Die Bezeichnung Golay-Code steht für zwei eng verwandte Codes, welche eine herausragende Stellung in der Codierungstheorie einnehmen. Sie sind bis auf Isomorphie die einzigen beiden perfekten Codes, die mehr als einen Fehler korrigieren können. Sie sind nach dem Mathematiker Marcel J. E. Golay benannt. In beiden Fällen handelt es sich um einen quadratischer Rest-Code und damit insbesondere um einen zyklischen Code und einen linearen Code.

Der binäre Golay-Code

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Der binäre Golay-Code $G\_\{23\}$ ist definiert als der binäre quadratische Reste-Code der Länge 23. Als linearer Code hat er die Parameter $(n,k,d)\; =\; (23,12,7)$. Das bedeutet, dass der Code ein 12-dimensionaler Untervektorraum des 23-dimensionalen Vektorraums $\backslash mathbb\{F\}\_2^\{23\}$ mit der minimalen Hamming-Distanz 7 ist. Es folgt $t=\backslash left\backslash lfloor\backslash frac\{d-1\}\{2\}\backslash right\backslash rfloor=3$. Der Code ist also 3-fehlerkorrigierend.

Die Parameter erfüllen die Gleichung

$q^k\; \backslash sum\_\{k=0\}^t\; \{n\; \backslash choose\; k\}(q-1)^k=q^n$

Deshalb ist der binäre Golay-Code $G\_\{23\}$ perfekt.

Der erweiterte binäre Golay-Code

Hängt man dem binären Golay-Code $G\_\{23\}$ ein Paritätsbit an, so erhält man den erweiterten binären Golay-Code $G\_\{24\}$ mit den Parametern $(n,k,d)=(24,12,8)$. Dieser Code ist doppelt gerade, d.h. alle Codewörter haben ein durch 4 teilbares Hamming-Gewicht.

Die Automorphismengruppe des erweiterten binären Golay-Codes ist die Mathieu-Gruppe $M\_\{24\}$, eine sporadische Gruppe.

Der ternäre Golay-Code

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Der ternäre Golay-Code $G\_\{11\}$ ist definiert als der ternäre quadratische Reste-Code der Länge 11. Als linearer Code hat er die Parameter $(n,k,d)\; =\; (11,6,5)$. Das bedeutet, dass der Code ein 6-dimensionaler Untervektorraum des 11-dimensionalen Vektorraums $\backslash mathbb\{F\}\_3^\{11\}$ mit dem Mindestabstand 5 ist. Es folgt $t=\backslash left\backslash lfloor\backslash frac\{d-1\}\{2\}\backslash right\backslash rfloor=2$. Der Code ist also 2-fehlerkorrigierend. Auch hier erfüllen die Parameter die oben genannte Gleichung, also ist auch der ternäre Golay-Code $G\_\{11\}$ perfekt.

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Golay code