Das Gesetz der großen Zahlen besagt, dass sich die relative Häufigkeit eines Zufallsergebnisses immer weiter an die theoretische Wahrscheinlichkeit für dieses Ergebnis annähert, je häufiger das Zufallsexperiment durchgeführt wird.

Beispiel: Wurf einer Münze

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- align="right" bgcolor="#CCCCCC"	Anzahl Würfe	davon Kopf		Verhältnis		absoluter Abstand	relativer Abstand	- align="right" bgcolor="#CCCCCC"	theoretisch	beobachtet	theoretisch	beobachtet	- bgcolor="#EEEEFF" align="right"	100	50	48	0.500	0.480	2	0.02	- bgcolor="#EEEEFF" align="right"	1000	500	491	0.500	0.491	9	0.009	- bgcolor="#EEEEFF" align="right"	10000	5000	4970	0.500	0.497	30	0.003

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Münze beim Werfen Kopf zeigt, betrage ½. Je häufiger die Münze geworfen wird, desto näher wird der Anteil der Würfe, bei denen Kopf erscheint, beim theoretischen Wert ½ liegen. Trotzdem kann der absolute Abstand zwischen dem theoretischen und dem tatsächlich beobachteten Ergebnis immer weiter anwachsen.

Das Gesetz der großen Zahlen bedeutet also nicht, dass ein Ereignis, welches bislang nicht so häufig eintrat wie erwartet, seinen "Rückstand" irgendwann ausgleichen und folglich in Zukunft häufiger eintreten muss. Dies ist ein bei Roulette- und Lottospielern häufig verbreiteter Irrtum, die "säumige" Zahlenart müsse nun aber aufholen, um wieder der statistischen Gleichverteilung zu entsprechen.

Praktische Bedeutung

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• Versicherungen: Das Gesetz der großen Zahl hat bei Versicherungen eine große praktische Bedeutung. Es erlaubt eine ungefähre Vorhersage über den künftigen Schadensverlauf. Je größer die Zahl der versicherten Personen, Güter und Sachwerte, die von der gleichen Gefahr bedroht sind, desto geringer ist der Einfluss des Zufalls.

Das Gesetz der großen Zahl kann aber nichts darüber aussagen, wer im einzelnen von einem Schaden getroffen wird. Unvorhersehbare Großereignisse und Trends wie der Klimawandel, die die Berechnungsbasis von Durchschnittswerten verändern, können das Gesetz zumindest teilweise unbrauchbar machen.

• Medizin: Beim Wirksamkeitsnachweis von medizinischen Verfahren kann man es ausnutzen, um Zufallseinflüsse auszuschalten.
• Naturwissenschaften: Der Einfluss von Messfehlern kann durch häufige Versuchwiederholungen reduziert werden.

Siehe auch Gesetz der kleinen Zahlen

Schwaches Gesetz der großen Zahlen

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Als schwaches Gesetz der großen Zahlen wird die folgende Konvergenzaussage für eine (unendliche) Folge von Zufallsvariablen $X\_1,\; X\_2,\; X\_3,\; \backslash dots$, die alle denselben Erwartungswert $\backslash mu$ besitzen, bezeichnet:

Das arithmetische Mittel von $n$ Zufallsvariablen

$\backslash overline\{X\}\_n=(X\_1+\backslash cdots+X\_n)/n$

konvergiert stochastisch gegen $\backslash mu$. Formal bedeutet dies: Für jede positive Zahl $\backslash varepsilon$ (beliebig klein) gilt

Ein schwaches Gesetz der großen Zahl gilt beispielsweise, wenn die Zufallsvariablen $X\_1,\; X\_2,\; X\_3,\; \backslash dots$ endliche Varianzen $\backslash sigma\_1^2$,$\backslash sigma\_2^2,\backslash dots$ haben, die zudem durch eine gemeinsame obere Grenze beschränkt sind, sowie unkorreliert sind (d.h., $\backslash operatorname\{Cov\}(X\_i,\; X\_j)\; =\; 0$, falls $i\backslash neq\; j$). Der Beweis folgt in diesem Falle unmittelbar aus der Tschebyschew-Ungleichung.

Starkes Gesetz der großen Zahlen

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Als starkes Gesetz der großen Zahlen wird die folgende Konvergenzaussage für eine unendliche Folge von Zufallsvariablen $X\_1,\; X\_2,\; X\_3,\; \backslash dots$ mit Erwartungswert $\backslash mu$ bezeichnet:

$\backslash operatorname\{P\}\backslash left(\backslash lim\_\{n\backslash rightarrow\backslash infty\}\backslash overline\{X\}\_n=\backslash mu\backslash right)=1$,

d. h., die repräsentative Stichprobe konvergiert fast sicher gegen $\backslash mu$. Das starke Gesetz der großen Zahlen impliziert das schwache Gesetz der großen Zahlen.

Ein starkes Gesetz der großen Zahlen gilt beispielsweise, wenn die Folge unabhängig ist und die Zufallsvariablen beschränkte Varianzen besitzen. Eine Form des starken Gesetzes der großen Zahlen für abhängige Zufallsvariablen ist der Ergodensatz.

Die Geschichte des starken Gesetzes der großen Zahlen ist lang. Sie hat mit dem Satz von N. Etemadi (Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete, Band 55(1), S. 119-122, (1981)) einen gewissen Abschluss gefunden. Der Satz von Etemadi zeigt die Gültigkeit des starkes Gesetzes der großen Zahlen unter der Annahme, dass die Zufallsvariablen jeweils dieselbe Verteilung haben und je zwei Zufallsvariablen unabhängig sind. Die Existenz einer Varianz wird nicht vorausgesetzt.

Literatur

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• H.-O. Georgii: Stochastik, 2. Auflage, de Gruyter, 2004.
• R. Durrett: Probability: Theory and Examples, 3rd ed., Duxbury, 2004.

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