Diskussion Gerade und ungerade Zahlen.

Eine ganze Zahl ist

• gerade, wenn sie (ohne Rest) durch 2 teilbar ist.

Sie ist

• ungerade, wenn sie nicht (ohne Rest) durch 2 teilbar ist.

Gerade Zahlen sind

..., -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, ...

Sie sind das Doppelte einer ganzen Zahl (und haben also die Form 2k mit einer ganzen Zahl k).

Ungerade Zahlen sind

..., -5, -3, -1, 1, 3, 5, 7, ...

Sie ergeben bei Division durch 2 den Rest 1 (und haben also die Form 2k+1 mit einer ganzen Zahl k).

Eigenschaften

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• 2 ist die einzige gerade Primzahl.

Vgl. den unübersetzbaren Ausspruch

All primes are odd, but two is the oddest of all.(even und odd bedeutet bei Zahlen gerade bzw. ungerade, odd heißt aber auch "merkwürdig".)

Jede ganze Zahl kann (in eindeutiger Weise) als

• Produkt einer Potenz von 2 und einer ungeraden Zahl

geschrieben werden:

$n\; =\; 2^s\; \backslash cdot\; u\; ,\backslash \; s\; \backslash in\; \backslash left\backslash \{0,\; 1,\; 2,\; \backslash dots\backslash right\backslash \}$ (siehe Primfaktorzerlegung)

Die Goldbachsche Vermutung behauptet:

• Jede gerade Zahl ist Summe von zwei Primzahlen.

Beispiele:

• 16 = 5+11
• 50 = 19+31

Bisher sind nur viele Teilergebnisse erzielt worden. Die Vermutung selbst ist jedoch noch unbewiesen.

• Alle bekannten vollkommenen Zahlen (6, 28, ...) sind gerade.

Es ist nicht bekannt, ob es ungerade vollkommene Zahlen gibt.

Rechenregeln

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Die Einteilung der natürlichen Zahlen nach ihrer Parität ist das einfachste Beispiel für die Bildung von Kongruenzklassen (siehe Teilbarkeit).

Die (Merk-)Regeln

gerade + gerade und ungerade + ungerade ergeben gerade

gerade + ungerade und ungerade + gerade ergeben ungerade

sowie

gerade mal gerade, gerade mal ungerade und ungerade mal gerade ergeben gerade

ungerade mal ungerade ergibt ungerade

sind das einfachste Beispiel für einen endlichen Körper (hier mit nur zwei Elementen).

Schreibt man 0 für gerade und 1 für ungerade, so erhält man

• $0+0\; =\; 1+1\; =\; 0,\backslash quad\; 0+1\; =\; 1+0\; =\; 1$
• $0\; \backslash cdot\; 0\; =\; 0,\backslash quad\; 0\; \backslash cdot\; 1\; =\; 1\; \backslash cdot\; 0\; =\; 0,\backslash quad\; 1\; \backslash cdot\; 1\; =\; 1$

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