweise liegt der Preis eines Neuwagens des Modells VW-Beetle heute (2006) bei ca. 20'000 EUR. Das Modell aus dem Jahr 2002 kostet heute ca. 10'000 EUR, das von 1998 bei ca. 5'000 EUR.

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