Eine Gleitkommazahl (auch Gleitpunktzahl oder Fließkommazahl; engl. floating point number) ist eine approximative Darstellung einer reellen Zahl. Die Menge der Gleitkommazahlen ist eine endliche Teilmenge der rationalen Zahlen, erweitert um einige Spezialelemente (+Unendlich, −Unendlich, NaN (=„Not A Number“), −0, usw. siehe unten). Zusammen mit den auf ihnen definierten Operationen bilden die Gleitkommazahlen eine endliche Arithmetik, die vor allem im Hinblick auf numerische Berechnungen mit Computern entwickelt wurde.

Idee

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Alle (mechanischen oder elektronischen) Rechenhilfsmittel von Abakus bis zum Computer verwenden als einfachste Form der Zahldarstellung Festkommazahlen. Dabei wird eine meistens begrenzte Ziffernfolge gespeichert und an festgelegter Stelle das Komma angenommen. Additionen und Subtraktionen erfolgen unabhängig von der Stelle des Kommas, wenn es in allen Operanden an derselben Stelle steht; erst bei Multiplikationen und Divisionen muss die Kommaposition berücksichtigt werden. Ganze Zahlen sind ein Sonderfall, bei dem das Komma rechts (von der rechtesten Stelle) steht; der zweite Extremfall ist der mit dem Komma ganz links (alle Werte sind )

Bei größeren Rechnungen treten unweigerlich Überläufe auf, die eine Skalierung der Werte und eine erneute Durchrechnung erforderlich machen, um Endergebnis und alle Zwischenergebnisse in den erlaubten Wertebereich zu bringen. Diese Skalierung ist zeitraubend und muss automatisiert werden.

Ein naheliegender und direkt zu Gleitkommazahlen führender Gedanke ist dabei, bei jedem Wert die genaue Stelle des Kommas zusätzlich zu speichern. Das bedeuted mathematisch nichts anderes als die Darstellung der Zahl $x$ mit zwei Werten, der Mantisse $m$ und dem Exponent $e$: $x\; =\; m\; \backslash cdot\; 10^e$. Die Freiheit bei der Wahl des Exponenten kann genutzt werden, um die Mantisse in einen festgelegten Wertebereich, z. B. zu bringen. Dieser Schritt heißt Normalisierung der Mantisse.

Beispiel: Die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum beträgt c = 299.792.458 m/s = 299.792,458·10³ m/s = 0,299.792.458·10⁹ m/s = 2,997.924.58·10⁸ m/s. Nur der letzte Wert ist normalisiert.

Diese Schreibweise wurde von Physikern und Mathematikern schon seit langem verwendet, um sehr große und sehr kleine Zahlen angeben zu können. Noch heute wird deshalb die Gleitkommaschreibweise auf Taschenrechnern speziell als wissenschaftliches Format (sci) bezeichnet.

Wenn man sie bei Rechnungen verwendet, geschieht im Grunde nichts anderes, als statt einer einzigen Skalierung einer ganzen Rechnung jedes Zwischenergebnis individuell zu skalieren. Diese Skalierung (Berechnung des Exponenten) jedes Zwischenergebnisses erfordert zusätzlichen Rechenaufwand und wurde deshalb bis weit in die 1980er Jahre nach Möglichkeit vermieden. So hatten die damaligen PCs nicht standardmäßig einen Gleitkommaprozessor. Und natürlich erfordert sie zusätzlichen Speicheraufwand, um bei jeder Zahl einen Exponenten zu speichern. Dieser Speicheraufwand zieht entweder erhöhten Speicherbedarf nach sich oder geht auf Kosten der Stellenzahl. Folglich hatten auch nur die Höchstleistungsrechner (number cruncher) eine Gleitkommaarithmetik oder wenigstens eine Hardwareunterstützung einer Software-Gleitkommaarithmetik.

Da die Wahl der Basis 10 willkürlich und nur historisch erklärbar ist, können Gleitkommazahlen natürlich mit beliebigen Basen dargestellt werden, im allgemeinen gilt also $x\; =\; m\; \backslash times\; b^e$ mit einer beliebig gewählten Basis $b$. Rechenanlagen verwenden $b\; =\; 2$ oder $b\; =\; 16$ (heute selten). Bei beliebiger Basis ist die Bedingung für normalisierte Zahlen natürlich .

Die erste dokumentierte Verwendung der Gleitkommaschreibweise liegt etwa 2700 Jahre zurück: Im Zweistromland wurden damals wissenschaftliche Rechnungen mit der Basis $b\; =\; 60$ durchgeführt und der Exponent (eine meistens kleine ganze Zahl) einfach im Kopf mitgeführt. Dasselbe Vorgehen war bis vor kurzer Zeit bei Berechnungen mit einem Rechenschieber üblich. Die Gleitkommadarstellung wurde in Rechenautomaten erstmals von Konrad Zuse für seine Computer Z1 und Z3 verwendet.

Darstellung

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Im letzten Abschnitt wurden die wesentlichsten Parameter einer Gleitkommazahl schon angedeutet. Es sind Basis $b$, Anzahl der Mantissenstellen $p$ und Anzahl der Exponentenstellen $r$. Hinzu kommen weitere Parameter, die beim Rechnen die Rechenoperationen erleichtern sollen. In diesem Abschnitt werden Parameter und Bitfelder einer allgemeinen Gleitkommazahl kurz beschrieben.

Vorzeichen der Zahl

Das Vorzeichen v einer Gleitkommazahl (+ oder −; auch +1 oder −1) kann immer in einem Bit kodiert werden. Meistens wird das Bit S = 0 für positive Zahlen (+) und das Bit $S\; =\; 1$ für negative Zahlen (−) verwendet. Mathematisch kann man schreiben $v\; =\; (-1)^S$

Basis $b$

Der wichtigste Parameter ist die gewählte Basis $b$. Zahlen, die von Menschen direkt verarbeitet werden, verwenden entweder $b\; =\; 10$ (siehe das Beispiel der Lichtgeschwindigkeit weiter oben) oder $b\; =\; 1000$. In diesem speziellen Fall verwendet man für den Exponenten die SI-Vorsilben Kilo=1, Mega=2, Giga=3, Tera=4 und milli=-1, mikro=-2, nano=-3, piko=-4 des internationalen Einheitensystems. Die Entfernungsangabe von Regensburg nach Würzburg mit 220 km kann daher auch in der Form $220\{,\}0\backslash cdot\; 1000^1\; m$ dargestellt werden.
Ein Speicher von 2 Tbyte = 2 Terabyte enthält $2,0\backslash times\; 1000^4\; Byte$.

Im Computer haben sich das Dualsystem und seine Verwandten durchgesetzt und es sind die Basen $b\; =\; 2$, $b\; =\; 8$ und $b\; =\; 16$ üblich. Seit der Norm für Gleitkommazahlen IEEE 754 wird in modernen Computern fast ausschließlich die Basis $b\; =\; 2$ verwendet.

Für die externe Schreibweise von Gleitkommazahlen im Dezimalsystem beim Computer hat sich eine Form durchgesetzt, bei der der Exponent mit dem Buchstaben e, bei einem double-Format manchmal auch mit d markiert wird.

Beispiel: Die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum beträgt c = 2,997.924.58 · 10⁸ m/s = 2,997.924.58e8 m/s.

Anzahl der Mantissenstellen $p$

Die Mantisse ist der wesentliche Teil einer Gleitkommazahl, der den Wert dieser Zahl enthält. Die Anzahl $p$ der Mantissenstellen drückt also aus, wieviele Stellen gespeichert werden oder wie exakt die Zahl approximiert wird. Dieser Gleitkommaparameter kann basisunabhängig auch in Form der kleinsten Zahl $\backslash epsilon$ angegeben werden, die zu 1 addiert werden kann und ein von 1 verschiedenes Ergebnis liefert ($1\; +\; \backslash epsilon\; >\; 1;\; \backslash epsilon$ minimal!) (s. u. bei Eigenschaften).

Beispiel: Bei IEEE 754 Zahlen vom Typ Single mit der Basis $b\; =\; 2$ ist die Mantisse $p\; =\; 24$ Stellen lang. Hier ist $\backslash epsilon\; =$ 1.19209289551e−0007.

Anzahl der Exponentenstellen $r$

Der Exponent enthält die Größenordnung der Zahl. Mit der Anzahl $r$ der Exponentenstellen wird also der Wertebereich eines Typs von Gleitkommazahlen beschrieben. Dieser Parameter wird basisunabhängig oft einfach mit dem größten darstellbaren Wert max (größte Mantisse und größter Exponent) und manchmal zusätzlich durch den kleinsten positiven Wert minpos (kleinste normalisierte Mantisse und kleinster Exponent) dargestellt.

Beispiel: Bei IEEE 754 Zahlen vom Typ Single mit der Basis $b\; =\; 2$ ist der Exponent $r\; =\; 8$ Stellen lang. Sein Wert liegt zwischen −126 und 127. Damit ist max = 3.40282366921e+0038 und minpos = 1.17549435082e−0038. Beide Größen beschreiben den zulässigen Wertebereich.

Normalisierung

Das Rechnen mit normalisierten Zahlen ist um vieles einfacher, weshalb fast alle Implementatoren einer Gleitkommaarithmetik nur normalisierte Zahlen zulassen. Damit ist nur noch die genaue Normalisierungsbedingung frei. Die beiden natürlichen Normalisierungsbedingungen sind und .

In der IEEE 754 Norm wurde die zweite gewählt.

Darstellung der 0

Wenn man sich für normalisierte Gleitkommazahlen entschieden hat, kann die wichtige Zahl 0 nicht mehr dargestellt werden, da die Gleichung $0\; =\; m\; \backslash times\; b^e,\; m\; \backslash ne\; 0$ keine Lösung hat. Die Zahl 0 ist also in jedem normalisierten Gleitkommasystem ein Sonderfall.

Mögliche Lösungen sind:

• $m\; =\; 0$; Der bei normalisierten Zahlen verbotene Wert 0 der Mantisse bedeutet (natürlicherweise) die Zahl 0.
• $e\; =\; 0$; Der spezielle Wert $e\; =\; 0$ im Exponenten bedeutet die Zahl 0.

Die erste der beiden Lösungen ist natürlicher. Da aber oft die Anzahl der Mantissenstellen weit größer als die Anzahl der Exponentenstellen ist, ist die zweite Lösung technisch einfacher umzusetzen.

Darstellung des Exponenten

In Gleitkommasystemen ist der Exponent eine Zahl mit Vorzeichen. Das verlangt vom Implementierer eine zusätzliche ganzzahlige Arithmetik mit Vorzeichen für Exponentenberechnungen. Dieser zusätzliche Aufwand kann vermieden werden, wenn zum Exponenten $e$ eine feste Zahl $B$, der Biaswert oder Exzess, addiert wird und statt des Exponenten $e$ die Summe $E\; =\; e\; +\; B$ gespeichert wird. Diese Summe ist dann eine vorzeichenfreie positive Zahl. Meistens wird die Verwendung eines Bias $B$ mit der Darstellung der 0 durch $e\; =\; 0$ kombiniert.

Eine heute selten anzutreffende Alternative ist die Darstellung des Exponenten im Zweierkomplement, im Einerkomplement oder als Betrags-Vorzeichenzahl.

Der Vorteil der Biased-Darstellung besteht darin, dass auf diese Weise ein Größer/Kleiner-Vergleich zwischen zwei positiven Gleitkommazahlen erleichtert wird. Es genügt, die Ziffernfolgen em, also jeweils Exponent e gefolgt von Mantisse m, lexikografisch miteinander zu vergleichen. Eine Gleitkomma-Subtraktion mit anschließendem Vergleich auf Null wäre weitaus aufwändiger. Der Nachteil der Biased-Darstellung gegenüber der Zweierkomplement-Darstellung besteht darin, dass nach einer Addition zweier Biased-Exponenten der Bias subtrahiert werden muss, um das richtige Ergebnis zu erhalten.

Kurzdarstellung der Parameter

In den letzten Jahren hat sich die folgende Kurzdarstellung der wesentlichen Parameter $b$, $p$, $r$ und $B$ eines Gleitkommasystems durchgesetzt. Dabei schreibt man durch Punkte getrennt die Größen 1, $r$, $p$, $B$ und $b$ in genau dieser Reihenfolge auf. Die (eigentlich selbstverständliche) 1 ist dabei die Anzahl der Vorzeichenbits. Eine IEEE 754 Single Zahl ist also eine 1.8.24.127.2 Gleitkommazahl. Geht die Basis $b$ und der Bias $B$ aus dem Zusammenhang hervor, kann beides weggelassen werden und man spricht von einer 1.8.24 Gleitkommazahl (Diese Schreibweise darf natürlich nicht mit den ähnlich aussehenden IP-Adressen verwechselt werden).

Eine zweite gängige Schreibweise lässt das Vorzeichenbit weg und gibt nur Mantissenlänge und Exponentenlänge an: s24e8.

Hidden Bit

Bei der Darstellung normalisierter Mantissen im Binärsystem kann ein Bit eingespart werden. Da die erste Stelle einer normalisierten Zahl immer ungleich 0 ist, ist diese Stelle im Binärsystem immer gleich 1. Eine Ziffer mit dem festen Wert 1 muss nicht mehr explizit gespeichert werden, da sie implizit bekannt ist. Wird diese Möglichkeit genutzt, spricht man von einem hidden bit. Das erwähnte IEEE-Format für Gleitkommazahlen macht von dieser Einsparungsmöglichkeit Gebrauch.

Allerdings erzwingt die Verwendung eines Hidden Bit die Darstellung der Null im Exponenten, da $m\; =\; 0$ mit hidden bit die Zahl 1.0 = 1 kodiert.

Eigenschaften einer Gleitkommaarithmetik

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Gleitkommazahlen warten besonders für den mathematischen Laien mit einigen Überraschungen auf, die auch oft das Ergebnis von Taschenrechner- und Computerrechnungen beeinflussen. Am wichtigsten sind außer Kraft gesetzte geläufige mathematische Rechenregeln. Wer intensiv mit einem Rechenhilfsmittel arbeitet muss diese Eigenschaften kennen.

Alle Eigenschaften gehen auf die begrenzte Genauigkeit zurück, mit der die Mantisse gespeichert wird. Auch dem mathematischen Laien wird die Konsequenz dieser Begrenzung meistens sofort klar, wenn er sich überlegt, dass die unendlich vielen reellen Zahlen nur noch durch zwar sehr viele (etwa 10^20) aber in jedem Fall nur noch durch endlich viele Werte dargestellt werden. Wer schon weiß, dass es sogar mehr als abzählbar unendlich viele reelle Zahlen gibt, kann diese "brutale" Beschränkung auf endlich viele Werte noch besser einstufen. Strenggenommen bilden Gleitkommazahlen lediglich eine lange Tabelle fester Werte. Eine Gleitkommafunktion ist (genauso wie eine klassische Logarithmentafel) also lediglich eine Tabelle fester Funktionswerte mit begrenzter (z. B. 15) Stellenzahl, die zu Argumenten ebenfalls mit begrenzter Stellenzahl angegeben werden. Analoges gilt für zwei- und mehrstellige Operationen.

Daraus resultiert die leichte bis absolute Ungenauigkeit der Rechnungen und die außer Kraft gesetzte Gültigkeit geläufiger mathematischer Rechenregeln.

Unterlauf

Da es in der Gleitkommadarstellung eine kleinste positive Zahl gibt, unterhalb derer kein Wert mehr dargestellt werden kann, wird ein Ergebnis in diesem Bereich meistens durch 0 repräsentiert. In diesem Fall spricht man von einem Unterlauf (engl. underflow). Ist das Ergebnis ein Zwischenergebnis, so wird dabei natürlich ein Wert, der verschieden von 0 ist, durch 0 ersetzt. Im Grunde ist dadurch jede Information über das Ergebnis verlorengegangen. In manchen Fällen wird die Genauigkeit des Endergebnisses davon nicht berührt, aber in anderen Fällen kann das resultierende Endergebnis auch komplett falsch sein.

Auslöschung

Unter Auslöschung (engl. cancellation) versteht man den Effekt, dass bei der Subtraktion fast gleichgroßer Zahlen das Ergebnis falsch wird. Auslöschung kann als Spezialfall des Unterlaufs betrachtet werden, da das Ergebnis zu klein ist und durch 0 ersetzt wird. Da dieser spezielle Fall in Rechnungen jedoch besonders gefürchtet ist, hat er eine eigene Bezeichnung bekommen.

Beispiel:

Subtrahiert man $\backslash pi=3\{,\}141592653589793...$ und die exakte Zahl 3,141 in einer vierstelligen Gleitkommaarithmetik ($b\; =\; 10$, $p\; =\; 4$) so erwartet der unbefangene Laie als korrekt gerundetes Ergebnis $\backslash pi\; -\; 3\{,\}141\; =\; 0\{,\}000592653589793\; =\; 5\{,\}927\backslash times\; 10^\{-4\}$. Tatsächlich erhält man als Ergebnis $\backslash pi\; -\; 3\{,\}141\; =\; 3\{,\}142\; -\; 3\{,\}141\; =\; 0\{,\}001\; =\; 1\{,\}0000\; \backslash times\; 10^\{-3\}$, da schon die Ausgangsgrößen, insbesondere $\backslash pi$ in der Gleitkommaarithmetik dargestellt sind und eben nicht exakt vorliegen. Dass das Wunschergebnis $5\{,\}927\backslash times\; 10^\{-4\}$ und das Gleitkommaergebnis $1\{,\}0000\; \backslash times\; 10^\{-3\}$ nicht sehr viel miteinander zu tun haben, kann man sofort erkennen.

Faustregel: Subtrahiert man zwei fast gleichgroße Zahlen, die in den ersten $k$ Stellen übereinstimmen, so gehen im Ergebnis von den eigentlich möglichen $p$ Stellen $k$ verloren. Er sind also nur noch $p-k$ Stellen vertrauenswürdig.

Anwendung: Liegen aus einer physikalischen Messung vierstellige Messwerte vor und tritt in einer Rechnung, die diese Messwerte verwendet, eine einzige Auslöschung mit $k\; >\; 4$ auf, so ist das Rechenergebnis reine Phantasie!

Differentialrechnung: Numeriker differenzieren experimentell gewonnene Funktionswerte genau aus diesem Grund nur sehr ungern, da gerade beim Differenzieren die Differenz fast gleichgroßer Werte benötigt wird. Da die Geschwindigkeit die Ableitung des Weges als Funktion der Zeit ist, tritt dieser Fall bei den elektronischen Fahrradtachometern auf. Hier wird der Umfang des Rades meistens in cm einmalig eingegeben und hat eine Genauigkeit von $p=3$ Stellen (Beispiel: 214 cm). Die verwendete Uhr wird meistens auch nur mit etwa 4 Dezimalstellen in die Rechnung eingesetzt. Die Geschwindigkeit kann also bestenfalls eine Genauigkeit von 1,5 Stellen haben. Die meistens angezeigten 3 Stellen (24,7 km/h) sind also nicht alle korrekt.

Zahlen verschiedener Größenordnung (engl.: absorption)

Zahlen sehr unterschiedlicher Größenordnung (mit sehr unterschiedlichen Exponenten) sollten nicht addiert und subtrahiert werden, da die Operation wirkungslos ist. Bei Addition und Subtraktion müssen nämlich die Exponenten angepasst werden. Das geschieht durch Denormalisierung der kleineren der beiden Operanden bei gleichzeitiger Vergrößerung ihres Exponenten.

Im Beispiel der vierstelligen Dezimalarithmetik ($b\; =\; 10$, $p\; =\; 4$) ändert die Addition von 1e-3 zu 1e2 am größeren Operanden nichts. Dasselbe gilt für die Subtraktion.

• 1e2 + 1e-3 = 1e2

oder

• $1.000\backslash times\; 10^2\; +\; 1.000\backslash times\; 10^\{-3\}\; =\; 1.000\backslash times\; 10^2\; +\; 0.000|010...\backslash times\; 10^\{2\}\; =\; 1.000\backslash times\; 10^2\; +\; 0.000\backslash times\; 10^\{2\}\; =\; 1.000\backslash times\; 10^2$

Summen und Differenzen sollten beginnend mit dem betragskleinsten bis zum betragsgrößten Summanden berechnet werden.

Ungültigkeit des Assoziativgesetzes

• $(x\; +\; y)\; +\; z\; \backslash neq\; x\; +\; (y\; +\; z)$
• $(x\; \backslash cdot\; y)\; \backslash cdot\; z\; \backslash neq\; x\; \backslash cdot\; (y\; \backslash cdot\; z)$

Ungültigkeit des Distributivgesetzes

• $x\; \backslash cdot\; (y\; +\; z)\; \backslash neq\; (x\; \backslash cdot\; y)\; +\; (x\; \backslash cdot\; z)$

Lösbarkeit von Gleichungen

In einer Gleitkommaarithmetik haben manche normalerweise unlösbare Gleichungen eine Lösung. Dieser Effekt wird sogar ausgenutzt, um ein solches Gleitkommasystem zu beschreiben.

Beispiel:

Im Bereich der mathematischen (natürlichen, ganzen, rationalen, reellen oder komplexen) Zahlen hat die Gleichung $(1\; +\; x)\; =\; 1$ für $x>0$ keine Lösung.

In einer Gleitkommaarithmetik hat diese Gleichung viele Lösungen, nämlich alle Zahlen, die zu klein sind, um bei der Summe noch einen Effekt zu ergeben. Wieder mit dem Beispiel vierstelliger Dezimalzahlen ($b\; =\; 10$, $p\; =\; 4$) gilt (Der Strich | markiert die bei der Addition entfallenden Stellen):

• 1 + 1e-3 = 1.000 + 0.001|000000... = 1.000 + 0.001 = 1.001 > 1
• 1 + 1e-4 = 1.000 + 0.000|10000... = 1.000 + 0.000 = 1.000 = 1
• 1 + 2,3e-5 = 1.000 + 0.000|023000... = 1.000 + 0.000 = 1.000 = 1

Die schon oben erwähnte kleinste Zahl $\backslash epsilon$, die zu 1 addiert werden kann und ein von 1 verschiedenes Ergebnis liefert ($1\; +\; \backslash epsilon\; >\; 1;\; \backslash epsilon$ minimal!) beschreibt basisunabhängig die Anzahl der Mantissenstellen eines Gleitkommasystems.

Konversionen

Wenn die Basis verschieden von 10 ist, müssen die Zahlen zwischen dem Gleitkommasystem der Anlage und dem Dezimalsystem konvertiert werden, um eine menschenlesbare Darstellung zu erhalten. Das wird meist schnell (und schlampig) programmiert. Eine schon alte und wichtige Forderung an diese Konversion ist ihre bitgenaue Umkehrbarkeit. Ein im Dezimalsystem dargestelltes Ergebnis soll wieder eingelesen werden können und bitgenau dieselbe Darstellung im Gleitkommasystem reproduzieren.

Diese Forderung ist einfach zu verstehen, einfach zu implementieren und wird trotzdem meist nicht beachtet. Eine rühmliche Ausnahme ist hier Java, das die nachfolgend zitierten Aussagen beachtet.

Man kann zeigen, dass es nicht ausreicht, die aufgrund der Mantissengenauigkeit berechnete Anzahl der Dezimalstellen aufzurunden und diese Dezimalstellen gerundet zu produzieren. Eine weitere Stelle reicht aber aus. (Theorem 15 in ^*) Das ist der Grund warum in der Darstellung reeller Zahlen, die von Java-Programmen produziert werden, immer eine zusätzliche und scheinbar überflüssige Stelle erscheint.

Dezimalzahlen

Schon einfach Dezimalzahlen, z.B. 0,1, können nicht mehr exakt als binäre Gleitkommazahlen dargestellt werden, da viele im Dezimalsystem abbrechende Kommazahlen im Binärsystem nicht abbrechende, periodische Zahlen sind; von diesen werden nur die ersten $p$ Ziffern gespeichert, wodurch Ungenauigkeit entsteht. Dezimal 0,1 ist binär 0,0001100110011... In einem binären Gleitkommasystem ist also 10 * 0,1 < 1, da die 0,1 abgerundet wird und nicht den exakten Wert approximiert.

Finanzmathematik

Im großen und ganzen verhalten sich Gleitkommazahlen sehr ähnlich wie die mathematischen reellen Zahlen, die durch Gleitkommazahlen approximiert werden. Computernutzer sind heute bei abnehmendem Wissen über Numerik deshalb oft überrascht, wenn sich leichte oder gravierendere Diskrepanzen ergeben. Speziell in der Finanzmathematik werden oft Ergebnisse verlangt, die mit einer Handrechnung exakt übereinstimmen. Das geht nur mit einer dezimalen Gleitkommaarithmetik. siehe: http://www2.hursley.ibm.com/decimal/ (englisch)

IEEE 754

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Das heute häufigste und bekannteste Gleitkommasystem wurde 1985 von IEEE konzipiert und ist in den meisten Computern als Hardware- oder Softwarearithmetik vorhanden. Allerdings wurden manchmal nicht alle Forderungen der Norm IEEE 754 erfüllt (Java).

Strenggenommen sind nur die normalisierten Zahlen aus IEEE 754 Gleitkommazahlen. Die denormalisierten Zahlen sind eigentlich Festkommazahlen. Die Sonderfälle wurden für spezielle numerische Zwecke geschaffen.

Gleitkommazahlen in der Digitaltechnik

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Die oben erwähnten Beispiele sind im Dezimalsystem angegeben, das heißt mit einer Basis b = 10. Computer verwenden stattdessen das Binärsystem mit einer Basis b = 2. Gleitkommazahlen werden in Computern normalerweise als Folgen von 32 Bit („einfache Genauigkeit“) oder 64 Bit („doppelte Genauigkeit“) dargestellt. Manche Prozessoren erlauben auch längere Gleitkommazahlen, so kennen die von der Intel x86 Serie abgeleiteten Prozessoren (u. a. Intel Pentium und AMD Athlon) eine Gleitkommazahldarstellung mit 80 Bit für Zwischenergebnisse. Manche Systeme erlauben auch Gleitkommazahlen mit 128 Bit. Einige ältere Systeme verwendeten auch noch andere Längen wie z. B. 40 Bit.

Die IEEE hat die Darstellung von Gleitkommazahlen in ihrem Standard IEEE 754 reglementiert; beinahe alle modernen Prozessoren folgen diesem Standard. Ausnahmen sind einige IBM-Großrechnersysteme, die VAX-Architektur und einige Supercomputer, etwa von Cray sowie die Java Virtual Machine mit den Java-Typen float und double sowie den zugehörigen Wrapper-Klassen Float und Double. (vgl. hierzu z. B. die Darstellung von William Kahan unter http://www.cs.berkeley.edu/~wkahan/JAVAhurt.pdf.)

Die tatsächliche Darstellung im Computer besteht also aus einem Vorzeichen-Bit, einigen Mantissen-Bits und einigen Exponenten-Bits. Wobei die Mantisse meistens normiert ist und Zahlen im Intervall [1; 2[ darstellt. (Da in diesem Intervall das erste Bit mit der Wertigkeit Eins stets gesetzt ist, wird es meistens implizit angenommen und nicht gespeichert.) Der Exponent wird meistens im Biased-Format, oder auch im Zweierkomplement dargestellt. Des Weiteren werden zur Darstellung besonderer Werte (Null, Unendlich, Keine Zahl) meistens einige Exponentenwerte, z. B. der größtmögliche und der kleinstmögliche Exponent, reserviert.

Eine Zahl f wird demzufolge als f = s · m · 2^e dargestellt, wobei s Element von {−1, 1} ist.

- align="center"		IEEE 754		S/390		- align="center"		Mantisse (in Bit)	Exponent (in Bit)	Mantisse (in Bit)	Exponent (in Bit)	- align="center"	Single	23	8	24	7	- align="center"	Double	52	11	56	7	- align="center"	Extended	64	15	112	7

Durch die unterschiedliche binäre Darstellung der Zahlen kann es in beiden Systemen zu Artefakten kommen, das heißt, Zahlen die im Dezimalsystem „rund“ erscheinen, z. B. als 12.45 ausgegeben werden, können im Binärsystem nicht exakt dargestellt werden. Statt dessen wird ihre Binärdarstellung abgeschnitten, so dass bei der Rückumwandlung ins Dezimalsystem der Wert 12.44999999900468785 erhalten wird. Dieses kann in nachfolgenden Berechnungen zu unvorhergesehenen Ab- oder Aufrundungsfehlern führen.

Die oben erwähnten Artefakte sind im Binärsystem unvermeidlich, da viele Zahlen, die im Dezimalsystem exakt dargestellt werden können, im Binärsystem periodische Zahlen mit unendlich vielen Nachkommastellen sind. Sie könnten nur durch die Verwendung von BCD-kodierten Festkommazahlen vermieden werden. Binäre Gleitkommazahlen werden jedoch nach wie vor aus verschiedenen Gründen eingesetzt.

Gleitkommazahlen in digitaler Audioanwendung

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siehe Gleitkommazahlen in digitaler Audioanwendung

Gleitkommazahlen in der Mathematik

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In der Mathematik ist eine Gleitkommazahl ein Tupel $\backslash left(d,min\},\; e\_\{\backslash rm\; max\},\; l\; \backslash right)$, wobei $d$ die Basis, $\backslash lefte\_\{\backslash rm\; min\},\; e\_\{\backslash rm\; max\}\; \backslash right$ den Bereich des Exponenten und $l$ die Länge der Mantisse darstellt.

Damit ist eine reelle Zahl x ≠ 0 darstellbar durch ein a und ein e, so dass: $a\; =\; \backslash sum\_\{i=1\}^l\; a\_i\; \backslash cdot\; d^\{-i\}$ und $x\; =\; a\; d^e$ mit $e\backslash in\; \backslash leftmin\},\; e\_\{\backslash rm\; max\}\; \backslash right$.

Hiermit ist eine mathematische Betrachtung des Rundungsfehlers möglich. Die obige Darstellung realisiert eine Projektion

$fl\backslash colon\backslash mathbb\{R\}\backslash to\; \backslash \{x\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}\backslash mid\backslash exists\; a,\; e\backslash colon\; x\; =\; a\; d^e\backslash \}$

und damit ist der Rundungsfehler definiert als

$\backslash frac\{|x\; -\; fl(x)|\}\{|x|\}\; \backslash le\; \backslash epsilon\; :=\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; d^\{1-l\}.$

Bei double-Werten entspricht $\backslash epsilon$ gerade $2^\{-52\}$ (ungefähr $2\{,\}2\; \backslash cdot\; 10^\{-16\}$).

Berechnung einer IEEE single Gleitkommazahl (32-Bit-Gleitkommazahl)

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Hier werden die genauen Rechenschritte vorgestellt, um eine Dezimalzahl in eine binäre Gleitkommazahl vom Typ Single nach IEEE 754 umzuwandeln. Dazu müssen nacheinander die drei Werte (Vorzeichen $v$ (1 bit), Mantisse $m$ und Exponent $e$) berechnet werden, aus denen sich die Zahl $x$ zusammensetzt:

$x\; =\; (-1)^v\; \backslash cdot\; m\; \backslash cdot\; 2^e$

Vorzeichen

Je nachdem, ob die Zahl positiv oder negativ ist, ist das Vorzeichen $v$ +1 oder −1. Ein positives Vorzeichen wird mit einem Vorzeichenbit 0 gespeichert, negative Zahlen werden durch eine 1 im Vorzeichenbit gekennzeichnet.

Alle weiteren Berechnungen erfolgen mit dem Betrag der Zahl.

Exponent

Als nächstes wird der Exponent gespeichert. Beim IEEE single-Datentyp sind dafür 8 Bit vorgesehen. Der Exponent muss so gewählt werden, dass die Mantisse einen Wert zwischen 1 und 2 erhält:

$e\; =\; \backslash left\; \backslash lfloor\; \backslash log\_2(x)\; \backslash right\; \backslash rfloor$

Wenn hierbei ein Wert für den Exponenten heraus kommt, der kleiner −126 oder größer 127 ist, kann die Zahl mit diesem Datentyp nicht gespeichert werden. Statt dessen wird die Zahl als 0 (Null) oder als „unendlich“ abgespeichert.

Der Wert für den Exponenten wird jedoch nicht direkt gespeichert, sondern um einen Bias-Wert erhöht, um negative Werte zu vermeiden. Bei IEEE single ist der Bias-Wert 127. Somit werden die Exponentenwerte −126...+127 als so genannte „Charakteristik“ zwischen 1...254 gespeichert. Die Werte 0 und 255 als Charakteristik sind reserviert für die speziellen Zahlenwerte „Null“, „Unendlich“ und „NaN“.

Mantisse

Die Mantisse wird nun in den verbleibenden 23 Bit abgespeichert:

$m\; =\; \backslash left(\; \backslash frac\{x\}\{2^e\}\; -\; 1\; \backslash right)\; \backslash cdot\; 2^\{23\}$

Zahlenbeispiel mit der Zahl 11,25

Zahl = +11,25

Vorzeichen = + -> 0_binär

$\backslash mathrm\{Exponent\}\; =\; \backslash left\; \backslash lfloor\; \backslash log\_2(11\{,\}25)\; \backslash right\; \backslash rfloor\; =\; \backslash left\; \backslash lfloor\; 3.49\; \backslash right\; \backslash rfloor\; =\; 3$ --> 3 + 127 = 130 -> 10000010_binär

$\backslash mathrm\{Mantisse\}\; =\; \backslash left(\; \backslash frac\{11\{,\}25\}\{2^3\}\; -\; 1\; \backslash right)\; \backslash cdot\; 2^\{23\}\; =\; (1\{,\}40625\; -\; 1)\; \backslash cdot\; 2^\{23\}\; =\; 3407872$ -> 01101000000000000000000_binär

Damit ergibt sich folgende Gleitkommazahl einfacher Genauigkeit:

0 10000010 01101000000000000000000

Umkehrung

Will man aus einer Gleitkommazahl im Maschinenwort eine Dezimalzahl errechnen so kann man dieses mit folgender Formel recht schnell erledigen:

$Z=(-1)^\{VZ\}\backslash cdot(1,0+M/2^\{23\})\backslash cdot\; 2^\{E\; -\; 127\}$

Siehe auch

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• Minifloats
• einfache Genauigkeit
• doppelte Genauigkeit
• vierfache Genauigkeit
• Integer (Datentyp)
• IEEE 754
• IEEE 854
• IEEE 754r

Weblinks

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• Binärformate reeller Zahlen
• Robert Munafo: Survey of Floating-Point Formats - Übersicht über historische Gleitkommaformate - engl.
• Chris Hecker: Let’s Get to the (Floating) Point - Kommen wir auf den (Gleit)punkt, - engl.
• DAVID GOLDBERG: What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic

Numerische Mathematik

Floating point | Coma flotante | Liukuluku | Virgule flottante | נקודה צפה | Virgola mobile | 浮動小数点数 | 부동소수점 | Real (informatica) | Liczba zmiennoprzecinkowa | Vírgula flutuante | Pohyblivá desatinná čiarka | Flyttal | 浮点数