Gruppenoperation

In der Mathematik tritt der Begriff der Operation bei der Betrachtung von Gruppen und ihrem Zusammenspiel mit anderen Strukturen auf.

Definition

Eine Linksoperation (auch Linkswirkung oder Linksaktion) einer Gruppe $G$ auf einer Menge $M$ ist eine Abbildung

G\times M\to M,\quad (g,m)\mapsto g\cdot m,

die die folgenden Eigenschaften erfüllt:

$e\cdot m=m$ für alle $m\in M$ ; dabei ist $e\in G$ das neutrale Element.
$(gh)\cdot m = g\cdot(h\cdot m)$ für alle $g,h\in G,m\in M.$

Entsprechend ist eine Rechtsoperation eine Abbildung

M\times G\to M,\quad (m,g)\mapsto m\cdot g,

die die Eigenschaften

$m\cdot e=m$ für alle $m\in M$
$m\cdot(gh) = (m\cdot g)\cdot h$ für alle $g,h\in G,m\in M$

erfüllt.

Eine Gruppenoperation oder Gruppenaktion ist eine Links- oder Rechtsoperation.

Eine Linksoperation kann auch definiert werden als ein Gruppenhomomorphismus

G\to\operatorname{Aut}M;

dabei ist

\operatorname{Aut}M

die Gruppe der bijektiven Abbildungen

M\to M

, auch als symmetrische Gruppe auf

M

bezeichnet. Wichtig ist dabei, dass diese Abbildungen von links wirken, d.h.

(f\circ g)(m)=f(g(m))

für

f,g\in\operatorname{Aut}M,m\in M.

Ist $G\times M\to M$ eine Linksoperation wie oben, so entspricht ihr der Homomorphismus

G\to\operatorname{Aut}M,\quad g\mapsto(m\mapsto g\cdot m).

Begriffe im Zusammenhang mit Gruppenoperationen

Es sei $M$ eine Menge mit einer linken $G$ -Operation.

Für ein $m\in M$ nennt man

G\cdot m = \{g\cdot m\mid g\in G\}

die Bahn oder den Orbit von

m

. Die Bahnen bilden eine Partition von

M

. Die Anzahl der Elemente einer Bahn (bzw. ihre Mächtigkeit) wird auch die Länge der Bahn genannt.

Die Menge der Bahnen ist die Menge der Äquivalenzklassen bezüglich der Äquivalenzrelation:

m_1\sim m_2

, falls es ein

g\in G

gibt, für das

gm_1=m_2

gilt.

Sie wird mit

G\backslash M

bezeichnet und Bahnenraum genannt. (Für eine Rechtsoperation ist die Notation

M/G

Für ein $m\in M$ nennt man

G_m = \{g\in G\mid g\cdot m=m\}

den Stabilisator oder die Isotropiegruppe oder die Fixgruppe von

m

G_m

ist eine Untergruppe von

G

. Die Operation definiert eine kanonische Bijektion zwischen den Nebenklassen des Stabilisators und der Bahn:

G/G_m\cong G\cdot m,\quad gG_m\mapsto g\cdot m.

Ist $N\subseteq M$ eine Teilmenge und $H\subseteq G$ eine Untergruppe, und gilt

H\cdot N\subseteq N

mit

H\cdot N=\{h\cdot n\mid h\in H,n\in N\},

so sagt man, dass

N

stabil unter

H

ist oder dass

N

von

H

stabilisiert wird. Es gilt dann stets sogar

H\cdot N=N

. Der Stabilisator eines Punktes

m\in M

ist also die maximale Untergruppe von

G

, die

\{m\}

stabilisiert.

Gibt es zu je zwei Elementen $m_1,m_2\in M$ ein $g\in G$ , so dass $gm_1=m_2$ gilt, so heißt die Operation transitiv. In diesem Fall gibt es nur eine einzige Bahn.

Folgt aus $g\cdot m=m$ für ein $m\in M$ , dass $g=e$ gilt, so heißt die Operation frei. Dies ist äquivalent dazu, dass sämtliche Stabilisatoren trivial sind, d.h. $G_m=\{e\}$ für alle $m\in M$ .

Folgt aus $g\cdot m=m$ für alle $m\in M$ , dass $g=e$ gilt, so heißt die Operation treu. Dies ist äquivalent dazu, dass der zugehörige Homomorphismus $G\to\operatorname{Aut}M$ injektiv ist.

Wenn $N$ eine weitere Menge mit ein linken $G$ -Operation * ist und $f:M\to N$ eine Abbildung, sodass für alle $g\in G$ und für alle $m\in M$ gilt

f(g\cdot m)=g* f(m)

dann heißt

f

G

-äquivariante Abbildung oder auch Homomorphismus von

G

-Mengen.

Operationen auf allgemeineren Objekten

Ist $M$ eine abelsche Gruppe, so ist eine Linksoperation einer Gruppe $G$ auf $M$ ein Gruppenhomomorphismus

G\to\operatorname{Aut}M;

dabei ist

\operatorname{Aut}M

die Gruppe der Automorphismen von

M

als abelsche Gruppe. Äquivalent dazu kann man diese Operation auch beschreiben durch eine Abbildung

G\times M\to M,

die eine Linksoperation auf

M

als Menge definiert und zusätzlich kompatibel zur Struktur von

M

ist, d.h.

$g\cdot(m+n)=g\cdot m+g\cdot n$ für $g\in G,m,n\in M$

erfüllt.

Eine abelsche Gruppe mit einer $G$ -Operation wird auch $G$ -Modul genannt.

Ist allgemein $M$ ein Objekt einer beliebigen Kategorie, so kann eine Operation einer (abstrakten) Gruppe $G$ auf $M$ definiert werden als ein Gruppenhomomorphismus

G\to\operatorname{Aut}M;

dabei ist

\operatorname{Aut}M

die Gruppe der Automorphismen von

M

im kategorientheoretischen Sinne. Die oben genannten Operationen von Gruppen auf Mengen oder abelschen Gruppen sind Spezialfälle.

Beispiele

Linkstranslation

(Einiges davon könnte z.B. in einen Artikel Faktorgruppe.)

Ein Beispiel einer Operation ist die Linkstranslation (Linksmultiplikation) innerhalb einer Gruppe (G, *, e). Definiert man s.t := l_s(t) := s*t, dann operiert G auf sich selbst, denn es ist e.s = e*s = s und (s*t).x = (s*t)*x = s*(t*x) = s.(t.x).

T ist die Abbildung, die jedem Element s die Linkstranslation mit s, l_s: G -> G, zuordnet. Diese Zuordnung T ist injektiv, man erhält hieraus den

Satz von Cayley: Jede endliche Gruppe der Ordnung n ist isomorph zu einer Untergruppe der symmetrischen Gruppe S_n.

Analoges gilt auch für die Rechtstranslation s.x := x*s.

Betrachtet man eine Untergruppe H von G, dann operiert auch H durch die Linkstranslation auf G. Die Bahn Hs:=H.x eines Elements s von G heißt Rechtsnebenklasse von s. Die Menge aller Rechtsnebenklassen bezeichnet man mit

H\G,

ihre Mächtigkeit mit

G : H := |H\G|.

Da die Linkstranslation eine Bijektion ist, gilt |Hs| = |H| für jedes s aus G. Daraus folgt mit der Bahnengleichung (s.u.) der

Satz von Euler-Lagrange: Für jede Untergruppe H einer endlichen Gruppe G gilt

|G| = (G : H) \cdot |H|.

Insbesondere ist die Ordnung von H ein Teiler der Ordnung von G.

Betrachtet man stattdessen die Rechtstranslation von H auf G, dann nennt man die Bahn sH:=H.x von s seine Linksnebenklasse. Man beachte, dass im allgemeinen nicht sH = Hs sein muss. Die Menge aller Linksnebenklassen bezeichnet man mit G/H. Man kann zeigen, dass es genauso viele Linksnebenklassen wie Rechtsnebenklassen gibt, dass also

G : H = |G/H|.

Eine Untergruppe H von G heißt Normalteiler, wenn sH = Hs für alle s aus G gilt. Ist H ein Normalteiler von G, dann wird durch

sH*tH := (s*t)H

eine wohldefinierte Verknüpfung von G/H definiert, mit der G/H eine Gruppe ist, man nennt sie die Faktorgruppe G modulo H.

Konjugation

Eine Gruppe G operiert auf sich durch die Konjugation s.t := f_s(t) := s^-1*t*s. Die Automorphismen f_s(t) = s^-1*t*s heißen innere Automorphismen, die Menge aller inneren Automorphismen bezeichnet man mit Inn(G).

Automorphismengruppe einer Körpererweiterung

Ist L/K eine Körpererweiterung, dann bezeichnet man mit Aut(L/K) die Gruppe aller Automorphismen von L, die K punktweise fest lassen. Diese Gruppe operiert auf L durch f.x := f(x). Jede Bahn besteht aus den in L liegenden Nullstellen eines Polynoms mit Koeffizienten in K, das über K irreduzibel ist. Elemente derselben Bahn nennt man hier konjugiert über K, sie haben dasselbe Minimalpolynom über K.

Andere Beispiele

Man kann die skalare Multiplikation eines Vektorraums V mit seinem Grundkörper K als Operation auffassen: x.v := x*v. Dabei ist die multiplikative Gruppe K^* die Gruppe G und V die Menge M.

Eigenschaften

Operiert G auf M, dann bilden die Bahnen eine Zerlegung von M, das heißt: Je zwei Bahnen sind disjunkt oder gleich, und jedes Element von M liegt in einer Bahn. Denn man kann die folgende Äquivalenzrelation "~" definieren:

Sind x, y aus M, dann sei x~y, falls ein s in G existiert, so dass s.x = y ist.

Die Äquivalenzklassen dieser Relation sind genau die Bahnen. Daraus folgt die

Bahnengleichung: Die Mächtigkeit von M ist gleich der Summe über die Länge aller Bahnen.

Ist x aus M, dann ist die Abbildung i: G/G_x -> G.x, i(s*G_x) = s.x, eine Bijektion. Denn ist s*G_x = t*G_x, dann ist p:=s^-1*t in G_x, also p.x = x und t.x = (s*p).x = s.x. Also ist i wohldefiniert. Offenbar ist i surjektiv (denn G.x besteht gerade aus allen s.x). i ist auch injektiv, denn es gilt: s.x = t.x

> s^-1t.x* = x

> s^-1*t in G_x ==> s*G_x = t*G_x.

Aus dieser Bijektion folgt für eine endliche Gruppe G

|G.x| * |G_x| = |G|

Insbesondere ist dann die Länge jeder Bahn ein Teiler der Ordnung von G.

Gruppentheorie

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Definition

Begriffe im Zusammenhang mit Gruppenoperationen

Operationen auf allgemeineren Objekten

Beispiele

Linkstranslation

Konjugation

Automorphismengruppe einer Körpererweiterung

Andere Beispiele

Eigenschaften

> s-1*t.x = x

> s^-1t.x* = x