Gleichverteilung

Der Begriff Gleichverteilung stammt aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung und beschreibt eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, wobei im diskreten Fall jeder möglichen Zustand mit der gleichen Wahrscheinlichkeit eintritt. Im stetigen Fall betrifft es eine Verteilung mit konstante Dichte. Der Grundgedanke einer Gleichverteilung ist dass es keine Präferenz gibt.

Beispielsweise gibt es beim Würfeln sechs elementare Zustände, nämlich Augenzahlen, die der Würfel nach dem Wurf zeigen kann: eins, zwei, drei, vier, fünf oder sechs. Die Wahrscheinlichkeit eines jeden dieser Zustände, einzutreten, ist 1/6, denn die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten muss 1 ergeben, und sie alle sollen gleich sein.

Auf einem Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A, wenn $\Omega$ gleichverteilt ist, gleich $P(A) = \mathcal{U}_{\Omega}(A)$ .

Die Gestalt von $\mathcal{U}_{\Omega}$ , also die Berechnung der Wahrscheinlichkeit, hängt von Ω ab.

Endliches Ω

Hat Ω nur endlich viele Elemente, so ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A mit A ⊆ Ω gleich

\mathcal{U}_{\Omega}(A) = {| A | \over |\Omega |}

= (Anzahl der Elemente von A) / (Anzahl der möglichen Fälle). Man spricht dann von einer diskreten Gleichverteilung.

Stetiger Fall

Ist $\Omega \subseteq \mathbb{R}^n$ , besitzt also Ω n reelle Koordinaten, so muss das Volumen von Ω $\lambda ^n(\Omega)$ mit 0 < λⁿ(Ω) < ∞, bestimmt werden. Ist Ω = ℜ so gilt für ein Intervall I ⊂ ℜ von a bis b: λ¹(I) = b − a. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A ist gleich $P(A) = \mathcal{U}_{\Omega}(A) = {\int_{A} {1 \over \lambda ^n(\Omega)}, \mathrm{d}x} = {\lambda ^n(A) \over \lambda ^n(\Omega)}$ . Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ist hier eine konstante Funktion ρ mit $\rho(x) = 1/\lambda ^n(\Omega)$ . Man spricht hier von der stetigen Gleichverteilung.

Beispiele

Beim Würfeln ist die Wahrscheinlichkeit einer Augenzahl zwischen eins und sechs, gewürfelt zu werden, 1/6.
Beim Münzwurf ist die Wahrscheinlichkeit einer der beiden Seiten, oben zu liegen, 1/2.
Im Weißen Rauschen sind die Frequenzen gleichverteilt, und zwar stetig.

Laplace

Die Gleichverteilung war Forschungsgebiet für Pierre-Simon Laplace, der vorschlug, dass man, wenn man auf einem Wahrscheinlichkeitsraum das Wahrscheinlichkeitsmaß nicht kenne, erst einmal Gleichverteilung annehmen solle (Indifferenzprinzip). Nach ihm nennt man einen Wahrscheinlichkeitsraum

(\Omega, \mathfrak{P}(\Omega),\mathcal{U}_{\Omega})

für endliches Ω auch Laplace-Raum.

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