Gruppentheorie

berührt die Spezialgebiete

Mathematik
- Abstrakte Algebra
- Gruppentheorie

ist Spezialfall von

Magma (Axiom E)
- Halbgruppe (EA)
  - Monoid (EAN)

umfasst als Spezialfälle

Gruppe (Axiome EANI)

Die Gruppentheorie, als mathematische Disziplin im 19. Jahrhundert entstanden, ist ein Wegbereiter der modernen Mathematik, da sie eine Entkoppelung der Repräsentation (z.B. die reellen Zahlen) von der inneren Struktur darstellt (Rechengesetze für Gruppen).

Beispielsweise folgt die Gruppe, die durch das Hintereinanderausführen von Drehungen eines regulären n-Ecks in der Ebene um Vielfache des Winkels 360°/n entsteht, denselben Gesetzen wie die Addition der ganzen Zahlen modulo n. Neutrales Element – entsprechend der Null bei der Addition – wäre hier die Nicht-Drehung oder äquivalent die Drehung um einen Winkel von 0°.

Große Beiträge zur Gruppentheorie stammen unter anderem von Evariste Galois, Niels Henrik Abel, Sophus Lie.

Eine Liste von Artikeln zum Thema Gruppentheorie ist die Liste gruppentheoretischer Artikel. Knappe Begriffsdefinitionen finden sich im Gruppentheorie-Glossar.

Erklärung für Nicht-Mathematiker

Eine Gruppe wird in der Mathematik verwendet, um das Rechnen mit Zahlen zu abstrahieren, also um mit Symbolen statt mit Zahlen selbst zu rechnen. Entsprechend besteht eine Gruppe aus einer Menge von abstrakten Dingen oder Symbolen, und einer "Rechenvorschrift" (Verknüpfung), die angibt, wie mit diesen Dingen umzugehen ist. Ein Beispiel sind die ganzen Zahlen (dies ist dann die Menge) zusammen mit der Addition (dies ist die Verknüpfung).

Genauer gesagt: Eine Gruppe ist eine Menge mit einer Verknüpfung von zwei Elementen dieser Menge, etwa "a + b" oder "a × b". Des weiteren müssen die folgenden Anforderungen erfüllt sein:

Die Verknüpfung bildet die zwei Elemente in die selbe Menge ab, aus der sie kommen (Abgeschlossenheit).
Die Klammerung beim Ausrechnen ist egal (Assoziativität): a × (b × c) = (a × b) × c
Es gibt ein Element, das nichts tut (Neutrales Element): a × 1 = 1 × a = a
Es gibt ein Spiegelbild (Inverses Element): 1/a hat die Eigenschaft, beim Verknüpfen mit a das neutrale Element zu ergeben: a × 1/a = 1/a × a = 1

(Spezialfall: 5. Wenn man zudem noch die Operanden vertauschen darf, also a × b = b × a gilt (Kommutativität), dann liegt eine abelsche Gruppe vor.)

Beispiele für (sämtlich abelsche) Gruppen sind die ganzen Zahlen $\Z$ mit der Addition "+" als Verknüpfung und der Null als neutralem Element, oder die rationalen Zahlen $\Bbb Q$ ohne Null mit der Multiplikation "×" als Verknüpfung und der Eins als neutralem Element. Die Null muss hierbei ausgeschlossen werden, da sie kein inverses Element besitzt. ("1/0" ist nicht definiert.)

Mathematische Definition des Gruppenbegriffs

Definition

Das Tripel

(G,\circ,e)

mit einer Menge

G

, einer zweistelligen Verknüpfung

\circ:G\times G\rightarrow G

und einem Element

e\in G

heißt Gruppe, wenn folgende Axiome erfüllt sind:

Assoziativität: Für alle Gruppenelemente $a$ , $b$ und $c$ gilt $(a\circ b)\circ c = a\circ (b\circ c)$
Neutrales Element: Für alle Gruppenelemente $a$ gilt $a\circ e = e\circ a = a$
Inverses Element: Zu jedem Gruppenelement $a$ existiert ein Element $a^{-1}$ mit $a\circ a^{-1} = a^{-1}\circ a = e$

Eine Gruppe $(G,\circ,e)$ heißt abelsch oder kommutativ, wenn die Verknüpfung $\circ$ symmetrisch ist, d.h. wenn zusätzlich das folgende Axiom erfüllt ist:

Kommutativität: Für alle Gruppenelemente $a$ und $b$ gilt $a\circ b = b\circ a$ .

Bemerkungen zur Notation

Häufig wird für die Verknüpfung

\circ

das Symbol

\cdot

benutzt, man spricht dann von einer multiplikativ geschriebenen Gruppe. Das neutrale Element heißt dann auch Einselement und wird durch

1

symbolisiert. Wie auch bei der gewöhnlichen Multiplikation üblich, kann in vielen Situationen der Malpunkt weggelassen werden.

Eine additiv geschriebene Gruppe liegt vor, wenn für die Verknüpfung $\circ$ das Symbol $+$ benutzt wird. Das neutrale Element heißt dann auch Nullelement und wird durch $0$ symbolisiert. Das zum Gruppenelement $a$ inverse Element wird in einer additiv geschriebenen Gruppe nicht durch $a^{-1}$ , sondern durch $-a$ symbolisiert.

Wenn das neutrale Element einer Gruppe klar ist, kann anstelle von $(G,\circ,e)$ auch $(G,\circ)$ geschrieben werden. Ist auch die Verknüpfung klar, so schreibt man für die Gruppe üblicherweise nur $G$ .

Abschwächung der Definition

Die Gruppenaxiome können formal abgeschwächt werden, indem man die Axiome für das neutrale und das inverse Element folgendermaßen ersetzt:

Linksneutrales Element: Für alle Gruppenelemente $a$ gilt $e\circ a = a$ .
Linksinverses Element: Zu jedem Element Gruppenelement $a$ existiert ein Gruppenelement $a^{-1}$ mit $a^{-1}\circ a = e$ .

Diese formal schwächere Definition ist äquivalent zu der ursprünglichen Definition, denn es gilt:

Das linksinverse Element ist auch rechtsinvers, denn für beliebiges $a\in G$ gilt:

a\circ a^{-1} = e \circ (a \circ a^{-1}) = ((a^{-1})^{-1} \circ a^{-1}) \circ (a \circ a^{-1}) = (a^{-1})^{-1}\circ ((a^{-1} \circ a) \circ a^{-1}) =

=(a^{-1})^{-1} \circ (e \circ a^{-1}) = (a^{-1})^{-1} \circ a^{-1} = e

Das linksneutrale Element ist auch rechtsneutral, denn für beliebiges $a\in G$ gilt:

a\circ e = a\circ (a^{-1}\circ a) = (a\circ a^{-1}) \circ a = e\circ a = a

Grundlegende Eigenschaften einer Gruppe

Das neutrale Element einer Gruppe ist eindeutig bestimmt
Das zu einem Gruppenelement $a$ inverse Element $a^{-1}$ ist eindeutig bestimmt.

Grundkonzepte der Gruppentheorie

Ordnung einer Gruppe

Die Mächtigkeit (Kardinalität) |G| der Trägermenge der Gruppe nennt man Ordnung der Gruppe oder kurz Gruppenordnung.

Ordnung von Elementen

Hauptartikel: Ordnung eines Gruppenelementes

Ergibt ein Element a der Gruppe endlich viele Male mit sich selbst verknüpft das neutrale Element 1, d. h. es gilt: aⁿ = 1, so nennt man das kleinste derartige n die Ordnung des Elements a. Falls kein solches n existiert, sagt man, dass a unendliche Ordnung hat. In beiden Fällen entspricht die Ordnung des Elements der Ordnung der von ihm erzeugten Untergruppe.

Davon ausgehend kann man zeigen, dass die Ordnung jedes Elements einer endlichen Gruppe endlich ist und die Gruppenordnung teilt.

Untergruppen

Ist U eine Teilmenge der Trägermenge G einer Gruppe $(G,\circ)$ und gelten für $(U,\circ)$ die Gruppenaxiome, so nennt man U eine Untergruppe von G.

Hierzu ein wichtiger Satz: (Satz von Lagrange) Die Kardinalität jeder Untergruppe U einer endlichen Gruppe G teilt die Kardinalität der Gruppe G.
Ist beispielsweise |G| eine Primzahl, enthält G nur zwei Untergruppen, nämlich $\{e\}$ und G.

Nebenklassen

Definiert man auf der Menge G die Relation $\sim$ durch:

$a \sim b \Leftrightarrow a^{-1}b \in U$ ,

erhält man eine Äquivalenzrelation auf G. Die sog. Äquivalenzklasse zu einem Element a in G (d.h. diejenigen Elemente b, so dass zwischen a und b die Relation besteht), ist die Menge

$\{a\cdot u \mid u \in U\}$

und bezeichnet sie durch $a*U$ oder kurz $aU$ . Da diese Menge alle Elemente von G enthält, die durch Linksverknüpfung mit dem Element a mit sämtlichen Elementen aus U entstehen, heißt sie Linksnebenklasse von U nach dem Element a. Definiert man eine weitere Relation $a \sim b$ durch

$a \sim b \leftrightarrow ab^{-1} \in U$ ,

so ergibt sich die Menge der zu a äquivalenten Elemente in G als

$\{u \cdot a \mid u \in U\}$ .

Diese Menge entsteht also durch Rechtsverknüpfung der Elemente aus U mit dem Element a; sie wird entsprechend mit U*a oder kurz Ua bezeichnet und Rechtsnebenklasse von U nach dem Element a genannt.

Beispiel: Man nehme die ganzen Zahlen mit der Addition als G. Dann ist die Menge U aller ganzzahligen Vielfachen von 3 eine Untergruppe. Bildet man die rechten Nebenklassen, so erhält man folgende Tabelle:

U U+1 U+2 U+3=U U+4=U+1 ...

... ... ... -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ... ... ...

Man sieht, dass diese Tabelle wieder genau alle ganzen Zahlen enthält, wobei keine Zahl zweimal vorkommt. Für endliche Gruppen besagt der Satz von Lagrange: Die Anzahl der Nebenklassen multipliziert mit |U| ergibt |G|.

Die Spalten sind genau die Teilungsreste bei der Division durch 3. Jetzt mag man versucht sein, hier nur mit den Nebenklassen zu rechnen, also modulo 3, und sich fragen, ob es so ein Konzept zu jeder Untergruppe für beliebige Gruppen gibt. Dies führt zur folgenden Definition:

Normalteiler

Ist für jedes Element b aus G die linke Nebenklasse von U gleich der rechten, d. h. U × b = b × U, so nennt man U einen Normalteiler von G.

Ein Sonderfall ist: In einer abelschen Gruppe G ist jede Untergruppe Normalteiler.

Faktorgruppe

Damit können wir nun unser Konzept des Rechnens auf den Nebenklassen umsetzen: Ist U ein Normalteiler, dann kann man auch nur mit den Nebenklassen rechnen und erhält eine Gruppe.

Dies geht wie folgt: man nimmt irgendein Element aus der einen Spalte und multipliziert es mit einem beliebigen Element aus der anderen Spalte. Die Spalte, in der das Ergebnis liegt, ist das Ergebnis meiner Multiplikation.

Die mit dieser Multiplikation und den Spalten (Nebenklassen) als Elementen definierte Gruppe nennt man die Faktorgruppe von G bezüglich U.

Zyklische Gruppen

Gibt es in G ein Element a, so dass man jedes andere Element als Potenz a^k (mit einer ganzen Zahl k) schreiben kann, so nennt man G eine zyklische Gruppe und a erzeugendes Element.

Ausblick

Es gibt auch Verallgemeinerungen der Gruppentheorie. Eine Herangehensweise ist die Definition der Halbgruppen und Monoide: Für Halbgruppen wird nur die Assoziativität verlangt. Existiert in einer Halbgruppe ein neutrales Element, so spricht man von einem Monoid.

Eine andere Verallgemeinerung stellen die Quasigruppen dar.

Anwendung in der Chemie

Die Chemie beschäftigt sich mit Molekülen. Diese lassen sich mit Hilfe von Symmetrieoperationen (Spiegelung, Drehung, Inversion, Drehspiegelung) auf sich selbst abbilden. Die Symmetrieoperationen haben die Eigenschaften von Gruppen, die sog. Punktgruppen. Außerdem kann gezeigt werden, dass die Gruppentheorie auch für die Symmetrie von Funktionen gilt, also auch für Wellenfunktionen. Dadurch kann der Rechenaufwand von quantenchemischen Rechnungen erheblich verringert werden. Weiterhin ist sie hilfreich zur Beschreibung von SALKs (Symmetrieadaptierten Linearkombinationen aus Atomorbitalen), was in der MO-Theorie und Ligandenfeldtheorie Anwendung findet. Außerdem ist die Gruppentheorie für die IR-Spektroskopie von Bedeutung, IR-, Raman-Eigenschaften, Vorhandensein von Quadrupol- und Octopolmoment können direkt aus der Charaktertafel eines Moleküls abgelesen werden. Moleküle mit mindestens zwei nicht zusammenfallenden Symmetrieachsen haben kein Dipolmoment. Moleküle, die nur die Symmetrieelemente Identität oder eine Drehspiegelachse aufweisen, können chiral und daher optisch aktiv sein. Moleküle, die eine Spiegelachse haben, sind nicht optisch aktiv, auch wenn sie chirale Zentren enthalten, z.B. Meso-Verbindungen. In der Kristallographie kommt die Gruppentheorie in Form von Kristallographischen Raumgruppen vor. Weiterhin findet die Gruppentheorie Anwendung bei der Theorie der Erhaltung der Orbitalsymmetrie (siehe: Woodward-Hoffmann-Regeln).

Anwendung in der Physik

Die Symmetriegruppen der Kristalle werden selbstverständlich auch für die Festkörperphysik verwandt.

Zudem baut die Quantenmechanik vielfach auf Symmetriegruppen und Lie-Gruppen auf. So werden die Elektronenspin zustände durch die Paulischen Spinmatrizen-Gruppe beschrieben. Auch in der Kernphysik werden gruppentheoretische Überlegungen zur Beschreibung des Kernaufbaus verwandt. In der Teilchenphysik und den Quantenfeldtheorien schließlich findet die Gruppentheorie Anwendung als Ordnungsschema.

Siehe auch

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